经济数学典型案例2

1．设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q5.

(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R'. (2) 当Q为多少时,总收益最大？ 解 (1) 由题设可知总收益函数为

R=QP=Q(10-Q5)=10Q-Q25

则

R|Q=20=10?20R|Q=30=10?3020530522=120

=120平均收益函数为

R=RQ=10-Q5,

则R(20)=6,R(30)=4. 边际收益函数为

R￠=10-25Q,

则Rⅱ(20)=2,R(30)=-2. (2) 边际总收益函数为

R￠=10-25Q

令R￠=0得驻点Q = 25.

=-又因为Rⅱ25<0，且驻点唯一，所以当Q=2时，总收益最大为125.

-2P2.设某商品的需求量Q对价格P的函数为Q=50000e（1）求需求弹性;

.

（2）当商品的价格P=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 解 (1)由弹性公式

eP=PQQ￠(P)=P50000e-2P(-2)?50000e-2P-2P

（2）由上式得eP|P=10=-20

根据需求弹性的经济意义知, 当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减

少20%.

3.已知某企业某种产品的需求弹性在1.3 — 2.1之间, 如果该企业准备明年将价格降低10%, 问这种商品的销售量预期会增加多少?总收入会增加多少?

解 因为

?DQQ换epDPDR,PR(1-ep)DPP

于是, 当|

p|=1.3时, DQQDRR淮1.3(-0.1)=-13%

?(11.3)?(0.1)=-3%

当|

?p|=2.1时,

DQQDRR淮2.1(-0.1)=-21%

?(12.1?)(0=.1-) 11%故明年降价10%时, 企业销售量预期将增加约13%—21%; 总收益预期将增加3%—11%.

4．某食品加工厂生产某类食品的成本C（元）是日产量x（公斤）的函数 C(x) = 1600 + 4.5x+0.01x2

问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？

解 由题设知平均成本为

C(x)=C(x)x=1600x+4.5+0.01x

令C￠(x)=-(400)=又Cⅱ1600x2+0.01=0得驻点，x=400

3200x3|x=400>0且驻点唯一，极小值点为最小值点，所以每天生产400公

斤能使平均成本达到最小.

5．某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为

C(x)=1000+60x-0.3x+0.001x (元) 销售该产品的需求函数为 x=800-格为多少?

解 设利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) 收入函数为 R(x)=xp=x2400-3x20=x(120-0.15x)

20323p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价

故 L(x)=x(120-0.15x)-1000-60x+0.3x2-0.001x3

令L'(x)=-0.003x2+0.3x+60=0得驻点x=200. 又L\(200)=-0.006?2000.3<0，且驻点唯一, 所以当销售量为200吨时，可获

得最大利润，此时价格为90元/吨.

6.某银行准备新开设某种定期存款业务, 假设存款额与利率成正比. 若已知贷款收益率为r, 问存款利率定为多少时, 贷款投资的纯收益最高?

解 设存款利率为x,存款总额为M, 由于M与x成正比, 则

M=Kx(k是正常数)

若贷款总额为M, 则收益为 rM=Krx 而这笔款要付的利息为 xM=Kx

2因此，贷款投资的纯收益为 f(x)=Krx-Kx2 令f'(x)=Kr-2kx=0得驻点x=rr2.

r2又因为f\)=-2k<0(K>0)且驻点唯一, 故x=2也是最大值点.

所以当存款利率为贷款收益率r的一半时，投资纯收益最高.

7.某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元, 而每年库存费为c元，在该商品均匀销售的情况下（此时商品的平均库存数为批量的一半），问商店分几批购进此种商品，方能使手续费及库存费之和最少？

解 设批数为x时, 总费用为y, 则

y=bx+ac2x2a2xc,x (0,a]

由y'=b-acx3=0,得驻点x=ac2bac2b

又y\=少.

>0,所以当商店分批购进此中商品时,方能使手续费及库存费之和最

8. 已知某企业某商品的需求函数为Q(p) = 75 - p2. (1) 求p = 4时的边际需求，并说明其经济意义; (2) 求p = 4时的需求价格弹性，并说明其经济意义;

(3) 若该商品的需求价格弹性为1.5，且价格降低8%，问这种商品的销售预期会变化

百分之几?总收益将变化百分之几?

(4) p为多少时，总收益最大?

解 （1）边际需求函数为

Q'(p)=-2p,则Q'(4)=-8

其经济意义为当价格为4时，价格p提高一个单位的价格，需求Q将减少8个单位.当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减少20%.

（2）需求弹性

ep=pQ(p)Q'(p)=p75-p2(-2p)=-2p2275-p

所以ep(4)?0.542.

00 其经济意义为：当价格为4时，价格p再增加1

(3) 由弹性公式有

DQQ换epDPDR,PR，商品需求量Q将减少0.542%.

(1-ep)DPP

将

DPP=-8%,ep=-1.5代入上式，分别得

DQQDRR?(8%)?(1.5)=12%

?(11.5)?(8%)=4%即弹性为1.5时, 当价格降低8%, 销售预期会增加12%, 总收益将增加4%.

(4)总收益函数为

R(p)=pQ=p(75-p)

2令R'(p)=75-3p=0得驻点p=5.

又R\=-30<0且驻点唯一, 所以p=5也为最大值点. 故当价格为5个单位时, 总收益最大, 最大值为250.

*9.设生长在某块土地上的木材价值L是时间t的函数L=2t2且以t年为单位，y以千

元为单位; 假设在树木成长期间的养护费不计. 又资金的年贴现率 r = 0.05，按连续复利计算，何时伐木销售，可使收益的现值最大?其中现值又为多少?

解 由已知条件知, 销售收入的现在值是

R=Le-rt=2et-rt

令R'(t)=2e又因为

t-rt(ln22t-r)=0,得t=ln24r22

R\t)=2eln24r22t-rt[(ln22t2-r)-2ln22tt]，

故R\)<0,且驻点唯一,所以t=ln24r2也为函数的最大值点.

即当t=ln24r22时,可以使收益的现值最大.

故当r = 0.05时, t = 48收益的现值为

R=248e-0.05 48 110.59(千克).

设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.

解 依题意，第一期到期后的利息为

本金×利率=p′rn

rnrn第一期到期的本利和是

本金＋利息=p+p?p(1+)

若按总利计算，第二期到期的本利和为

p(1+rnn)+p(1+rn)?rnp(1+rn)2

第n期到期后的本利和为p(1+rn)

存期若为t年（事实上有t n期），到期后的本利和为

p(1+rn) （*）

tn由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,

（1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得

1000?(10.0640.0612)2′4=1000椿1.01581126.49

（2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得

1000?(1)2′12=1000椿1.015241127.16

（3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得

1000?(10.06365)2′365=1000椿1.0157301127.49

（4） 连续取息就是在（*）式中令n???，得

lim1000?(1ギ0.06nn?)2′n轾=1000?lim犏(1n+ 犏臌=1000e0.120.06nn0.12)0.06

1127.50结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大. 10.(最优批量问题）某工厂生产某中产品，年产量为a吨，分若干批 进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均投放市场，且上一批卖完后

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