第六章第二节 - 数列的应用

第六章 数列

第一部分 五年高考体题荟萃

第二节 数列的应用 2009年高考题

一、选择题

1.（2009广东卷理）已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5a?2则当n?1时，log2a1?log2a3???log2a2n?1?

A. n(2n?1) B. (n?1)2 C. n D. (n?1)2

2【解析】由a5?a2n?5?22n(n?3)得an则an?2n， log2a1?log2a3????? an?0，?22n，

25n??22nn(?3)，

log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n2，选C.

答案 C

2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若

A. 2 B.

S6S=3 ，则 9 = S3S678 C. D.3 33S6(1?q3)S333

【解析】设公比为q ,则＝1＋q＝3 ? q＝2 ?S3S3S91?q3?q61?2?47 于是???

S61?q31?23【答案】B

3.（2009宁夏海南卷理）等比数列?an?的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=( )

A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】?4a1，2a2，a3成等差数列，

?4a1?a3?4a2,即4a1?a1q2?4a1q,?q2?4q?4?0,?q?2，S4?15,选C.

【答案】 C

4.（2009湖北卷文）设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{[

5?15?1], 225?1}，2A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B

??5?1??【解析】可分别求得???2????比数列.

5?15?1，[]?1.则等比数列性质易得三者构成等225.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C

【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a?nn(n?1)，同理可得正方形数构成的数2n列通项bn?n2，则由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由a?故选C.

n(n?1)知an必为奇数，26..（2009安徽卷理）已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示

?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 A.21 B.20 C.19 D. 18

【答案】 B 【解析】由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即

?an?0得n?20，选B a4?33 ，∴d??2，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由?a?0?n?17.（2009江西卷理）数列{an}的通项an?n(cos为

A．470 B．490 C．495 D．510 【答案】 A 【解析】由于{cos222n?n??sin2)，其前n项和为Sn，则S3033n?n??sin2}以3 为周期,故 3312?2242?52282?29222S30?(??3)?(??6)???(??302)

22210(3k?2)2?(3k?1)259?10?112??[??(3k)]??[9k?]??25?470故选A

222k?1k?1108.（2009四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

【答案】B

【解析】设公差为d，则(1?d)?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝10 二、填空题

9.（2009浙江文）设等比数列{an}的公比q?21S，前n项和为Sn，则4? ． 2a4【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系． 答案 15

a1(1?q4)s41?q43解析 对于s4?,a4?a1q,??3?15

1?qa4q(1?q)10.（2009浙江文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，

T16成等比数列． T12【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案：

T8T12,T4T8

T8T12T16，成,T4T8T12解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，等比数列．

11.（2009北京理）已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N?,则

a2009?________；a2014=_________.

答案 1，0

解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0. ∴应填1，0.

12..（2009江苏卷）设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)，若数列?bn?有连续四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= . 答案 -9

解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为

3q??，6q= -9

213.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________.

a1?2d?7??a1?3解析 设等差数列{an}的公差为d,则由已知得?解得?,所以

a?4d?a?d?6d?21?1?a6?a1?5d?13.

答案:13.

【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

14.(2009湖北卷理)已知数列?an?满足：a1＝m（m为正整数），

?an?,当an为偶数时，若a6＝1，则m所有可能的取值为__________。 an?1??2?3an?1,当an为奇数时。?答案 4 5 32

a1amm为偶, 故a2? a3?2? 2224mmmm?1?m?32 ①当仍为偶数时，a4???????a6? 故

8323243m?1m3②当为奇数时，a4?3a3?1?m?1??????a6?4

4443m?14故?1得m=4。 43m?1（2）若a1?m为奇数，则a2?3a1?1?3m?1为偶数，故a3?必为偶数

23m?13m?1??????a6?，所以=1可得m=5

1616解析 （1）若a1?m为偶数，则

15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{an}前n项和为Sn。已知am?1+am?1-a2m=0，S2m?1=38,则m=_______

解析由am?1+am?1-a2m=0得到

22am?am?0,am?0,2又S2m?1??2m?1??a1?a2m?1??2?2m?1?am?38?m?10。

答案10

16.（2009陕西卷文）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则

an? .

解析:由a6?s3?12可得?an?的公差d=2,首项a1=2,故易得an?2n. 答案:2n

17.(2009陕西卷理)设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则

limSn? . n??n2

?a6?12?a1?5d?12?a1?2SSnn?1n?1解析：?????Sn?n(n?1)?n??lim?lim?1?22n??n??nnnn?d?2?s3?12?a1?d?12

答案：1

18.（2009宁夏海南卷文）等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和S4=

解析 由an?2?an?1?6an得：qn?1?qn?6qn?1，即q2?q?6?0，q?0，解得：q＝2，

1(1?24)115又a2=1，所以，a1?，S4?2＝。

221?215答案

219.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成n（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=

210，?，3f(n)=

1(n+1)(n+2) 6

答案

101,(n?1)(n?2) 36解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知

a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a

x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z2 6g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2

即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233进一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个数相加 ，f(4)中有15个数相加?.，若f(n?1)中有an?1(n?1)个数相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)个数相加，且由

363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...

3333333n?1,所以 可得f(n)?f(n?1)?3n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)

3333333n?1nn?13211??????(n?1)(n?2) =333333620.（2009重庆卷理）设a1?2，an?1?a?22*，bn?n，n?N，则数列?bn?的通

an?1an?1项公式bn= ．

2?2an?1?2an?1a?2解析 由条件得bn?1???2n?2bn且b1?4所以数列?bn?是首

2an?1?1an?1?1an?1项为4，公比为2的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1答案 2n+1

三、解答题

21.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

x已知点（1，）是函数f(x)?a(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项

13和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{

10001}前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少?

