计算方法练习题与答案

练习题与答案练习题一

练习题二

练习题三

练习题四

练习题五

练习题六

练习题七

练习题八

练习题答案

练习题一

一、是非题

1.*x=–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限

4

10

2

1

-

?

。

()

2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( )

3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( )

4.用

2

1

2

x

-

近似表示cos x产生舍入误差。 ( )

和作为π的近似值有效数字位数相同。 ( )

二、填空题

1.为了使计算()()2334912111y x x x =+

-+---的乘除法次数尽量少，应将该表

达式改写为 ；

2.*x =–是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限

为 ，相对误差限为 ；

3.误差的来源是 ；

4.截断误差为 ；

5.设计算法应遵循的原则

是 。

三、选择题

1．*x =–作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；

(C) 不能确定 (D) 5.

2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值

(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值

3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入

4．用s *=21

g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断

5．作为2的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题

1．，，22

7分别作为π的近似值，各有几位有效数字

2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少

3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+?+x dt t x x

(3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x

4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21

g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5*.

，取

??

???+==+)

7(21210k k k x x x x k =0,1,…, 若k x

的具有n 位有效数字的近似值，求证1k x +

的具有2n 位有效数字的近似值。

练 习 题 二

一、是非题

1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )

2.牛顿法是二阶收敛的。 ( )

3.求方程310x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。 ( )

4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( )

5.求非线性方程 f (x )=0根的方法均是单步法。 ( )

二、填空题

1. 1.用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误

差限为 ；

1. 2.设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是 ；

2. 3.用二分法求方程310x x +-=在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区

间为 ，要求准确到3

10-，则至少应二分 次；

3. 4.2()(5)x x x ?α=+-，要使迭代格式1()k k x x ?+=局部收敛到*x =，则α的取值范围是 ；

4. 5.求方程340x x +-=根的单点割线法是 ，其收

敛阶为 ；双点割线法是 ，其收敛阶

为 。

三、计算题

1.用二分法求方程210x x --=的正根，使误差小于。

2.求方程3210x x --=在0 1.5x =附近的一个根，将方程改写为下列等价形

式，并建立相应迭代公式。 (1) 211x x =+，迭代公式1211k k x x +=+；

(2) 321x x =+，迭代公式()12311k k x x +=+；

(3) 211x x =-，迭代公式1k x +=；

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数

字的近似值。

3.

用牛顿切线法求02x =, 计算三次，保留三位小数。

4.用割线法求方程3310x x --=的在0 1.5x =附近的一个根，精确到小数点后

第二位。

四*、证明题

已知方程()0f x =，试导出求根公式

12

2()()

2[()]()()k k k k k k k f x f x x x f x f x f x +'

=-'''-

并证明：当*x 是方程()0f x =的单根时，公式是3阶收敛的。

练 习 题 四

一、是非题

1．矩阵???

??

?????--=521352113A 具有严格对角优势。 ( )

2．??

?

??

?????---=521351113A 是弱对角优势矩阵。 ( )

3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 ( )

4．1||||

5*. 逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。 ( )

二、填空题

1.解方程组 ???=+=+021

532121x x x x 的雅可比迭代格式（分量形式）为

， 该迭代矩阵的谱半径=)(1B ρ ；

2.解方程组??

?=+=+021532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）为 ，迭代矩阵=2B ， 该迭代矩阵 的谱半径=)(2B ρ ；

3.幂法的迭代公式为 ；

4*．QR 算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。

5*．雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。

三、选择题

1. 解方程组b Ax =的迭代格式(1)()k k M +=+x x f 收敛的充要条件是( )

（A ）1||||

（C ）1)(

2．幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）

（A ）有关； （B ）无关； （C ）不一定。

3．幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。

（A ）按模最大； （B ）按模最小；

（C ）任意一个； （D ）所有的。

4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是 （ ）

（A ）10<<ω； （B ）10<≤ω；

（C ）20<<ω； （D ）20≤≤ω。

5．反幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。

（A ）按模最大； （B ）按模最小；

（C ）任意一个； （D ）所有的。

四、计算题

1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组

?????-=+--=+-=+841

35332132131x x x x x x x x

取(0)(0,0,0)T =x ，列表计算三次，保留三位小数。

2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组

131231233531

48x x x x x x x x +=??-+=-??-+=-?

