肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级数学二轮专题训练十一（理）

肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级

数学二轮专题训练十一

数 学（理 科）

参考公式：棱锥的体积公式：V?1sh，s是棱锥底面积，h是棱锥的高. 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A???2,0,2,4?,B?x|x?2x?3?0，,则A?B?（ ）

2??A.?0? B.?2? C.?0,2? D.?0,2,4?

2．已知a是实数，

a?i是纯虚数，则a等于（ ） 1?iA. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 3. 若a?2,b?log?3,c?log20.52，则有（ ）. 2A.a?b?c B.b?a?c C.c?a?b D.b?c?a

x2y2??1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4. 已知椭圆与双曲线

41210，那么椭圆的离心率等于( )

3453A. B. C. D.

55443?2)是（ ） 5. 函数y?1?2sin(x?4A．最小正周期为?的奇函数 B．最小正周期为?的偶函数

1 2 正视图 2 1 3 3 ?的奇函数 2?D．最小正周期为的偶函数

2C．最小正周期为

1 侧视图

俯视图 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

- 1 -

13 B．1 C． D．3 22????07. 已知向量AB与AC的夹角为120,且AB?2,AC?3,若AP??AB?AC,

A．

且,AP?BC,则实数?的值为( ） A．

312 B．13 C．6 D． 77?x?2y?6?8. 设实数x、y满足?2x?y?6，则z?max?2x?3y?1,x?2y?2?的取值范围是( )

?x?0,y?0?A．[2,5] B．[2,9] C．[5,9] D．[?1,9]

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题）

9. 等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2?1,a3?2，则S4＝ 10.已知函数f(x)?x?4lnx，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的

切线方程为___________.

11. 已知实数x?[0,10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不

小于47的概率为 ．

12. 不等式x?1?x?2?1解集是______________.

?log2x,x?013. 已知函数f(x)??x，且关于x的方程f(x)?x?a?0有且只有一个实

?3,x?0根，则实数a的取值范围是________.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC?CD,过C作圆O的切线交AD于E.若

DEAOBCAB?8,,DC?4则DE?_________.

- 2 -

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆??4sin?的圆心到直线???3(??R)

的距离是

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）

如图，在?ABC中，?B?45?，AC?10，cos?C?25，点D是AB的中点, 求:

（1）边AB的长；

（2）cosA的值和中线CD的长.

5ADBC- 3 -

17. （本小题满分12分）

某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].

（1）求直方图中x的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）现有６名上学路上时间小于40分钟的新生，其中２人上学路上时间小于20分钟. 从这６人中任选２人，设这２人中上学路上时间小于20分钟人数为X,求X的分布列和数学期望． 频率／组距 x 0.0125

0.0065 0.003时间 102030405060708090100110O

- 4 -

18. （本小题满分14分）

如图所示的多面体中， ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED?平面ABCD，，AD?2． 3(1) 求证：平面FCB∥平面AED；

(2) 若二面角A?EF?C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角?的正弦值．

?BAD??- 5 -

19.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ax?3x?3x(a?0) （1）当a?1时，求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在[1,3]的最大值为8，求a的值.

- 6 -

3220.（本小题满分14分）

已知?an?为公差不为零的等差数列，首项a1?a，?an?的部分项ak1、ak2、…、akn恰为等比数列，且k1?1，k2?5，k3?17.

（1）求数列?an?的通项公式an（用a表示）； （2）设数列{kn}的前n项和为Sn, 求证：1113?????（n是正整数）.S1S2Sn2

- 7 -

21.（本小题满分14分）

(,2)设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点A02，线段FA的中点在抛物线上. 设

动直线l:y?kx?m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C． （1）求p的值；

（2）试判断圆C与x轴的位置关系；

（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；

若不存在，说明理由．

- 8 -

数学二轮专题训练十一参考答案

一、选择题：CAABA CDB

二、填空题： 9. 6 10. 3x?y?4?0, 11. 14.2 15.1 三、解答题： 16．解：由cos?C?1 12. [1,??) 13.(1,?) 225?0可知，?C是锐角， 52525………………………….2

分)?55所以，sin?C?1?cos2?C?1?(由正弦定理

ACACAB?sin?C?? AB?sin?Bsin?Bsin?C10?2255?2……5分

(2) cosA?cos(180?45?C)?cos(135?C)?由余弦定理:

???210(?cosC?sinC)??,8分 210CD?AD2?AC2?2AD?ACcosA?1?10?2?1?10?(?17. （1）由直方图可得：

10)?13……12 10频率／组距x20?x?0.0125?20?0.0065?20?0.003?2?20?1.所以 x=0.025.……………………………2分

