2015年4月上海市嘉定区第二学期高三二模数学练习卷（文）及参考

2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研

数学试卷（文）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

21．已知集合A?{x|x|?2,x?R}，B?{xx?1?0,x?R}，则A?B?________．

2．抛物线x2?8y的焦点到准线的距离是______________．

3．若(1?ai)i?2?bi，其中a、b?R，i是虚数单位，则|a?bi|?_________． 4．已知函数g(x)?2x，且有g(a)g(b)?2，若a?0且b?0，则ab的最大值是_______． 5．设等差数列?an?满足a5?11，a12??3，?an?的前n项和Sn的最大值为M，则

lgM=__________．

6．若(a?x)8?a0?a1x?a2x2?...?a8x8（a?R），且a5?56，则a0?a1?a2?...?a8? _______________．

7. 方程sinx?3cosx?0在x?[0,?]上的解为_____________．

?y?0,?8. 设变量x,y满足约束条件?x?y?1?0,则z?2x?y的最大值为_____________．

?x?y?3?0,?

9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示， 则这个正三棱柱的表面积为__________．

主视图

左视图

俯视图

10．已知定义在R上的单调函数f(x)的图像经过点A(?3,2)、B(2,?2)，若函数f(x)的

反函数为f?1(x)，则不等式2f?1(x)?1?5的解集为 ．

11. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3

张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________．

1

12．已知函数f(x)?x|x?a|?2x，若a?0，关于x的方程f(x)?9有三个不相等的实

数解，则a的取值范围是__________．

13．在平面直角坐标系xOy中，点列A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，?，An(xn,yn)，?，满

1?x?(x?yn),??n?12n足?若A1(1,1)，则lim(|OA1|?|OA2|???|OAn|)?_______．

n???y?1(x?y),n?1nn?2?14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数， 得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列

?an?，若an?2015，则n?____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC中，“sinA?

A．充分非必要条件 C．充要条件

?1?”是“A?”的??????????????（ ） 26B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

?16．已知平面直角坐标系内的两个向量a?(1,2)，b?(m,3m?2)，且平面内的任一向

量c都可以唯一的表示成c??a??b(?,?为实数），则实数m的取值范围是（ ）

A．(??,2)

B．(2,??)

C．(??,??)

D．(??,2)????(2,??)

x2y217．设双曲线2?2?1（a?0，b?0）的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐

ab近线方程为?????????????????????????????（ ） A．y??2x B．y??2x C．y??12x D．y??x

2218．在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的

体积与四棱锥V?ABCD的体积之比为?????????????????（ ）

A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3

2

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在△ABC中，已知2sin（1）求角C的大小； （2）若角A?2A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2?6，求△ABC面积的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD，PD?AD?2，?BAD?60?，E、E分别为BC、PA的中点．

（1）求证：ED?平面PAD； P （2）求三棱锥P?DEF的体积．

F

C D

E A

B

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)?与气象有关的参数，且a??0,作M(a)．

（1）令t?x3，x?[0,24)，其中a是?a?2a?2x?14??1?．若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记2??x，x?[0,24)，求t的取值范围； 2x?1（2）求M(a)的表达式，并规定当M(a)?2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

3

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x2y2已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的焦距为2，且椭圆C的短轴的一个端点与左、

ab右焦点F1、F2构成等边三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设M为椭圆上C上任意一点，求MF1?MF2的最大值与最小值；

（3）试问在x轴上是否存在一点B，使得对于椭圆上任意一点P，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定值．若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数f(x)?x2?m，其中m?R．定义数列{an}如下：a1?0，

an?1?f(an),n?N*．

（1）当m?1时，求a2，a3，a4的值；

（2）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；

（3）求证：当m?1*时，总能找到k?N，使得ak?2015． 4 4

2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准

一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）

1．{x?2?x??1或1?x?2} 2．4 3．5 4．

1 42? 8．6 39．24?83 10．(?2,2) 11．544

?9?12．?4,? 13．2?22 14．1030

?2?5．2 6．256 7．x?