取(0)(0,0,0)T =x ，列表计算三次，保留三位小数。

3．用幂法求矩阵

??????????---=210121004A 按模最大特征值及相应特征向量，列表计算三次，取(0)(1,1,1)T =x ，保留两位小数。

4*．取46.1=ω，用松弛法解线性方程组

???????=+-=-+-=-+-=-041

202124343232121x x x x x x x x x x

取(0)(0,0,0)T =x ，列表计算三次，保留三位小数。

5*．用雅可比方法求实对称矩阵

??????????=110121014A 的特征值及相应特征向量（按四位小数计算，1.0=ε）。

6*．用QR 算法求矩阵

??????????=410131012A 的全部特征值。 练 习 题 五

一、是非题

1.在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ( )

2.120102()()

()()x x x x x x x x ----表示节点0x 处的二次插值基函数。 ( )

3.牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )

4.在拉格朗日插值中，插值节点01,,,n x x x L 必须按顺序排列。 ( )

5.利用等距节点的牛顿插值公式计算0x 附近的)(x f ，用后插公式。 ( )

二、填空题

1.已知3=n ，则三次插值基函数)(2x l =_____________________。

+1个节点的拉格朗日插值基函数)(x l i 的和∑==n i i x l 0______)(。

3.已知4)(x x f =，取节点(0,1,2,k x k k ==…），用线性插值求)1.2(f 的近似

值，其计算公式1(2.1)(2.1)________________f P

≈=。 插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而且取已知导数值。

5.已知(1)2,(0)1,(2)3,f f f -===则=-]0,1[f __________________，=]2,0[f ___________，[1,0,2]__________f -=，牛顿二次插值多项式2()N x =_____________________________。

三、选择题

1．函数101

x x x x --表示线性插值( )点的基函数.

(A) 0x ； (B) 0y ； (C) 1x (D) 1y 。

2．过点)4,2(),3,0(),1,1(-的二次插值多项式)(2x p 中2

x 的系数为( ). (A) – (B) (C) 2 (D) -2

3．给定互异的节点01,,,,n x x x L )(x p 是以它们为插值节点的插值多项式，则

)(x p 是一个( ).

(A). n +1次多项式 (B). n 次多项式

(C). 次数小于n 的多项式 (D). 次数不超过n 的多项式

4．差商,7503)(699x x x x f -+-=(]2,,2,2,1[1002=Λf )

(A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -7

5．对于次数不超过n 的多项式为次插值多项式它的)(),(x p n x f ( ).

(A) 任意n 次多项式 (B) 任意不超过n 次的多项式

(C) )(x f 本身 (D) 无法确定

四、计算题

1.已知,4)2(,3)1(,2)1(-===-f f f 求)(x f 的牛顿插值多项式)(2x N ，及)5.1(f 的近似值，取三位小数。

2.证明：若f (x )二阶连续可微，则对于f (x )的以10,x x 为节点的一次插值多项式1()P x ，插值误差

012

101()()()()max 8x x x x x f x P x f x ≤≤-''-≤

3.设

12)(4-+=x x x f ，利用拉格朗日插值余项求以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。

4*．已知函数)(x f y =的数据010)1(,)2(,)1(m f y f y f ='==，用基函数法求 f

(x )的二次插值多项式)(2x H 使20212

0(1),(2),(1)H y H y H m '===.

