(修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，

两相交弦的中垂线交点是圆心）.

A1O2B1cC1OONDECMO1FPD1aBAO1b初图1初图2

3．结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，

就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.

4．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 5．与台体相关的，此略.

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

PPPO2PcAaBbCcCAbaBcCAbaBAaBbcC图1

图2

222图32

图4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)?a?b?c，即2R?a2?b2?c2，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A．16? B．20? C．24? D．32?

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是

（3）在正三棱锥S?ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM?MN,若侧棱SA?23,则正三棱锥S?ABC外接球的表面积是 . 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：

如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，?SH?平面ABC，?SH?AB，

S?AC?BC，AD?BD，?CD?AB，?AB?平面SCD， ?AB?SC，同理：BC?SA，AC?SB，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， ?AM?MN，SB//MN，

ADHB(3)题-1(引理）EC?AM?SB，?AC?SB，?SB?平面SAC， ?SB?SA，SB?SC，?SB?SA，BC?SA， ?SA?平面SBC，?SA?SC，

故三棱锥S?ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，

SM?(2R)2?(23)2?(23)2?(23)2?36，

2即4R?36，?正三棱锥S?ABC外接球的表面积是36?.

ANB(3)题-2（解答图）C

（4）在四面体S?ABC中，SA?平面ABC，?BAC?120?,SA?AC?2,AB?1,则该四面体的外接球的表面积为（ ）

A.11? B.7? C.1040? D.? 33（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

(6)题图

1．题设：如图5，PA?平面ABC 解题步骤：

第一步：将?ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 P径AD，连接PD，则PD必过球心O；

O第二步：O1为?ABC的外心，所以OO1?平面ABC，算出小圆O1的半

AO1BCD径O1D?r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

abc1???2r），OO1?PA； sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2?PA2?(2r)2?2R?图5PA2?(2r)2；

R?②R2?r2?OO1?2r2?OO1

22．题设：如图6，7，8，P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等?三棱锥P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

PPPPOCAO1BDACOOCCOO1BAO1BABO1图6

图7-1

P图7-2P

图8

PABO2DOCABO2OCAO2BOD图8-1

图8-2

图8-3

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆.

例2 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )

222222

A．3? B．2? C．

16? D．以上都不对 32222

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

P2正视图2侧视图俯视图PPPOOOABCABO1CABO1CABO1C图9-1

图9-2

图9-3

图9-4

1．题设：如图9-1，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心O必是?PAC的外心，即?PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC?2r； 第二步：在?PAC中，可根据正弦定理

abc???2R，求出R sinAsinBsinC

2．如图9-2，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径）

22222222 OC?O1C?O1O?R?r?O1O?AC?2R?O1O

3．如图9-3，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等?三棱P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点 解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R

4．如图9-3，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径），且PA?AC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)?PA?(2r)?2R?222222222PA2?(2r)2；

R?②R2?r2?OO1?2r2?OO1

2例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 .

（2）正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外

接球的体积为（ ） A．? B.

??4? C. 4? D. 33

（4）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC?2，则此棱锥的体积为（ ） A．3222B． C．D．

66 3 2

类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

C1A1B1OCAO1BC1A1O2C1A1B1O2OCO2B1OCAO1BABO1图10-1

图10-2

图10-3

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，O1是?ABC的外心，则OO1?平面ABC； 第二步：算出小圆O1的半径AO1?r，OO1?11AA1?h（AA； 1?h也是圆柱的高）222第三步：勾股定理：OA2?O1A2?O1O2?R?()?r?R?h222hr2?()2，解出R

2例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为3，则这个球的体积为 8?BAC?120?，则此（2）直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,

球的表面积等于 .

（3）已知?EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA?EB?3,AD?2,?AEB?60，则多面体E?ABCD的外接球的表面积为 .

（4）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?4,AC?6,A?的表面积为 .

??3,AA1?4则直三棱柱ABC?A1B1C1的外接球

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