第六章 二次型

第六章 二次型

1．教学目的和要求：

(1) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 (2) 了解二次型的定义，会将二次型化为标准型。 (3) 掌握正定二次型的定义及相关定理。 2．教学重点：

(1) 二次型及其标准型

(2) 用配方法和正交变换法化二次型为标准型 (3) 正定二次型

3．教学难点：化二次型为标准型

4.本章结构: 先介绍二次型及其矩阵表示，接着介绍二次型的标准型，如何化二次型为标准型，最后介绍了正定二次型。 5. 教学内容:

变量x1,x2,?,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?2a12x1x2?2a13x1x3???2a1nx1xn222

?a22x?2a23x2x3???2a2nx2xn ??????

称为n元二次型, 简称为二次型．

aij?Raij?C?annxn2

：称f(x1,x2,?,xn)为实二次型（本章只讨论实二次型） ：称f(x1,x2,?,xn)为复二次型

§6.1 二次型的矩阵表示

1．矩阵表示：令aji?aij(j?i), 则有 f?a11x1x1?a12x1x2?a13x1x3???a1nx1xn

?a21x2x1?a22x2x2?a23x2x3???a2nx2xn ??????? ??an1xnx1?an2xnx2?an3xnx3???annx1(a11x1?a12x2?a13x3???a1nxn)???xnxn? ?n?i?1??aijxixj??j?1?

n

?x2(a21x1?a22x2?a23x3???a2nxn)

???????

?xn(an1x1?an2x2?an3x3???annxn)

?a11x1?a12x2???a1nxn???a21x1?a22x2???a2nxn??(x1,x2,?,xn)???????ax?ax???axn22nnn??n11 ?a11a12?a1n??x1?????a21a22?a2nx2?????(x1,x2,?,xn)????????????aa?axn??xTAxn2nn???n1

?a11a12?a1n??x1?????a21a22?a2nx2?A??x???????????????aa?an2nn? , ?n1?xn? 其中

T (1) f(x1,x2,?,xn)与A是一一对应关系, 且A?A．

(2) 称A为f的矩阵, 称f为A对应的二次型．

(3) 称A的秩为f的秩, 即 rankf(x1,x2,?,xn)?rankA． 2．标准形：找可逆线性变换x?Cy, 即

?x1??c11c12????xcc22??2???21????????? ?xn??cn1cn2?2f(x1,x2,?,xn)?d1y1?y1???y?2???????yn? (detC?0) 22?d2y2???dnync1n??c2n????cnn? 使得

将二次型f(x1,x2,?,xn)的标准形写为矩阵形式

?d1?D????????dn??T f?yDy,

TTTT f?xAx?(Cy)A(Cy)?y(CAC)y

TCC 矩阵描述：对实对称矩阵A, 找可逆矩阵, 使得AC?D．

称A合同于B．

3．合同矩阵：对于An?n,Bn?n, 若有可逆矩阵Cn?n使得CAC?BT,

(1) A合同于A： ETAE?A

?1T?1 (2) A合同于B?B合同于A： (C)B(C)?A

(3) A合同于B, B合同于S?A合同于S

定理3 A合同于B?rankA?rankB． 证

CAC?B?rankB?rank(CTAC)?rankA(C?1T

?1)B(CT?1)?A?rankA?rank[(C?1)B(CT)]?rankB

故 rankA?rankB．

§6.2 化二次型为标准形

1．正交变换法

设An?n实对称, 特征值为?1,?2,?,?n, 则存在正交矩阵Q, 使得

??1?TQAQ???????????n??

作正交变换x?Qy, 可得 例1

22

TTTTT f?xAx?(Qy)A(Qy)?y(QAQ)y?y?y

??1y1??2y2????nyn212

2f(x1,x2,x3)?2x?5x22?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

用正

f(x1,x2,x3)为标准形．

?2?A?2????2 解 f的矩阵

25?4?2???4?5??

2 A的特征多项式 ?(?)??(??1)(??10)

?0??4?????p2??1p1?1???????1?? ?1??, ?1??2?1的两个正交的特征向量

??p3?????1??2?2?? ?3?10的特征向量

??Q??1?1? 正交矩阵

022

13??23??23??