5*

．要给出()x f x e =在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite 插值求的近似值x e ，要使误差不超过810-，问函数表的步长h 应为多少

6. 已知的f (x )函数表 1 1 4 2 4 5

(1)求f (x )(2)用反插值求x ，使f (x )=0。

练 习 题 六

一、判断题

1．在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )

2．向前差分与向后差分不存在等量关系。 ( )

3．已知观察值),(i i y x (,2,1,0=i …,n )，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。 ( )

4．利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的类型。 ( )

5．数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。 ( )

二、填空题

1．已知某函数的二阶向前差分

12f ?为,则其二阶向后差分32f ?为_______。 2．利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t ，其计算公式为t =____________。

3．已知函数i i y x n b a x f y 处的函数值个节点上的在1],[)(+=，则其三次样条插值函数满足的条件为)(x s ________________________。

4．已知),(i i y x (,2,1=i …,30)，其线性拟合的正规方程组为_________。

5．用形如

b ax x

y +=的非线性拟合数据),(i i y x 做变换_____________后为线性拟合y =x b a +。

三．选择题

1. ( )是利用函数的值求自变量的值。

(A) 三次样条插值 (B) 反插值

(C) 分段插值 (D) 爱尔米特插值

2．记*

,1,2,,i i i y y i n δ=-=L ,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( )

(A) i n i δ≤≤1max (B)∑=n i i 1δ (C) ∑=n i i

12δ (D)∑=n

i i

1δ

3．当线性方程组满足 ( )时称为超定方程组。

(A) (A)未知数的个数等于方程的个数

(B) (B)未知数的个数大于方程的个数

(C) (C)未知数的个数小于方程的个数

(D) (D)未知数的个数与方程的个数大小任意

4．*x 是超定方程组A =x b 的最小二乘解的充分必要条件是( ).

(A) *T T A A A =x x b 是的解 (B)*T T AA A =x x b 是的解

(C) *T T A =x x b 是的解 (D) 三者都不对

5．勒让德多项式21d ()[(1)]2!d n

n n n n P x x n x =-是 ( )

(A) 小于n 次的多项式 (B) 等于n 次的多项式

(C) 大于n 次的多项式 (D) 小于等于n 次的多项式

四、计算题

1．已知函数解答下列问题的函数表如下,)(x f y =

(2)分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；

(3)用三次插值多项式求)32.0()04.0(f f 和的近似值。

2．已知0.20)1.3(,5.18)4.2(,4.17)6.1(,8.14)3.1(====f f f f ，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。

3．求超定方程组 ?????=+=-=+1123

54223212121x x x x x x 的最小二乘解。

4．已知观察值 4321021012y y y y y y x i i -- 利用的二次拟合多项式)(x f )0(),(2f x p '求的近似值。 5．用形如b x a y +=ln 的函数拟合下列数据

一、填空题

1.已知(1) 1.1f =，(2) 1.2f =，(3) 1.5f =，则三点式高斯求积公式为31()d f x x ≈?

( )，用抛物线求积公式求得31

()d f x x ≈?（ ）。 2.已知()30=f ，()45.0=f ，()31=f ，则用三点式可求得

(0)f '≈（ ），(0.5)f '≈（ ），(1)f '≈（ ），且()f x ''≈（ ）。

3.复合梯形求积公式为()d b a f x x ≈?（ ），当2()[,]f x C a b ∈时,其余项=)(f R n ( )。

4.数值积分代数精确度的定义是（

）。

5.求积公式0()d ()

n b k k a k f x x A f x =≈∑?的代数精度以（ ）求积公式为最

高，具有（ ）次代数精度，其节点称为（ ）点。

二、选择题

1.求积公式研究的误差为（ ） 。

A.观测误差

B.模型误差

C.舍入误差

D.截断误差

2.已知在[a ,b ]上，()2f x ''≤，且],[)(2b a C x f ∈，步长n a

b h -=，则复合梯形

求积公式的误差限为（ ）。 A.6)(3a b -- B. 6)(3

a b -- C. 26h a b - D. 63h

3.梯形公式、抛物线公式及n 阶C N -求积公式的代数精度分别至少为

（ ）。

A. 1,2,n

B. 2,3,n

C. 1,3,n

D. 1,4,n +1

4.数值微分的二点公式中，其误差限为（ ），其中01x x h -= 01x x ξ<<。

A ．)(2h O B. ()2h f ξ''-

C. ()2h f ξ''

D. 01max ()2x x x h f x <<''

5.已知]2,0[)(4C x f ∈，在[0，2]内1)()4(≤x f ，20()d f x x ?有两位整数，用复

合抛物线求积公式计算要保证有5位有效数字，步长最多应为（ ）。

A. 0.1

B. 0.2

C.