2009bnbn?1

1?1?解（1）Qf?1??a?,?f?x???? 3?3?x12f2?c?f1?c???a1?f?1??c??c ,a2????, ????????392a3??f3?c?f2?c????? . ????????2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2?81????c ，所以 c?1；

a3?23327a12?1?又公比q?2?，所以an????a133?3?QSn?Sn?1?n?1?1???2?? n?N* ；

?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?

?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1； 数列

?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列，n2Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n2

2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；

?bn?2n?1(n?N*)；

（2）Tn?11111111 ????K????L?b1b2b2b3b3b4bnbn?11?33?55?7(2n?1)??2n?1? ?1?1?1?11?1?11?1?11?1??????K?????????? 2?3?2?35?2?57?2?2n?12n?1?1?1?n； ??1???2?2n?1?2n?1n100010001000?得n?，满足Tn?的最小正整数为112. 2n?12009920091n?122.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an?n

n2a（I）设bn?n，求数列{bn}的通项公式

n 由Tn?（II）求数列{an}的前n项和Sn 分析：（I）由已知有

an?1an11??n?bn?1?bn?n n?1n22

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn?2?（II）由（I）知an?2n?n1*(n?N) n?12n, n?12nnkk?Sn=?(2k?k?1)??(2k)??k?1

2k?1k?1k?12nn而

?(2k)?n(n?1),又?2k?1k?1nkk?1是一个典型的错位相减法模型，

易得

n?2kn?2??4 =n(n?1)?4?S??nn?1k?1n?1222k?1评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

23.（2009北京理）已知数集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性质P；对任意的

i,j?1?i?j?n?，aiaj与

ajai两数中至少有一个属于A.

（Ⅰ）分别判断数集?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1?1，且

a1?a2???an?an； ?1?1a1?1?a2???an（Ⅲ）证明：当n?5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

4均不属于数集?1,3,4?，∴该数集不具有性质P. 3661236 由于1?2,1?3,1?6,2?3,,,,,,都属于数集?1,2,3,6?，

231236（Ⅰ）由于3?4与 ∴该数集具有性质P.

（Ⅱ）∵A??a1,a2,?an?具有性质P，∴anan与

an中至少有一个属于A， an

由于1?a1?a2???an，∴anan?an，故anan?A. 从而1?an?A，∴a1?1. an∵1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?. 由A具有性质P可知

an?A?k?1,2,3,?,n?. ak又∵

anaaa?n???n?n， anan?1a2a1∴

anaaa?1,n?a2,?n?an?1,n?an， anan?1a2a1anaaa?n???n?n?a1?a2???an?1?an， anan?1a2a1从而

∴

a1?a2???an?an. ?1?1?1a1?a2???ana5a2， ?a2,5?a3，即a5?a2a4?a3a4a3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有

∵1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A， 由A具有性质P可知

a4?A. a32 a2a4?a3，得

a3a4aaa??A，且1?3?a2，∴4?3?a2，

a2a2a3a3a2∴

a5a4a3a2????a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列..k.s.5. a4a3a2a124.（2009江苏卷）设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a22?a32?a42?a52,S7?7。 （1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得

amam?1为数列?an?中的项。 am?2【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满

分14分。

（1）设公差为d，则a2为d2222，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因?a5?a4?a3?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?7?6d?7，2解得a1??5，

d?2,

(2)

（方法一）则

amam?1(2m?7)(2m?5)=,设2m?3?t，

2m?3am?28amam?1(t?4)(t?2)?t??6, 所以t为8的约数 =

ttam?2

（方法二）因为

amam?1(am?2?4)(am?2?2)8为数列?an?中的项， ??am?2?6?am?2am?2am?2故

8 am+2为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2

经检验，符合题意的正整数只有m?2。

25（2009江苏卷）对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有实数根的有序数组(a,b)的组数，其中a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等）；对于随机选取的a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等），记Pn为关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有

22实数根的概率。 （1）求Tn2和Pn2；

（2）求证：对任意正整数n≥2，有Pn?1?1. n【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

26.（2009山东卷理)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(,nS)n，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值；

（11）当b=2时，记 bn?2(log2an?1)(n?N?) 证明：对任意的n?N ，不等式

??b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bnx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上.所以得Sn?bn?r,当n?1时,a1?S1?b?r,当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1

（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n 则

?bn?12n?1b?13572n?1b?1b2?1?·······n????,所以1

b1b2bn2462nbn2nb?13572n?1b1?1b2?1·······n?????n?1成立. b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式

① 当n?1时,左边=

33,右边=2,因为?2,所以不等式成立. 22

② 假设当n?k时不等式成立,即

b?13572k?1b1?1b2?1·······k?????k?1成立.b1b2bk2462k则当n?k?1时,左边=

b?1bk?1?1357b1?1b2?12k?12k?3 ·······k???????b1b2bkbk?12462k2k?22k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?1 2k?24(k?1)4(k?1)4(k?1)所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

27.（2009广东卷理）知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （1）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn22解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y?0得

222222(1?kn)x2?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)2?4(1?kn)kn?0，∴

kn?n2n?1（?n2n?1舍去）

2knnn2n?1n2x?，即，∴ y?k(x?1)?x??nnnn22n?1n?11?kn(n?1)2nn1?xnn?1??（2）证明：∵

n1?xn1?n?11?1 2n?1x1?x3?x5?????x2n?1?132n?1132n?11 ??????????????242n352n?12n?1

∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn

1?xn由于

xn?yn1?xn1，可令函数f(x)?x?2sinx，则f'(x)?1?2cosx，?2n?11?xn令f'(x)?0，得cosx???2，给定区间(0,)，则有f'(x)?0，则函数f(x)在(0,)上

442单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x??2sinx在(0,)恒成立，又

40?11???，

2n?134则有

1?xnx11，即?2sin?2sinn.