222432?132132

正交变换x?Qy：标准形

f?y1?y2?10y3

例2 f(x1,?,x4)?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4 用正

f(x1,x2,x3,x4)为标准形．

解 f的矩阵

?0?1A???1???110?111?101?1??1?1??0?

3 A的特征多项式 ?(?)?(??1)(??3) T 求正交矩阵Q和对角矩阵?, 使得QAQ??：

?1?1Q??????220011002212?1212?12?12??12?12???12??2,

2?1???????211??????3?

正交变换x?Qy：标准形

22f?y1?y2?y3?3y422

,秩(f)?2．

例3

f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3 (1) 求c； (2)用正

?5?A??1???3 解 (1) f的矩阵

5???15???306???6?15?3f(x1,x2,x3)为标准形；

(3) f(x1,x2,x3)?1表示那类二次曲面？

3???3?c?A?2） ? （显见rank4???134??5???30?33??

A?2?detA?0?c?3 rank3?33??0?33??r1?r2?(?)??13? (2)

c2?c14???13????(??4)(??9)

??p3?????1??1?1?? ?1?0,?2?4,?3?9的特征向量依次为

??1???p1?1????2???1???p2?1????0?? , ,

22 （两两正交）

??1?Q??1?2? 正交矩阵

6661101?1123??3?3??

22 (3)

正交变换x?Qy：标准形

2f?0y1?4y2?9y32

f(x1,x2,x3)?1?4y2?9y3?1：表示椭圆柱面

?1c?33???3?9c?? 例4 设

f(x1,x2,x3)?xAxT,

?c?A??1???3, 秩(f)?2, 求c．

2A?9(c?1)(c?2) 解 detA?2?detA?0?c?1或者c??2 rank?1?A??1???3 c?1：

?11?33?行??3??9???1?0???0?1003??0?0??, rankA?1 （舍去）

??2?A??1???3 c??2：

?1?2?33???3rankA?2????rankA?2??18?, detA?0?

故c??2为所求．

2．配方法 例5

f(x1,x2,x3)?2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3222

用配

f(x1,x2,x3)为标准形．

222222 解 f?2[x1?2x1(x2?x3)]?5x2?5x3?8x2x3

?2[(x1?x2?x3)?(x2?x3)]?5x2?5x3?8x2x3222232

?2(x1?x2?x3)?3x?4x2x3?3x

?2(x1?x2?x3)?3[(x2??2(x1?x2?x3)?3(x2?222323x3)?x3)?224953x3]?3x3x3222

x3?y1?x1?x2??x2?(23)x3?y2??x3 令 ?y1? , 则 ?1?C?0???0 可逆变换 x?Cy：

?110?x1?y1?y2?(13)y3?y2?(23)y3?x2??x?y3?3 13??23?1??

标准形

f?2y1?3y2?2253y32 （与例1结果不同）

例6 f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?6x2x3

f(x1,x2,x3) 用配为标准形． 解 先凑平方项

?x1?y1?y2??x2?y1?y2?x? 令 ?3?1?C1?1?y3??0 , 即 x?C1y：

21?100??0?1??

则

f?2y1?2y2?2y1y3?2y2y3?6y1y3?6y2y3?2[y1?2y1y3]?2y2?8y2y32232222222

2 ?2[(y1?y3)?y]?2y?8y2y3

?2(y1?y3)?2[y2?4y2y3]?2y222232223

2?2(y1?y3)?2[(y2?2y3)?4y]?2y2

?2(y1?y3)?2(y2?2y3)?6y

?z1?y1??z2??z? 令 ?3?y1?z1?y2?2y3?y2??y?y3 , 则 ?3?1??0???00101??2?1?? C?C1C2?y3?z3z3z2?2z3

C2 即 y?C2z：

可逆变换 x?C1y?C1C2z, 标准形

一般结论如下：

f?2z1?2z2?6z3222?1??1???01?103???1?1??