D.

三、判断题

1、高斯求积公式)

()(1k n k k b a x f A dx x f ∑?=≈的代数精度为2n +1。 ( )

2、梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )

3、在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ( )

4、n 越大，C N -求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。 ( )

5、具有n +1各节点的插值型求积公式至少具有n +1次代数精度。 ( )

四、计算题

1、分别用梯形公式和抛物线公式计算积分dx x ?+1

041，[0，1]八等分，并估计误差。

2、n =4，用复合梯形公式求230

(2)d x x +?的近似值，取四位小数，并估计误差。

3、用复合抛物线公式计算 1.50

d x

e x ?，要使截断误差不超过41021-?，应至少将区间[0，]多少等份

4、设有求积公式20120

()d (0)2(1)3(2)f x x A f A f A f ≈++?，求210,,A A A 使代数

精度尽量高。

5、利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算2)1()(-+=x x f 在

1.0,1.1x =和

2.1处的导数值。

练 习 题 八

一、填空题

1.用Euler 方法解常微分方程初值问题 ???=++-='1)0(1y x y y ，步长1.0=h ，计

算格式为1+n y =（ ），1y =（ ）。

2.求解常微分方程初值问题 ???=='00)(),(y x y y x f y 改进的欧拉公式为

（ ）

3.常微分方程初值问题的数值解法一般分为（ ）法和（ ）法。

4.求解常微分方程初值问题的Adams 公式是（ ）步法。

5.求解常微分方程初值问题的四阶R-K 方法的局部截断误差为（ ）。

二、选择题

1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为)(2h O ，则该方法的

阶是（ ）。

A ．1

B ．2

C ．0

D ．3

2、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（ ）步法。

A ．多

B ．2

C ．3

D ．1

3、梯形公式是求解常微分方程的（ ）阶方法。

A ．2

B ．4

C ．3

D ．5

4、四阶R-K 方法每步要计算（ ）次f 的值。

A ．4

B ．5

C ．2

D ．3

5、改进的Euler 公式的局部截断误差为（ ）。

A. )(2h O

B. )(3h O

C. )(4h O

D.

)(5h O 三、判断题

1、R-K 法是一类低精度的方法。 ( )

2、求解微分方程初值问题的二阶R-K 方法是多步法。 ( )

3、梯形方法是一种隐式的多步法。 ( )

4、求解微分方程初值问题的向后Euler 法是隐式方法。 ( )

5、求解常微分方程初值问题的预估—校正公式的局部截断误差为)(2h O 。

( )

四、计算题

1、用Euler 法求解

???=+='1)0(2y y x y （10≤≤x ）

2.0=h ，保留两位小数。

2、用Euler 法求

2

0()d x t y x e t -=?

在0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值，保留5位小数。

3、用改进的Euler 法（梯形公式）解初值问题

???=-='2)1(38y y y （21≤≤x ）

取步长2.0=h ，至少保留5位小数。

4、用预估—校正公式求初值问题

???=='1)0(2

y xy y （10≤≤x ）

的数值解，取步长2.0=h ，以四位有效数字计算。

五*、证明题

对常微分方程初值问题

???==+'1)0(0y y y 证明梯形公式求得的近似解为

n

n h h y ??? ??+-=22，并进一步证明当步长0→h 时，x n e y -→。

计算方法练习册答案

习题一

一、1．?； 2．?； 3．∨； 4．?； 5．?．

二、1．

11,))94(3(12-=+-++=x t t t t y ； 2．3

61061,1021,4--??； 3．略；

4．略； 5．略．

三、1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．C ； 5．A ．

四、1．4位，3位，3位； 2．%333.0； 3．（1）22

2312x x x ++， （2）

)1(11arctan ++x x ，（3）Λ+++32!31!21x x x ， （4）

)1ln(2x x ++-；4．略； 5．略．

习题二

一、1．∨； 2．?； 3．?； 4．?．

二、1．n a b 2-； 2．)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+； 3．10],1,21[；