2n?12n?11?xnyn12(an?3),n?N?. 428（2009安徽卷理）首项为正数的数列?an?满足an?1?（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，

ak2?3?m(m?1)?1是奇数。 则由递推关系得ak?1?4根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?1(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。 41?332?3?1；若ak?3，则ak?1??3. 另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1?44根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。 （方法二）由a2?4an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1)an?1?an???,

444an2?3,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。 因为a1?0,an?1?4根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。 因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有

ap?aqam?an?.

(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)（1）当a?14,b?时，求通项an; 251（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有

??an??.

解：（1）由

ap?aqam?an得 ?(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)14a1?ana2?an?1?.将a1?,a2?代入化简得

25(1?a1)(1?an)(1?a2)(1?an?1) an?2an?1?1.

an?1?2所以

1?an11?an?1??, 1?an31?an?11?an}为等比数列，从而 1?an故数列{1?an13n?1?,即an?n.

3?11?an3n3n?1可验证，an?n满足题设条件.

3?1

(2) 由题设

am?an的值仅与m?n有关,记为bm?n,则

(1?am)(1?an)bn?1?a1?ana?an?.

(1?a1)(1?an)(1?a)(1?an)a?x(x?0),则在定义域上有

(1?a)(1?x)考察函数 f(x)??1a?1?1?a,??1f(x)?g(a)??,a?1

2??a?1?a,0?a?1?故对n?N， bn?1?g(a)恒成立. 又 b2n?*2an?g(a), 2(1?an)1,解上式得 2注意到0?g(a)?1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)g(a)??an?,

g(a)g(a)1?g(a)?1?2g(a)取??1?g(a)?1?2g(a)1,即有 ?an??..

?g(a)12n?130. (2009湖北卷理)已知数列?an?的前n项和Sn??an?()?2（n为正整数）。

（Ⅰ）令bn?2nan，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式；

n?15nan，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与的大小，并予以证明。 n2n?11n?11解（I）在Sn??an?()?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?

221n?21?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1， 当n?2时，Sn?1??an?1?()?2，221?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?1.

2(Ⅱ）令cn? ?bn?2an,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1. 又b1?2a1?1,?数列bn?是首项和公差均为1的等差数列.

n?

于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?(II)由（I）得cn?nn. 2nn?11an?(n?1)()n，所以 n21111Tn?2??3?()2?4?()3?K?(n?1)()n

222211111Tn?2?()2?3?()3?4?()4?K?(n?1)()n?1 22222112131n1n?1由①-②得Tn?1?()?()?K?()?(n?1)()

2222211[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?112221? 2n?3?Tn?3?n25nn?35n(n?3)(2n?2n?1) Tn??3?n??n2n?122n?12(2n?1)于是确定Tn与5nn的大小关系等价于比较2与2n?1的大小 2n?1由2?2?1?1;22?2?2?1;23?2?3?1;24?2?4?1;25?2?5;K

2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设n?k?1时2k?1n?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1

所以当n?k?1时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1. 证法2：当n?3时

012n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?Cn?K?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1

n综上所述，当n?1,2时Tn?5n5n，当n?3时Tn? 2n?12n?131.（2009四川卷文）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?4?an(n?N*)。 1?an（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

*（III）记cn?b2n?b设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都2n1?(n?N)，

有Tn?3； 2解（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

1 4?an?1?an?5an?1,即an?11?? an411，公比为q??的等比数列， 441n4?(?)1n4∴an?(?)，bn?(n?N*) ?????????????3分

141?(?)n4∴数列?an?是首项为a1??（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

14?(?)n54?4?证明：由（I）知bn? n1n(?4)?11?(?)4552015?16k?40?b2k?1?b2k?8???8?k??8?k?8.

(?4)2k?1?1(?4)2k?116?116k?4(16?1)(16k?4)5∴当n为偶数时，设n?2m(m?N) ∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k ∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4???5得

(?4)n?1

5515?16n15?16n15?16n15cn?b2n?1?b2n?2n?????4?142n?1?1(16n?1)(16n?4)(16n)2?3?16n?4(16n)216n134,?c2?， 333当n?1时，T1?，

2又b1?3,b2?当n?2时，

11n?2[1?()]24111416Tn??25?(2?3???n)??25?161316161631?16

12469316??25???134821?1632.（2009湖南卷文）对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N，恒有

*un?1?un?un?un?1???u2?u1?M, 则称数列{un}为B?数列.

（Ⅰ）首项为1，公比为?1的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 2（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

2(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。

解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?)12n?1.于是

1131an?an?1?(?)n?1?(?)n?2??()n?2,n?2.

2222|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|

=

3?1121n-1?1n??=??1??（）???（）3?1?（）??3. ??2?2222???

所以首项为1，公比为?1的等比数列是B-数列 . 2（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题. 事实上设xn=1，n?N，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n. 由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。

命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N，有 |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M,

即|xn?1|?|xn|???|x2|?M.于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1

**?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1,

所以数列{xn}是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N?,有 an?1?an?an?an?1???a2?a1?M. 因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1 ?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1.

22记K?M?a1，则有an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)

?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.

222222因此an?1?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM. 2故数列an是B-数列.

??33. (2009陕西卷理) 已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

（Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()证明（1）由x1?1265n?1。 112513 及xn+1?得x2??x4?，x4?21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111 ??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3)=

x2k?x2k?2?0

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?

1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?