二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，1?cos(A?B)?cos2C?1，

2因为A?B?C??，所以cos(A?B)??cosC，故2cosC?cosC?1?0，??（2分）

解得cosC??1（舍），或cosC?所以，C?1． ??????（5分） 2?3． ??????（6分）

（2）由正弦定理，

c?2R，得sinCcsin?3?4，所以c?4sin?3?23． ???（2分）

a?2R，得a?2， ????（4分）

6sinA?1又B?，所以△ABC的面积S?ac?23． ????（6分）

22因为A?，由

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，

P

所以，BD?2，DE?BC， ??????（1分） 因为AD∥BC，所以DE?AD，?????（2分） 又PD?平面ABCD，所以PD?DE，??（4分） 因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．?（6分） F （2）因为S?PDF??111S?PDA???22?1，??（2分） 222A

D E B C

且DE?3， ??????????（4分）

所以，VP?DEF?VE?PDF?113S?PDF?DE??1?3?． ??????（8分） 3335

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． （1）当x?0时，t?0； ??????（2分）

2当0?x?24时，因为x?1?2x?0，所以0?x1?， ????????（4分） x2?12?1?． ??????????????（5分） ?2??x?1??1?（2）当a??0,?时，由（1），令t?2，则t??0,?， ????（1分）

x?1?2??2?3?3a?t?,0?t?a,3??4所以f(x)?g(t)?|t?a|?2a??? ??????（3分）

4?31t?a?,a?t?,?42??1?于是，g(t)在t??0,a?时是关于t的减函数，在t??a,?时是增函数，

?2?351?1??1?因为g(0)?3a?，g???a?，由g(0)?g???2a?，

442?2??2?15?1?所以，当0?a?时，M(a)?g???a?；

44?2?113当?a?时，M(a)?g(0)?3a?， 42451?a?,0?a?,??44即M(a)?? ????????????（6分）

311?3a?,?a?.?442?5由M(a)?2，解得0?a?． ????????????（8分）

12?5?所以，当a??0,?时，综合污染指数不超标． ??????????（9分）

?12?即t的取值范围是?0,

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）已知，c?1，a?2c?2， ????????（2分） 所以b?a?c?3， ??????????????（3分）

222x2y2??1． ????????（4分） 所以椭圆的标准方程为43（2）F1(?1,0)，F2(1,0)，设M(x,y)，则MF2?(1?x,?y)，1?(?1?x,?y)，MF22?2?x?2）， ????????（2分） MF1?MF2?x?y?1（

?x2?12x2y2222??1，所以，MF1?MF2?x?y?1?x?3?因为 ?1?4???4x?2，?（4分）43??223由0?x?4，得MF 1?MF2的最大值为，最小值为． ??????????（6分）

6

（3）假设存在点B(m,0)，设P(x,y)，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定

(x?m)2?y2??， ??????????????????（1分） 值?，则有

|x?4|整理得x2?y2?2mx?m2??2(x?4)2， ??????????????（2分）

x2y2?1???1，得???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2?0对任意的x?[?2,2]都由43?4?成立． ????????????????????????（3分）

?1???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2， ?4?22则由F(0)?0得m?3??6??0 ①

22由F(2)?0得m?4m?4?4??0 ②

令F(x)??由F(?2)?0，得m?4m?4?36??0 ③

221

，m?1． ??????????（5分） 2

所以，存在满足条件的点B，B的坐标为(1,0)． ?????????（6分）

由①②③解得得??

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（1）因为m?1，故f(x)?x2?1， ????????????（1分） 因为a1?0，所以a2?f(a1)?f(0)?1，????（2分）

a3?f(a2)?f(1)?2， ????（3分） a4?f(a3)?f(2)?5． ????（4分）

（2）解法一：假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．

则得到a2?f(0)?m，a3?f(m)?m?m，a4?f?a3??m?m22??2 ?m．?（2分）

因为a2，a3，a4成等差数列，所以2a3?a2?a4， ????3分 所以，2m?m?m?m?m?2??2?2?m，化简得m2m2?2m?1?0，

??解得m?0（舍）,m??1?2． ?????????????（5分）

经检验，此时a2,a3,a4的公差不为0，

所以存在m?1?2，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ????（6分） 方法二：因为a2，a3，a4成等差数列，所以a3?a2?a4?a3，

22即a2?m?a2?a3?m?a3， ????????????????（2分）

所以a3?a2??a3?a2??0，即?a3?a2??a3?a2?1??0．

22??因为公差d?0，故a3?a2?0，所以a3?a2?1?0解得m??1?2． ???（5分） 经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0． 所以存在m??1?

2，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ????（6分）

7

1??1?1??m?an??an????m???m?, ????（2分）

2??4?4?11又 m?, 所以令t?m??0 ??????????（3分）

44由an?an?1?t，an?1?an?2?t，??，a2?a1?t，

将上述不等式全部相加得an?a1?(n?1)t，即an?(n?1)t， ???????（5分） 因此要使ak?2015成立，只需(k?1)t?2015，

2015201512（3）因为an?1?an?an2所以，只要取正整数k?t?，就有ak?(k?1)t?综上，当m?1*4时，总能找到k?N，使得ak?2015．

8

t?t?2015．

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