（2）新生上学所需时间不少于60分钟的频率为： 0.003?2?20?0.12………………………4分 因为1000?0.12?120

所以1000名新生中有120名学生可以申请住宿.…6分

（3）X的可能取值为0，1，2.……7分 所以X的可能取值为0,1,2………………………………７分

0.01250.00650.003时间102030405060708090100110O- 9 -

021120C2?C4C2?C4C2?C4281P(X?0)??P(X?1)??P(X?2)?? ，

C625C6215C6215所以X的分布列为： X P 0 1 2 2 58 151 15………………………11分

2812EX??0??1??2?………………………………12分

51515318.（1）矩形BDEF中，FB∥ED,--------1分

FB?平面AED，ED?平面AED,FB∥平面AED，-2分 同理BC∥平面AED,-------3分

又FB?BC?Bu?平面FBC∥平面EDA.------4分 （2）取EF的中点M.

由于ED?面ABCD, ED∥FB,?ED?AD,ED?DC,FB?BC,FB?AB 又ABCD是菱形，BDEF是矩形，所以，?ADE,?EDC,?ABF,?BCF是全等三角形， AE?AF,CE?CF,

所以AM?EF,CM?EF，?AMC就是二面角A?EF?C的平面角-------8分

AM?MC

解法1（几何方法）： 延长CB到G，使BC?BG,由已知可得，ADBG是平行四边形，又BDEF矩形，所以AEFG是平行四边形，A,E,F,G共面，由上证可知，AM?MC CM?EF，

EMFDNABGCEF,AM相交于M，CM?平面AEFG，?CGM为

所求.

?由AD?2,?DAB?60,得AC?23 等腰直角三角形AMC中，AC?23,可得

MC?6，直角三角形GMC中,sin?CGM?CM6? CG4MC?EF?M得CM?平面AEF，解法2几何方法）：由AM?MC，AM?EF，

欲求直线BC与平面AEF所成的角，先求BC与MC所成的角. ------12分

- 10 -

连结BM，设BC?2.则在?MBC中，CM?2MN?2?3?6，MB?2，

MC2?BC2?MB26cos?MCB???.?sin??6. ---14分 用余弦定理知

2MC?BC44解法3（向量方法）：以D为原点，DC为y轴、DE为z轴 建立如图的直角坐标系，由AD?2.则

zEMFM(31,,3)，C(0,2,0)，平面AEF的法向量2233,,?3)， -------12分 22An?MC?(?DNBxCyCB?DA?(3,?1,0).

cosn,CB?'n?CBnCB??266.---14分 .?sin??4419.解:(1) f(x)?3ax?6x?3 ………………………………………1分 其判别式??36?36a?36(1?a)，

因为a?1， 所以， ??0 ，对任意实数，f(x)?0 恒成立，

所以，f(x)在(??,??)上是增函数……………………………………….4分 （2）当a?1时，由（1）可知，f(x)在(??,??)上是增函数，所以f(x)在[1,3]的最大值为f(3)，由f(3)?8，解得 a?'26（不符合，舍去）…………………………6分 272 当0?a?1时 ，??36?36a?36(1?a)?0，方程3ax?6x?3?0的两根为

x1?1?1?a1?1?a，x2? ，………………………………………8分 aaf'(x)?3ax2?6x?3图象的对称轴x?1 a- 11 -

因为 x1?1?1?1?a1?a(1?a?1)?1??0 aa（或x1?1?1?a11??1）, 所以 0?x1?1??x2 aa1?1?a由x2?3 解得 a? ①当0?a?5 95''x2?3，，因为f(1)?3(1?a)?0，所以 x?[1,3]时，f(x)?0,f(x)9在[1,3]是减函数，f(x)在[1,3]的最大值ymax?f(1)，由f(解得 a?8（不1)?8，符合，舍去）.………………………………….………………………12分 ②当

5?a?1，x2?3，x?[1,x2]，f'(x)?0，f(x)在[1,x2]是减函数， 当9x?[x2,3]时，f'(x)?0，f(x)在[x2,3]是增函数.所以f(x)在[1,3]的最大值f(1)或

，a?f(3)，由f(1)?8，f(3)?8，解得 a?8（不符合，舍去）综上所述a?26 2726……………14分 2720.解：（1）设数列?an?的公差为d(d?0)，

由已知得a1=a，a5?a?4d，a17?a?16d成等比数列， ∴(a?4d)?a(a?16d)，且a?0……………………………2分

2aa，∵已知?an?为公差不为零。∴d?，……………3分 22an?1∴an?a1?(n?1)d?a?(n?1)?a. ……………………………4分

22k?1n?1（2）由（1）知an?a ∴ akn?na …………………5分

22得d?0或d? 而等比数列{akn}的公比q?∴akn?a1?3n?1a5a1?4d??3. a1a1?a?3n?1 ……………………………6分

- 12 -

因此akn?kn?1a?a?3n?1，∵a?0。∴kn?2?3n?1?1……………………7分 201n?12(1?3n)∴ Sn?(2?3?2?3???2?3)?n??n?3n?n?1 …………9分