1?xn?12?xn?1?xn?xn?xn?111 ??1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x2?x1555 12n-1?（）65?34.（2009四川卷文）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?4?an(n?N*) 1?an（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找

出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

*（III）记cn?b2n?b(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都2n1?有Tn?3； 2解（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

1 4?an?1?an?5an?1,即an?11?? an411，公比为q??的等比数列， 441n4?(?)1n4(n?N*) ?????????????3分 ∴an?(?)，bn?141?(?)n4∴数列?an?是首项为a1??（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

14?(?)n54?4?证明：由（I）知bn? n1n(?4)?11?(?)4552015?16k?40?b2k?1?b2k?8???8?k?k?8?k?8. 2k?12kk(?4)?1(?4)?116?116?4(16?1)(16?4)5∴当n为偶数时，设n?2m(m?N) ∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k

∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4???5得 n(?4)?1

5515?16n15?16n15?16n15cn?b2n?1?b2n?2n?????4?142n?1?1(16n?1)(16n?4)(16n)2?3?16n?4(16n)216n134,?c2?， 333当n?1时，T1?，

2又b1?3,b2?当n?2时，

11n?2[1?()]24111416Tn??25?(2?3???n)??25?161316161631?16

12469316??25???134821?16 ?????????????14分

35.（2009天津卷理）已知等差数列{an}的公差为d（d?0），等比数列{bn}的公比为q（q>1）。设sn=a1b1+a2b2?..+ anbn,Tn=a1b1-a2b2+?..+(-1)n?1 anbn,n?N (I)

若a1=b1= 1，d=2，q=3，求 S3 的值；

?(II)

2dq(1?q2n)?若b1=1，证明（1-q）S2n-（1+q）T2n=，n?N； 21?q(Ⅲ) 若正数n满足2?n?q，设k1,k2,...,kn和l1,l2,...,ln是1，2...，，n的两个不同的排列，

c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn， c2?al1b1?al2b2?...?alnbn 证明

c1?c2。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。 （Ⅰ）解：由题设，可得an?2n?1,bn?3n?1,n?N*

所以，S3?a1b1?a2b2?a3b3?1?1?3?3?5?9?55 （Ⅱ）证明：由题设可得bn?qn?1则

S2n?a1?a2q?a3q2?.....?a2nq2n?1, ①

T2n?a1?a2q?a3q2?a4q3?.....?a2nq2n?1,S2n?T2n?2(a2q?a4q?...?a2nq①

① 式加上②式，得

式减去②式，得

32n?1) ②

S2n?T2n?2(a1?a3q2?....?a2n?1q2n?2) ③ ② 式两边同乘q，得

q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q3?....?a2n?1q2n?1) 所以，

(1?q)S2n?(1?q)T2n?(S2n?T2n)?q(S2n?T2n)

?2d(q?q3?K?q2n?1)

2dq(1?q2n)*?,n?N1?q2(Ⅲ)证明：c1?c2?(ak1?al1)b1?(ak2?al2)b2?K?(akn?aln)bn ?(k1?l1)db1?(k2?l2)db1q?K?(kn?ln)db1qn?1 因为d?0,b1?0,所以

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q?K?(kn?ln)qn?1 db1（1） 若kn?ln，取i=n

（2） 若kn?ln，取i满足ki?li且kj?lj,i?1?j?n 由（1）,(2)及题设知，1?i?n且

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q?K(ki?1?li?1)qi?2?(ki?li)qi?1 db1① 当ki?li时，得ki?li??1,由q?n，得ki?li?q?1,i?1,2,3.....i?1 即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1)?，(ki?1?li?1)q又(ki?li)qi?1??qi?1,所以

i?2?qi?2(q?1)

c1?c21?qi?1i?2i?1 ?(q?1)?(q?1)q?K(q?1)q?q?(q?1)db11?q因此c1?c2?0,即c1?c2 ② 当ki?li同理可得综上，c1?c2

36.（2009四川卷理）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?c1?c2??1，因此c1?c2 db14?an(n?N*)。 1?an（I）求数列?bn?的通项公式；

*（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都

有Tn?3； 2（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??又 Qan?5an?1,an?1?5an?1?1

1 41?an?1?an?5an?1,即an?1??an

411?数列?an?成等比数列，其首项a1??，公比是q??

441?an?(?)n

414?(?)n4??????????????..3分 ?bn?11?(?)n4（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?4?5

(?4)n?1

5525?16n ?cn?b2n?b2n?1?2n??4?142n?1?1(16n?1)(16n?4)25?16n25?16n25 = ??n n2nn2(16)?3?16?4)(16)16134,?c1? 333当n?1时，T1?

24111当n?2时，Tn??25?(2?3?K?n)

316161611n?1[1?()]241616??25?131?16

12469316??25???......................7分148231?16 又b1?3,b2?（Ⅲ）由（Ⅰ）知bn?4?5 n(?4)?1*一方面，已知Rn??n恒成立，取n为大于1的奇数时，设n?2k?1(k?N) 则Rn?b1?b2?K?b2k?1

1111???KK?) 41?142?143?142k?1?111111?(2?3)?KK?(2k?2k?1)] ?4n?5?[?14?14?14?14?14?1 ?4n?5?(? >4n?1

??n?Rn?4n?1,即（??4）n??1对一切大于1的奇数n恒成立 ???4,否则，（??4）n??1只对满足n?1的正奇数n成立，矛盾。 4??另一方面，当??4时，对一切的正整数n都有Rn?4n 事实上，对任意的正整数k，有

b2n?1?b2n?8?5(?4)2k?1?1(?4)2k?1

?5

?8?520 ?kk(16)?1(16)?415?16k?40 ?8??8 kk(16?1)(16?4)?当n为偶数时，设n?2m(m?N*)

则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?1?b2m) <8m?4n

当n为奇数时，设n?2m?1(m?N*)

则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?3?b2m?2)?b2m?1 <8(m?1)?4?8m?4?4n

?对一切的正整数n，都有Rn?4n

综上所述，正实数?的最小值为4??????????.14分

37.（2009年上海卷理）已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。 （1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,

