5-4-线性微分方程解的结构
更新时间:2023-07-22 17:32:01 阅读量: 实用文档 文档下载
习题5.4(P306)
1. 用观察法求下列方程的一个特解.
(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0
解:由于方程中y及y′的系数有关系:p(x)+xq(x)=0,故y=x为上述方程的一个特解.
(2) xy′′ (1+x)y′+y=0
解:由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零,故y=e为上述方程的一个特解.
2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.
解:方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0,特征根为r1,2=±i, 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx
设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx, 22x
′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0
′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)
′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0
′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0
′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)
sin2x′(x)= ′(x)=sinx, 联立(1)(2)解得C1,C2cosx
sin2x解得C1(x)=∫ dx=sinx lnsecx+tanx, cosx
C2(x)=∫sinxdx= cosx, 故该方程的通解为y=C1cosx+C2sinx cosx lnsecx+tanx
3. 验证y1=e
的通解.
第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 1/3 x2和y2=xex22都是方程y′′ 4xy′+(4x 2)y=0的解,并写出该方程
x2x2′=2xe证明:y1
左=(2ex2′′=2e,y12′,y1′′代入方程左端: +4x2ex,把y1,y1222+4x2ex) 4x 2xex+(4x2 2)ex=0=右,所以y1=ex是方程2y′′ 4xy′+(4x2 2)y=0的解;
x′代入方程左端: ′=6xex+4x3ex,把y2,y′y′+2x2ex,y′2=e22,y′22222
左=(6xex2+4x3ex) 4x (ex+2x2ex)+(4x2 2)xex=0=右,
x22222所以y2=xe
由于y1=e
2是方程y′′ 4xy′+(4x 2)y=0的解; x2x2和y2=xe线性无关,故该方程的通解为y=C1ex2+C2xex 2
4. 证明:如果y1和y2是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的两个线性
无关解,则y1 y2是对应的齐次方程的解.
证明:因为y1是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,所以
′′+p(x)y1′+q(x)y1=f(x) (1) y1
因为y2是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,所以
′+p(x)y2′+q(x)y2=f(x) (2) y′2
(1) 式、(2)式左右两端分别相减,得
(y1 y2)′′+p(x)(y1 y2)′+q(x)(y1 y2)=0
即y1 y2是对应的齐次方程的解.
5. 证明:已知二阶线性非齐次方程的三个特解为y1=x (x+1),2
y2=3ex (x2+1),y3=2x ex (x2+1),求该方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=0的特解.
证明:由于给定的三个特解线性无关,由习题5.4第4题知y1 y2=x 3e,xy1 y3=ex x为对应的齐次方程的两个线性无关的特解,故对应的齐次方程的通解为y=C1(x 3ex)+C2(ex x),由线性非齐次方程通解的结构定理知其通解为
第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 2/3
y=C1(x 3ex)+C2(ex x)+x (x2+1),
1 C= 12 3C1+C2 1=0 代入初始条件得 ,解得 5C 2+1=01 C2=2
故线性非齐次方程满足初始条件的特解为y=e x x 1
6. 已知微分方程(x 2x)y′′ (x 2)y′+(2x 2)y=6x 6有三个特解y1=3,22x2
y2=3+x2,y3=3+x2+ex,求该方程的通解.
解:该方程是二阶线性非齐次微分方程,由于给定的三个特解线性无关,由习题5.4第4题知y2 y1=x,y3 y2=e为对应的齐次方程的两个线性无关的特解,故对应的齐次方程的通解为y=C1x+C2e,由线性非齐次方程通解的结构定理知其通解为22xx
y=C1x2+C2ex+3
第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 3/3
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