中考数学第20讲锐角三角函数复习教案(新版)北师大版

课时课题：第20讲 锐角三角函数

课型：复习课 教学目标

1．掌握三种三角函数值的意义，会求直角三角形中锐角三角函数值． 2．熟记特殊角的三角函数值，并能灵活应用．

3．掌握坡度、仰角、俯角、方位角等概念，并能构造直角三角形解决实际问题． 教学重点与难点

重点：先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题． 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题． 教法与学法指导

教法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题展开教学，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入复习.启发性原则是永恒的，所以在复习展开过程中，让学生在教师的启发下成为课堂上行为的主体.

学法：由于学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——总结”的主线进行学习. 课前准备：

教师准备：多媒体课件.

学生准备：学生梳理有关三角函数的内容，复习课本九下第一章. 教学过程：

一、情感交流，激志导入

师：上节课复习的勾股定理，同学们表现的都很棒！夯实基础是成功的基础！让我们继续来复习《解直角三角形》考点2 三角函数.（教师板书课题：第六讲 考点2 三角函数）

（学生精神饱满，情绪高涨．）

师：三角函数这部分内容是中考数学试题命题的重要组成部分，这部分知识主要反映在九年级下册第一章，在我们中考当中所占的比例也是很重的，今天就来系统复习三角函数.

设计意图：通过情感交流入复习课，调动学生学习的积极性；更快的让学生进入角色，为本节复习课奠定基础．

二、知识梳理，夯实基础

1

基础知识之自我回顾

师：我们提前一天布置同学们对本章知识进行复习整理，本课进行成果展示，比一比，谁更优秀．

（实物投影学生整理的三角函数相关的知识．） 学生主要从以下方面整理：

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设计意图：提前告知学生本节课要求，让其早作准备，让学生“有备而来”，有利于提高复习效果．让学生以比赛选手身份展示自己复习成果——本节课复习效果.有效地明确其身份——你是本课的主人，一定要参与其中，为提高课堂效益打下基础.

基础知识之基础演练

师：观看投影，迅速完成以下题目. 1.计算：sin60?gcos30??1? 22.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2BC，那么tanA的值是（ ） A、155 B、2 C、 D、 2523.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=15,则∠A的那值是（ ） A、90° B、60° C、45° D、30° 【学生依次回答】 3311?-=. 生1：2224B

生2：根据题意画出图形，tanA的值是

1，答案选择：A. 2C

生3：根据题意画出图形，由已知条件可以算出cosA的值是2题图 A

3，根据特殊角的三角函数值，答案选择：D. 2师：这三道题目考察了锐角三角函数的概念以及特殊角的三角函数值，对于第一小题要

求同学们不要以为这种题目简单而过于轻敌，每年中考中有相当多的同学因为记错数值而造成失分，处理这种题目时可以仔细想一想特殊值表的规律．第2、3两题刚才两位同学处理的非常好，结合图像来看一目了然，数形结合法是解决三角函数相关题目的常用方法．

3

设计意图：三道简单题拉开复习的序幕，试题覆盖本章最基本知识——特殊角三角函数值、三角函数定义.难度很小，正确率可大大提升，让学生自信地复习下去.

基础知识之灵活运用

1．△ABC中，a=3，b=5，c=4，则sinA的值是（ ） A、3534 B、 C、 D、 44552．在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则BC边长为（ ） A、msin40° B、mcos40° C、mtan40° D、m tan40o13．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB的值为（ ） 3 A、2310310 B、 C、 D、 341010A 4．1?cos230??2cos30??1? . 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若tanB=cos∠DAC， （1）AC与BD相等吗？说明理由； （2）若sinC=12,BC=12,求AD的长. 13B D C （学生小组合作完成，交流体会） 【学生依次回答】 生4：sinA=

B

a3=. c4a3=. b5C

A 生5：不对，本题中b是斜边，所以sinA=

师：在我们之前处理的题目中相当多的是以∠C为直角的，很多同学会先入为主，这道题目要提醒了我们审题一定要仔细.

生6：第2题选择：B.