**an?1?bn,并说明理由； an（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是数列?bn?中的一项，请证明。

[解法一]（1）由am?am?1?ak，得6m?5?3k?1， ．．．．．．2分 整理后，可得k?2m?4?，?m、k?N，?k?2m为整数， 3．．．．．5分 ?不存在m、k?N?，使等式成立。 ．（2）若

an?1a1?nd?bn，即?b1qn?1， （*）

a1?(n?1)dan?1（ⅰ）若d?0,则1?b1q?bn。

当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分

（ⅱ）若d?0，（*）式等号左边取极限得lima1?nd（*）式等号右边的极限只?1，

n??a?(n?1)d1有当q?1时，才能等于1。此时等号左边是常数，?d?0，矛盾。

综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分 【解法二】设an?nd?c,若an?1?bn,且?bn?为等比数列 an则

an?2an?1/?q,对n?N*都成立，即anan?2?qa2n?1 an?1an?(dn?c)(dn?2d?c)?q(dn?d?c)2对n?N*都成立，?a2?qd2....7分

（i） （ii）

若d=0，则an?c?0,?bn?1,n?N* 若d?0,则q=1,?bn?m（常数）即

*dn?d?c?m，则d=0，矛盾

dn?c综上所述，有an?c?0,bn?1,使对一切n?N,（3）an?4n?1,bn?3n,n?N*

an?1?bn， 10分 an设am?1?am?2????am?p?bk?3,p、k?N,m?N.

k*4(m?1)?1?4(m?p)?1p?3k，

23k?4m?2p?3?,?p、k?N*,?p?35,s?N. 13分

p取k?3s?2,4m?32s?2?2?3s?3?(4?1)2s?2?2?(4?1)s?3?0, 15分

2s+2

由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）=4M1+1,

2?(4?1)s?8M2?(?1)s2,

?4m?4(M1?2M2)?(?1)s?12,?存在整数m满足要求.

故当且仅当p=3,s?N时，命题成立.

s

??说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p为偶数，则am+1+am+2+??+am+p为偶数，但3为奇数 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

k

当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3， 而3=(4-1)

k

k

k

01=Ck?4k?Ck?4k?1?(?1)????Ckk?1?4?(?1)k?1?Ckk?(?1)k?4M?(?1)k,M?Z,

当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3成立 1分 当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3,所以4m+9=3,4(m+1)+5=3

k

k-1

k-1

k

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3成立 2分 当p=5时，则am+1+am+2+??+am+5=bk,即5am+3=bk

也即5（4m+13）=3,而3不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 38.(2009重庆卷理）设m个不全相等的正数a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈． （Ⅰ）若m?2009，且a1,a2,?,a1005是公差为d的等差数列，而a1,a2009,a2008,?,a1006是

k

k

k

公比为q?d的等比数列；数列a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足：

S3?15,S2009?S2007?12a1，求通项an(n?m)；

（Ⅱ）若每个数an(n?m)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

22a1???a6?a7???am?ma1a2am；

2解：（I）因a1,a2009,a,a2008,???1006是公比为d的等比数列，从而a2000?a1d,a2008?a1d 由

S2009?S2008?12a1得a2008?a2009?12a1，故

解得d?3或d??4（舍去）。因此d?3 又 S3?3a1?3d?15。解得a1?2 从而当n?1005时，

an?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1

当1006?n?2009时，由a1,a2009,a2008,???,a1006是公比为d的等比数列得

an?a1d2009?(n?1)?a1d2010?n(1006?n?2009)

因此an???3n?1,n?1005?2?32009?n,1006?n?2009

22222222（II）由题意an?an?1an?1(1?n?m),am?am?1a1,a1?ama2得

　　　①　?an?an?1an?1(1?n?m),??am?am?1a1　　　　　　　　　② ?a?aa　　　　　　　　　　③m2?1有①得a3?a2a11,a4?,a5?,a6?1 ④ a3a1a2a2由①，②，③得a1a2???an?(a1a2???an)2， 故a1a2???an?1. ⑤ 又ar?3?ar?2ar?111???(1?r?m?3)，故有 ar?1arar?1arar?6?1?ar(1?r?m?6).⑥ ar?3下面反证法证明：m?6k

若不然，设m?6k?p,其中1?p?5

若取p?1即m?6k?1，则由⑥得am?a6k?1?a1，而由③得am?a1a,故a1?1, a2a2得a2?1,由②得am?1?am,从而a6?a6k?am?1,而 a1a6?a1,故a1?a2?1,由④及⑥可推得an?1（1?n?m）与题设矛盾 a2同理若P=2，3，4，5均可得an?1（1?n?m）与题设矛盾,因此m?6k为6的倍数 由均值不等式得

a1?a2?a3?K?a6?(a1?aa11)?(a2?)?(2?1)?6 a1a2a1a2由上面三组数内必有一组不相等（否则a1?a2?a3?1，从而a4?a5?K?am?1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1?a2?a3?K?a6?6

又m?6k，由④和⑥得

222222a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6k?5?K?a6k)2　　　　　＝（k-1)　(a12?K?a6)

　　　＝（k-1)　(a12?因此由⑤得

１１１22＋a?＋a?)?６(k-1)２３222a1a２a３22a1?a2?a3?K?a6?a7?K?am?6?6(k?1)?6k?m?ma1a2a3Kam

2005——2008年高考题

一、选择题

1.（2008江西卷）在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?)，则an?（ ） A．2?lnn B．2?(n?1)lnn C．2?nlnn D．1?n?lnn 答案 A

2.（2007福建）数列{an}的前n项和为Sn，若an?A．1 答案 B

3.（2007宁夏）已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y?x?2x?3的顶点是(b，c)，则

21n1，则S5等于（ ）

n(n?1)