T 定理2 对于实二次型f?xAx, 存在可逆变换x?Cy, 使得

定理3 对于实对称矩阵A, 存在可逆矩阵C, 使得

?d1???T? CAC?D?????dn??f?d1y1?d2y2???dnyn222

3．初等变换法

求可逆矩阵C,

使得CAC?DT：

C可逆?C?P1?Pk?EP1?Pk （Pi是初等矩阵）

TT ?Pk?P1AP1?Pk?D

?A??? ??E?整?0?1??1??1?0?A??????0?E??10?3010对A施行\行变换\体 例7 用初等变换法化

?D???施行\同类列变换\ ?C?

f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?6x2x3????????????21211010?3010?2???3?0?行变换??0?同类列变0??1???2?0??0?换1??1??0?为标准形．

00??0?6??3??1??1?? 解

1???3?0?r1?r2??0?c1?c20??1???120?12120

?1?C?1???0 可逆变换 x?Cy,

?121203???1?1??

标准形

§6.3 正定二次型 设可

f?2z1?212z2?6z322

x?Cy使得

222TTT f?xAx?y(CAC)y?d1y1?d2y2???dnyn

T 定理4 设f?xAx的秩为r, 则在f的标准形中

(1) 系数不为0的平方项的个数一定是r；

（?rank(CAC)?rankAT）

(2) 正项个数p一定, 称为f的正惯性指数；（证明略去）

(3) 负项个数r?p一定, 称为f的负惯性指数．（由(1)和(2)可得）

正定二次型：?x?0,f?xAx?0负定二次型：?x?0,f?xAx?0f?xAxTTT, 称f为正定二次型, A为正定矩阵． , 称f为负定二次型, A为负定矩阵．

T 定理5

为正定二次型?f的标准形中di?0(i?1,2,?,n)．

, 则x?Cy?0, 从而

TT 证 必要性．取

y??i?(0,?,0,1,0,?,0)

Tf?xAx?0?f?y(CAC)y?di?0

?1 充分性．已知di?0(i?1,2,?,n), ?x?0?y?Cx?0

由定义知, f为正定二次型．

f?d1y1?d2y2???dnyn?0222

推论1 设An?n实对称, 则A为正定矩阵?A的特征值全为正数． 推论2 设An?n实对称正定矩阵, 则detA?0． 定理6 设An?n实对称, 则A为正定矩阵 ?

A的顺序主子式全为正数, 即?i(A)?0(i?1,2,?,n)． （证明略去） 定理7 设An?n实对称, 则

f?xAxT为负定二次型

T ??f?x(?A)x为正定二次型

?f的负惯性指数为n（定理5） ?A的特征值全为负数 （定理4）

?A的奇数阶顺序主子式全为负数, 即 ?1?0,?3?0,?5?0,?； A的偶数阶顺序主子式全为正数, 即 ?2?0,?4?0,?6?0,?．

例8 判断下列二次型的正定性： (1)

f(x1,x2,x3)?5x1?x2?5x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3222

(2) (3)

f(x1,x2,x3)??5x1?6x2?4x3?4x1x2?4x1x3f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2ax1x2?2bx2x3222222

(a,b?R)

?5?A?2????4 解 (1)

21?2?4???2?5??

?1?5?0,

??5?A?2???2 (2)

?2?5221?1?0, ?3?detA?1?0

故A为正定矩阵, f为正定二次型．

2?602??0??4??

?1??5?0,

?1?A?a???0 (3)

a1b?2??522?6?26?0, ?3?detA??80?0

故A为负定矩阵, f为负定二次型．

0??b?1??

1aa1?1?a2 ?1?1,

?2?, ?3?detA?1?(a?b)

2222 当a?b?1时, 有?1?0,?2?0,?3?0

故A为正定矩阵, f为正定二次型；

22 当a?b?1时, 有?1?0,?3?0

故A为不定矩阵, f为不定二次型． 例9 设A?(aij)n?n实对称, 则

(1) A为正定矩阵?aii?0(i?1,2,?,n) (2) A为负定矩阵?aii?0(i?1,2,?,n) 证 取

ffx??i?(0,?,0,1,0,?,0)TT, 则有

正定?f?xAx?aii?0 (i?1,2,?,n) 负定?f?xAx?aii?0 (i?1,2,?,n)

T

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