1?3∵当n?1时，3?(1?2)?Cn?Cn?2?Cn?2???Cn?201n?Cn?Cn?2?Cn?2n?2n?2n?1?2n?n?1

nn0122n?1n?1n?Cn?2n

∴3?n?1?2（或用数学归纳法证明此不等式） ∴

nn111?n?n(n?2) ……………………………11分 Sn3?n?1213?1?，不等式成立； S12∴当n?1时，

当n?2时，

1111111?????1?2?3?4???n S1S2Sn222211[1?()n?1]3132 ?1?4??()n?

12221?2综上得不等式

1113?????成立. ………………14分 S1S2Sn2nn0122n?1n?1n?Cn?2n

法二∵当n?3时，3?(1?2)?Cn?Cn?2?Cn?2???Cn?2012?Cn?Cn?2?Cn?22?2n2?1?n2?2n?1

)∴ 3?n?1?n(n?1（或用数学归纳法证明此不等式）

∴

n11111?n??? (n?3)……………………………11分 Sn3?n?1n(n?1)nn?113?1?，不等式成立； S12- 13 -

∴当n?1时，

当n?2时，

11173??1?2??，不等式成立； S1S23?2?162当n?3时，

111111111?????1?2?(?)???(?) S1S2Sn3?1?13?2?134nn?1 ?1?综上得不等式

11313????? 632n?121113?????成立. ……………………14分 S1S2Sn2n?1 (法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得：3 所以，n?2时，3?(n?1)?3?3

nnn?1?n?1(n?2)

?2?3n?1，

11111?????1?(?S1S2Sn231?????2315?)?n?134?1??n?143

5432 n?1时，

11131?1 综上得不等式?????成立. S1S1S2Sn2p2p)，代入方,0)，故线段FA的中点的坐标为(,42220.解：（1）利用抛物线的定义得F(程得2p?p1?，解得p?1。 ……………………………2分 4212（2）由（1）得抛物线的方程为y?2x，从而抛物线的准线方程为x??………3分

2?y2?2xk2由?得方程y?y?m?0，

2?y?kx?m?k?0?k?0?由直线与抛物线相切，得? ??1 ……………………………4分

??0m???2k?1111且y?，从而x?，即P(,)， ……………………………5分

k2k22k2k- 14 -

1?y?kx??11?k2?2k由?，解得Q(?,)， ……………………………6分

22k?x??1??21?k23?k2∴PQ的中点C的坐标为C(,) 24k4k3?k22圆心C到x轴距离d?()，

4k21?k221?k22PQ?()?()

2k22k2111?k221?k223?k223k2?1222∵(PQ)?d?[()?()]?()?()……………8 22242k2k4k4k∵k?0， ∴当k??3122时，(PQ)?d?0，圆C与x轴相切； 323122时，(PQ)?d?0，圆C与x轴相交；……………………9分 32当k??1111?k2)?0 (或，以线段PQ为直径圆的方程为:(x?2)(x?)?(y?)(y?2k2k2kk2?11?2k2k2?121?2k2(3k2?1)2x??0 ??()?4???0 令y?0得 x?224222k4k4k2k4k2∴ 当k??3时，??0，圆C与x轴相切； 33时，??0，圆C与x轴相交；……………………9分 3当k??（3）方法一：假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M(x1,0)，………………………………………………………………10分

- 15 -

11?k211由（2）知P(2,)，Q(?,)

22k2kk?????11????11?k2∴ MP?(2?x1,),MQ?(??x1,) 。

2kk22k?????????1111?k2由MP?MQ?0得，(2?x1)(??x1)???0

2k2k2k1?k21?2k21?2k21所以x?……………13分 x1??0，即x1?或x1?2k24k22k2221所以平面上存在定点M(,0)，使得圆C恒过点M. ………………14分

1211?k21?k23?k211证法二：由（2）知P(2,)，Q(?,)，PQ的中点C的坐标为C(,) 222k4k4k2kk1?k221?k22PQ?()?()

2k22k21?k223?k2211?k221?k22)?(y?)?[()?()]………11分 所以圆C的方程为(x?224k4k42k2k11113?k22(?x)?()y?0………………12分 整理得x?x?y??222k222k2上式对任意k?0均成立，

1?212x?x?y??0?221??x?1??当且仅当??x?0，解得?2。 ……………………………13分

?2??y?0y?0???- 16 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mqt2.html