D．

B．

5 6 C．

1 61 30ad等于（ ）

Ａ．3 答案 B

Ｂ．2 Ｃ．1

Ｄ．?2

????????????4．（2006江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、

B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ）

A．100 B. 101 C.200 D.201 解析 依题意，a1＋a200＝1，故选A 答案 A

5. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔

形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A. 4 C.6

B.5. D.7

答案 C 二、填空题

6.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．

n2?n?6答案

27.（2008湖北）观察下列等式：

121i?n?n, ?22i?1n?ii?1nn2111?n3?n2?n, 3261413123i?n?n?n, ?424i?1?ii?1nn41111?n5?n4?n3?n, 52330161554125i?n?n?n?n, ?621212i?11716151316i?n?n?n?n?n, ?722642i?1??????????????

n

?ii?1nk?ak?1nk?2?aknk?ak?1nk?1?ak?2nk?2?????a1n?a0,

11,ak?,ak?1? k?12*可以推测，当x≥2（k?N）时，ak?1?ak?2? . 答案

k 0 1228.（2007重庆）设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x8x?3?0的两根，则a2006?a2007?_____. 答案 18

9．（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)?_____；

f(n)?_____（答案用n表示）.

答案 f(3)?10，f(n)?三、解答题

10.（2008全国I）设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)．

n(n?1)(n?2)

61)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，（Ⅱ）证明：an?an?1?1； （Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb（Ⅰ）证明：f(x)?x?xlnx，f'?x???lnx,当x??0,1?时，f'?x???lnx?0 故函数f?x?在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0?a1?1，a1lna1?0，

a2?f(a1)?a1?a1lna1?a1

1)是增函数，且函数f(x)在x?1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增由函数f(x)在区间(0，

函数，a2?f(a1)?a1?a1lna1?1，即a1?a2?1成立；

（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1 那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得

f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，

ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an)可

a?b?a?b?alna?a1?b??ailnai k?1kkki?1k1， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak?1?b?ai?b≥0 2， 若对任意i≤k都有ai?b，则a ?b?a?b?alnak?1kkk a?b?kalnb?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11i?1i?1i?1kkk?a?b?kalnb?a?b?(a?b)?0，即ak?1?b成立. 111111.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10

??

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝

2bn1=（n≥2）.

bnSN?S2n1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn(Ⅰ)证明数列｛

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为

同一个正数.当a81??4时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和. 9112.(2007湖南)已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?ex上的点，a1?a，Sn是数列{an}22n?2，3，4，的前n项和，且满足Sn?． ?3n2an?Sn?1，an?0，

?bn?2?（I）证明：数列??（n≤2）是常数数列；

?bn?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增

222解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan．

因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2． ?? ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2． ??② 由②－①得an?1?an?6n?3． ?? ③ 于是an?2?an?1?6n?9． ?? ④ 由④－③得an?2?an?6， ?? ⑤

?b?bn?2ean?2所以?an?ean?2?an?e6，即数列?n?2?(n≥2)是常数数列．

bne?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以

a3?3?2a，a4?18?2a．

而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列， 所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)， 数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立．

?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1) ?a1?a2?a3?a4?a?12?2a?3?2a?18?2a?即所求a的取值集合是M??a915?a?． 44?915??a??．

4??4

bn?1?bnean?1?ean（III）解法一：弦AnAn?1的斜率为kn? ?an?1?anan?1?anex(x?x0)?(ex?ex0)ex?ex0任取x0，设函数f(x)?，则f(x)? 2x?x0(x?x0)记g(x)?ex(x?x0)?(ex?e0)，则g?(x)?ex(x?x0)?ex?ex?ex(x?x0)， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，

所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，??)上都是增函数．

由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增，

xean?1?eanean?2?ean取x0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?． ?an?1?anan?2?anean?1?ean?2ean?ean?2取x0?an?2，因为an?an?1?an?2，所以kn?1?． ?an?1?an?2an?an?2所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．

ex?ean?1解法二：设函数f(x)?，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，??)上都是

x?an?1增函数，

ean?ean?1ex?ean?1ean?2?ean?1ex?ean?1an?1an?1所以kn?，． ?lim?ek??lim?en?1??n→an→aan?an?1an?2?an?1n?1x?an?1x?an?1n?1故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．

13.（2007浙江）已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程

x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，?)．

(I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n． (I)解：方程x?(3k?2)x?3k?2?0的两个根为x1?3k, x2?2． 当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2；

2kkk

当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8； 当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12； 因为n≥4时，2?3n，所以a2n?2n (n?4)

n3n2?3nn?1?2?2．（Ⅱ） S2n?a1?a2???a2n?(3?6???3n)?(2?2???2)＝

22n14.（2007四川）已知函数f（x）=x－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与

+x轴的交点为（xn+1,u）（u,N ），其中为正实数.

2

（Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，记an=lg

xn?2，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式； xn?2（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．

（Ⅰ）由题可得f'(x)?2x．

所以曲线y?f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：y?f(xn)?f'(xn)(x?xn)．

2即y?(xn?4)?2xn(x?xn)．

2令y?0，得?(xn?4)?2xn(xn?1?xn)． 2即xn?4?2xnxn?1．

显然xn?0，∴xn?1?xn2?． 2xnxn2xn2(xn?2)2(xn?2)2（Ⅱ）由xn?1?，同理xn?1?2?． ?，知xn?1?2???2?2xn2xn2xn2xn 故

xn?1?2x?22?(n)．

xn?1?2xn?2从而lgxn?1?2x?2，即an?1?2an．所以，数列{an}成等比数列． ?2lgnxn?1?2xn?2

故an?2n?1a1?2n?1lgx1?2?2n?1lg3． x1?2即lgxn?2?2n?1lg3． xn?2n?1xn?2?32 xn?2从而

所以xn?2(32?1)32n?1n?1?1

n?1（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn?2(32?1)32n?1?1，

∴bn?xn?2?n?1432n?1?1?0

bn?132?11111∴?2n?2n?1?2n?1?21?1?