生7：第3题可以采用特殊值法，做出图形可以令BC=1，AC=3，可以得到AB=10，所以sinB的值为310，故选D. 10（第4、5题两学生板演在黑板上.）

生8：1?cos230??2cos30??1?1?(cos30??1)2?1?cos30??1?1?(1?cos30?)

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?3. 2ADAD.∴BD=AC. ?BDAC生9：(1)∵tanB=cos∠DAC，∴(2)∵sinC=

122，∴可设AD=12k，AC=13k，则CD=5k．∵BD=AC，∴BC=18k =12．∴k=．∴133AD=12k=8．

师：第4题综合考查了完全平方公式、a2的化简、特殊角的三角函数值.在去掉绝对值时部分同学会写成cos30°-1，忽视了锐角的余弦小于1，cos30°-1是负数.

第5题的第2问，不能用特殊值法，我们可以设未知数，这位同学处理的非常好. 设计意图：这5道题的设置，不难不易，具有典型性、示范性，再次检查学生掌握基本知识情况.其中不乏有陷阱题，看学生审题习惯如何，不错最好，错了不是坏事，其他同学的纠正，教师点评有助于其加深印象. 四、热点跟踪，难点突破

师：有关三角函数的中考题常常结合实际问题来考查，下面我们来看一下几种常见题型. 难点突破之思维激活

（出示习题，学生分析、板演、纠错，教师点评） （一）以仰角、俯角为背景

共同来看一下中考中本节的知识点的呈现方式． 如图，从热气球C上测得两建物A，B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为90米，且点A，D，B在同一直线上，求建筑物A，B间的距离.

【师生共析】要求AB的距离，反映在图形中是AD、

BD的和，在两个直角三角形中分别求出即可.

【学生板演】解：由题意可知∠A=30°，∠B=60°． 在△ABC中，tanA=∴AD=

CD， ADCD=903（米）. tan30o同理 BD=303米． ∴AB=AD+BD=1203（米）.

师（点评）：根据题目的条件找出需要的角的度数是解决本题的关键所在.

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变式训练（2012?贵阳）小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差．如图，他利用测角仪站在C处测得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到达D处，测得∠ADC=34°，求落差AB．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）

【附答案】

解：∵ACB=68°，∠D=34°，∠ACB是△ACD的外角， ∴∠CAD=∠ACB﹣∠D=68°﹣34°=34°. ∴∠CAD=∠D. ∴AC=CD=80.

在Rt△ABC中，AB=AC×sin68°≈80×0.927≈74（m）． 答：落差AB为74m．

（二）以坡度坡角为背景

（2012﹒内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米.

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.

【考点分析】本题考查梯形的常见辅助线添法，梯形、三角形的面积公式，以及坡度的定义，要求较强的转化、计算能力.

【师生共同分析】

（1）分别过A、D做下底的两条高线，AM、DN，在Rt△ABM中，已知坡面长和破角的度数，可以求出高AM的长度，也就得到了DN的长度，以CE为底，DN为高即可以求出S△CDE，

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再乘以大坝的长度，即为所需的填土石方体积.

（2）在Rt△DCN中可求CN长，在Rt△DNE中根据DN、EN的长度就可以求出坡角的正切值，即坡面DE的坡度.

【学生板书】

解：（1）作AM⊥BC于M，作DN⊥BC于N， ∵Rt△ABM中AB=16米，∠B=60°， ∴AM=ABsinB=16sin60°=83（米）. ∵CE=8米， ∴S△CDE=

11CE·AM=?8?83=323（米2）. 22∵需加固的大坝长为150米，

∴需要填土石方为V=150 S△CDE=48003米． （2）∵Rt△DCN中，DN=AM=83，CD=163， ∴∠DCN=30°，CN=24．

∴NE?NC?CE?24?8?32?米?，NE=NC+CE=24+8=32米 ∴Rt△DNE中，tanE?DN833??. NE3243

∴加固后的大坝背水坡面DE的坡度为3. 4（三）以方位辨识为背景

（2012﹒广安）如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏

东45方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不

o

o

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能及时赶到？（2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

【考点分析】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值.