bn33?13?133当n?1时，显然T1?b1?2?3． 当n?1时，bn?111bn?1?()2bn?2???()n?1b1 333∴Tn?b1?b2???bn

11?b1?b1???()n?1b1

331b1[1?()n]3 ?11?31?3?3?()n?3．

3 综上，Tn?3(n?N*)．

15.（2005湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

2*

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

22cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)*

即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1? 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且x1? （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

0

下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①当n=1时，结论显然成立. ②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

第二部分 三年联考题汇编

2009年联考题

一、选择题

2

a?b. ca?b时，每年年初鱼群的总量保持不变. c

1.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数y?f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意的实数x,y?R，等式f(x)f(y)?f(x?y)成立．若数列{an}满足a1?f(0)，且f(an?1)?1(n?N*)，则a2009的值为( )

f(?2?an)A． 4016 B．4017 C．4018 D．4019 答案 B

2.（2009厦门乐安中学）在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（ ）

A．55

B．40

C．35

D．70

答案 B

3. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 等差数列?an?中，Sn是其前n项和，

a1?2008，

S2007S2005??2，则S2008的值为（ ） 20072005 ?A??2006 ?B?2006 ?C??2008 ?D?2008 答案 C

4.（2009宁乡一中第三次月考）等差数列{an}中，a10?0，a11?0，且|a10|?|a11|，Sn为其前n项之和，则（ ）

A．S1,S2,?,S10都小于零，S11,S12,?都大于零 B．S1,S2,?,S5都小于零，S6,S7,?都大于零 C．S1,S2,?,S19都小于零，S20,S21,?都大于零 D．S1,S2,?,S20都小于零，S21,S22,?都大于零 答案 C

5.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 数列{an}满足a1?1,an?11m222S?S?若对任?4?1,记S?a?a???a,2n?1nn12n230an C．8

（ ） D．7

意n?N*恒成立，则正整数m的最小值 A．10

B．9

答案：A.

6.（抚顺一中2009届高三第一次模拟） 数列{an}满足a1+ 3·a2+ 3·a3+?+ 3·an=

2

n-1

n，则an= 2n1 B

2n3n11C D

2?3n?13?2n?1A 答案：C.

7.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）

已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+?+an，则下列结论正确的是

A．a2008= – a，S2008=2b – a B．a2008= – b，S2008=2b – a C．a2008= – b，S2008=b – a D．a2008= – a，S2008=b – a 答案：A. 二、填空题

8.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)对于集合N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，则当n?3时，S3= ______________ ；根据S2、猜想集合N ={1, 2, 3,?, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=__________. S3、S4， 答案 12 , n?2n?1

9.（2009广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N* 都有Sn=21an?，且1

10.(湖北省孝感市2009届高三3月统考理) 如图，以O?0,0?、A?1,0?为顶点作正?OAP1， 再以P1和P1A的中点B为顶点作正PBP12，再

以P2和P2B的中点C为顶点作正P2CP3，?， 如此继续下去。有如下结论： ①所作的正三角形的边长构成公比为

1的等比数列； 2②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2（x?1）上； ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是??63213?；

?64,64????n??④第n个正三角形的不在第n?1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，则limxn?1. 其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都填上） ．答案 ①②③④

11.（2009江西师大附中）设等比数列{an}的前n项和Sn?2n?a，等差数列{bn}的前n项和Tn?n2?2n?b，则a＋b＝ ． 答案 -1

12.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

2已知方程x?mx?2???x2?nx?2??0的四个根组成一个首项为

1的等比数列，则2|m-n|= 。 答案：

3. 2三、解答题

13.（2009龙岩一中第6次月考）某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+

1)万元（n为正整数）. n2（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；

（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

解: (Ⅰ)依题意知，数列An是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以

An?480n?n(n?1)?(?20)?490n?10n2， 2111Bn?500(1?)?500(1?2)???500(1?n)?600＝500n?500(1?12???1n)?600

22222211[1?()n]22?600500n?500?100＝500n?500?＝ n121?2 (Ⅱ)依题意得，Bn?An，即500n?可化简得

5002?100?490n?10n， n250?n2?n?10， n250?可设f(n)?n，g(n)?n2?n?10

2又?n?N?，?可设f(n)是减函数，g(n)是增函数，又

f(3)?5050?g(3)?2,f(4)??g(4)?8 816则n?4时不等式成立，即4年 14.（2009韶关一模）已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2?（I）求F??1??2??2008??F?...?F?????;

?2009??2009??2009?（II）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?2n?1. 解:(?)因为F?x??F?1?x??3x?23?1?x??2??3 2x?12?1?x??1所以设S=F??1??2??2008??F?...?F?????;..........（1）

200920092009???????2008??2007??1??F?...?F????????.(2)

?2009??2009??2009?

S=F?(1)+(2)得:

??1???2008??2008????2??2007???1??2S??F??F?F?F?...?F?F????????????????200920092009200920092009??????????????????

=3?2008?6024,

所以S=3012

(??)由an?1?F?an?两边同减去1,得

an?1?1?3an?2a?1 ?1?n2an?12an?1所以

1an?1?11?2an?12?an?1??11, ??2?an?1an?1an?1?1?11所以??2,??1为首项的等差数列, ?是以2为公差以

a?1an?1?1an?1a?1?n?1所以

12n1? ?2??n?1??2?2n?1?an?1?2n?12n?1an?122?????因为?2n???2n??1??2n?1??2n?1?