【师生共析】过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，从而得出结论.

【解答】

解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D， ∵∠CAD=45°，AC=10， ∴△ACD是等腰直角三角形. ∴AD=CD=52，

在Rt△ABD中，∵∠DAB=60°， ∴BD=AD?tan60°=52?3=56． ∴BC=BD﹣CD=56-52. ∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行， ∴海监船到达C点所用的时间t1=某国军舰到达C点所用的时间t2=AC101； ??（小时）

30303BC56?52??0.4（小时）. 13131∵＜0.4， 3∴中国海监船能及时赶到.

设计意图：数形结合思想的正确使用一直是学生的难点，正因为是难点，才需多练.错误不可怕，本来教者就已估计有不少同学出错，反正有同学纠错、老师点评，全体同学都有收益．课堂上太顺了，有时不是好事.

难点突破之聚焦中考

（2012﹒潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点

C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的

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同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．

（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；

（2）已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

【师生共析】

师：要求AB长，可以怎么转化？

C

A

_ B

D _

l

生：由题意可知△ABC为等腰三角形，AB长即为BC的长. 师：要判断是否超速，用哪两个量进行比较？

生：利用AB的长度除以所用的时间可以的道小车的速度，转换成千米/小时，与40进行比较即可.

【学生板书】

解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，

21CD==213=36.33， tan30?3321CD在Rt△BDC中，BD===73=12.11，

tan60?3AD=

所以AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）．

（2）校车从A到B用时2秒，所以速度为24.2÷2=12.1（米／秒）， 因为12.1×3600=43560，

所以该车速度为43.56千米／小时，大于40千米／小时， 所以此校车在AB路段超速．

设计意图：本题接近学生实际生活，设计新颖，考查解直角三角形的实际应用.同时，充分体现了方程思想在解直角三角形问题中的应用，是中考命题的热点，中考题并不可怕，师生互动后也能顺利解决，让学生产生“不过如此”的感觉．

五、课堂小结，反思提高

1.通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？ （学生自由回答）

2.本节课的学习值得思考的还有是什么？ （学生自由回答）

设计意图:组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进

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行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．

六、课堂检测，达标反馈

1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a：b：c＝( )

A、1:2:3 B、1:2:3 C、1: 3:2 D、1:2:3 2．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得?BAD?30°，在C点测得 ?BCD?60°,又测得AC?50米，则小岛B到公路l的距离为( )

A B

A、25米 B、253米

C 第2题

D l

1003252?3米 D、（5）米

3123．已知sinα =, α为锐角，则cosα＝ ，tanα＝ .

13C、4．Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝3b，则∠A＝ ，sinA＝ . 5．已知正三角形ABC，一边上的中线长为23，则此三角形的边长为 . 6.等腰三角形的腰长为2cm，面积为1cm，则顶角的度数为 ． 7.计算：sin2450?tan600?cos3002cos450?tan4502

．

8.某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：

小明：我站在此处看树顶仰角为45°. 小华：我站在此处看树顶仰角为30°. 小明：我们的身高都是1.6m. 小华：我们相距20m.

请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度.

（参考数据：2?1.414，3?1.732，结果保留三个有效数字．）

设计意图：通过基础训练，考点达标，及时获知学生对所复习知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．

七、布置作业，课后促学

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必做题：复习指导丛书 P113 第1—7题、第9题. 选做题：复习指导丛书 P114 第8、10、12题.

设计意图：通过作用，进一步巩固对本节的知识，通过做题加深对知识的理解，分层次演练，使不同层次的学生都得到巩固提高，全面提升学生数学能力，不放弃任何一个学生. 板书设计：

三角函数 知识梳理 基础演练 难点突破 学生板演区 11

必做题：复习指导丛书 P113 第1—7题、第9题. 选做题：复习指导丛书 P114 第8、10、12题.

设计意图：通过作用，进一步巩固对本节的知识，通过做题加深对知识的理解，分层次演练，使不同层次的学生都得到巩固提高，全面提升学生数学能力，不放弃任何一个学生. 板书设计：

三角函数 知识梳理 基础演练 难点突破 学生板演区 11

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