所以

2n2n?123452n2n?1???,?,...? 2n?12n12342n?12n所以a1a2a3...an??a1a2a3...an?2?22442n2n ???......?11332n?12n?1>

23452n2n?1???......??2n?1 12342n?12nk?15.（2009聊城一模）过点P（1，0）作曲线C:y?x(x?(0,??),k?N,k?1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，?。依此下去，得到一系列点M1，M2?，Mn，?，设它们的横坐标a1，a2，?，an，?，构成数列为?an?。

（1）求证数列?an?是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：an?1?n； k?1 （3）当k?2时,令bn?kn,求数列?bn?的前n项和Sn。 ank?1k,切点是Mn(an,an)的切线方程是

解：（1）对y?x求导数，得y?kx

kk?1y?an?kan(x?an)

当n=1时，切线过点P（1，0），即0

?a1k?ka1k?1(1?a),得a1?k; k?1当n>1时，切线过点pn?1(an?1,0)，即0所以数列?an?是首项a1?kk?1?an?kan(an?1?an),得ank?. an?1k?1kk,公比为的等比数列, k?1k?1kn的通项公式为an?(),n?N? 所以数列?an?k?1 （2）应用二项公式定理，得

kn1n1121n012n)?(1?)?Cn?Cn?Cn()???Cn()k?1k?1k?1k?1k?1

n?1?.?????(8分)k?1an?(（3）当

n123n??.数列b的前项n项和S??????， nn222232n2n11123n同乘以,得Sn?2?3?4???n?1.

222222k?2时,an?2n,bn?两式相减，得

11(1?n)11121n2?n?1?1?n Sn??2?3???n?n?1?212222222n?12n2n?11?2n?2所以Sn?2? n216.（2009闵行三中模拟）已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次

1函数y?1图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、?、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴4x?12正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。

⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列； ⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；

⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。

11解：（1）yn?4(n?N),∵yn+1-yn=n?1214,∴{yn}为等差数列 ??????4分

（2）因为?AnBnAn?1与?An?1Bn?1An?2为等腰三角形.

?xn?xn?1?n??2所以?，两式相减得 xn?2?xn?2。??????7分

x?x?n?1n?2?n?1??2注：判断xn?2?xn?2得2分，证明得1分

∴x1,x3,x5,?,x2n-1及x2,x4,x6 ，?，x2n都是公差为2的等差数列，??????6分 n?a?1 (当n为奇数) ??????10分 ∴x???n?n-a (当n为偶数)11 （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2yBn=2(n)?xn+1-xn=2(n) ?12?1244 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).

111 ?2(1-a)=2(n) ?a=12(n为奇数，0＜a＜1) (*) ?12?n44 取n=1，得a=

23，取n=3，得a=6，若n≥5，则(*)无解； ??????14分

1 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.

11 ∴2a=2(n)?a=n(n为偶数，0＜a＜1) (*?)， ?12?1244取n=2，得a=12,若n≥4，则(*?)无解.

综上可知，存在直角三形，此时a的值为3、

2007——2008年联考题

2716、12. ??????18分

7

一、选择题

1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)集合A={1,2,3,4,5,6},从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（ ） A、4个 B、8个 C、10个 D、12个 答案：D

2.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如果数列{an}满足a1,首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于 A．2 答案：D

100

aa2a3,,...,n,...是a1a2an?1 B．2

99

C．2

5050

D．2

4950

3. (北京市东城区2008年高三综合练习一）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=7a1则数列{an}的公比q的值为（ ） A．2 答案：C

4.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若

B．3

C．2或－3

D．2或3

a4?18?a5，则S8等于

A. 18 B. 36 C.54 D. 72 答案：D

5.(北京市宣武区2008年高三综合练习一)设等比数列?an?的首相为a1，公比为q ，则“a1< 0 且0< q <1”是“对于任意n?N都有an?1?an”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件 答案：A

6.(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有（ ） A．

?a4a6 ?a6a8 B．

aaa4a6aa C．4?6 D．4?6 ?a6a8a6a8a6a8

答案：B

7.(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为

An和Bn，且

An7n?41a，则使得n为整数的正整数n的个数是( ） ?Bnn?3bnB．3

C．4

D．5

A．2 答案：B

8.(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是

1?23?1?22?0?21?1?20= 13，那么将二进制数（ ）. （1111?1）2转换成十进制形式是?????16个1A．217?2 B．216?2 C．216?1 D．215?1 解析：(111?1)2?1?215?1?214??1?21?1?20?216?1， ???16答案：C

9.(湖北省八校高2008第二次联考)在数列?an?中，n?N*，若

an?2?an?1?k（k为常数），

an?1?an则称?an?为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0

②等差数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0

③等比数列一定是等差比数列 其中正确的判断是（ ） A．①② 答案：D

B．②③ C．③④ D．①④

P的10.(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)对于一个有限数列P??P，P，?，P12n?，

蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为

1?S1?S2???Sn?，其中n若一个99项的数列?PSk?P，P，?，P1?P2???Pk?1?k?n?，1299?的蔡查罗和为1000，那么100项数列?1，P，P，?，P1299?的蔡查罗和为（ ）

A．991 B.992 C.993 D.999

答案：A

二、填空题

11.(2008广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）??

试用 n表示出第n个图形的边数 an=____________. 答案：3×4

n－1

.

12.(2008江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,?)，则第n－2个图形中共有 个顶点。

答案：n+n

13.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n表示).

第1件

22

第2件

第3件 第4件

答案：66，2n?3n?1

14.(河南省上蔡一中2008届高三月考)如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是

答案：（-31，7）

15.(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作aij(i,j?N)，如第2行第4列的数是15，记作a24＝15，则有序数对(a28,a84)是 。

1 4 5 16 17 36 ??

* 2 3 6 15 18 35 ?? 9 8 7 14 19 34 ?? 10 11 12 13 20 33 ?? 25 24 23 22 21 32 ?? 26 27 28 29 30 31 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 答案：（63，53）

三、解答题

16.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知f(x)??4?1数列{an}的前n2x项和为Sn，点Pn(an,?1)在曲线y?f(x)上(n?N*)且a1?1,an?0. an?1

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