4．

)0,55(-； 5．,1),(40030331x x x x x x x x x x n n n n n n n ---+-+-=+ 618.1),(4

1131331---+---+-+-=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ．

三、1．59375.1； 2．（1）收敛，（2）收敛，（3）发散，（2）收敛速度

快，467.1*=x ； 3．236.2；4．88.1．

四、略．

习题三

一、1．?； 2．∨； 3．?； 4．?；5．∨．

二、1．6,4,2； 2．56,7,8；

3．??????????????????--=????????????????--????????????????--==3232002321002,3400123001213200121001L LU A ；

4．7； 5．??????????-??????????-310210,032210

．

三、1．B ； 2．B ； 3．B ； 4．B ； 5．D ．

四、1．x=（2, -2, 1）T ； 2．x=（1, 1,1）T ； 3．x=（1, 1, 1, 1）T ；

4．x=（2, 1, -1）T ．

习题四

一、1．?； 2．?； 3．?； 4．?；5．∨．

二、1．6

5

,21

31

35)

(1)1(2)(2)

1(1???????-=+-

=++k k k k x x x x ；

2．6

5

,650350,213135)1(1)1(2)(2)1(1?????

?????

-???????-=+-

=+++k k k k x x x x ；

3．?????????=

==-k

k k k k k k y m x y

m Ax y 1

)

max(1

； 4．任意实的非奇异； 5．实对称．

三、1．D ； 2．A ； 3．A ； 4．C ； 5．B ．

四、1．x=（, , ）T ； 2．x=（, , ）T ； 3．)14.0,47.0,1(,

411-==v λ 4．略； 5．略；6．略．

习题五

一、1．?； 2．∨； 3．∨； 4．?；5．?．

二、1．))()(()

)()((321202310x x x x x x x x x x x x ------； 2．1； 3．5.22；

4．Hermite ； 5．x x x )1(32

)1(2,32

,1,1+++--．

三、1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．C ．

四、1．125.0,52125)1)(1(25)1(212)(22++-=-+-++=x x x x x x N ； 2．略；

3．122

3-+x x 4．)23()12()2()(2021202-+-++-++-=x x m x x y x x y x H ； 5．；6．(1)15233158

2++-x x , (2)2171

-．

习题六

一、1．∨； 2．?； 3．?； 4．?；5．?．

二、1．15.0； 2．h x x 0

-； 3．略；

4．??

??

????????=??????????????

????∑∑∑∑∑=====30130110301230130

130

i i i i i i i i i

i i

y x y a a x x x ； 5．x x y y 1

,1

==．

三、1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．A ； 5．B ．

四、1．略； 2．x 53.236.12+； 3．x=

（, ）T 4．)22(101

4310y y y y ++--； 5．93748.2ln 53084.0+=x y ．

习题七

一、1．467.2),55

2(95

)2(98

)55

2(95

+++-f f f ； 2．8,4,

0,4--； 3．)(12)(),)(2)()((

223

1

10ηf n a b x f x f x f h n i i n '

'--++∑-=；

4．略； 5．高斯（Gauss ）， 12+n ，高斯（Gauss ）．

二、1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．D ； 5．D ．

三、1．?； 2．?； 3．?； 4．?；5．?．

四、1．7448103179.0,

18595.0,1040691.0,22316.0--?≤=?≤=R S R T ；

2．5.0,

25.84≤=R T ； 3．8；4．91,3

2,

31310=

=

=A A A ；

5．187.0,217.0,247.0---．

习题八

一、1．1,1.01.09.0++n n x y ； 2．)),(),((2111+++++=n n n n n n y x f y x f h

y y ；

3．单步，多步； 4．多； 5．

)(05

h ． 二、1．A ； 2．D ； 3．A ； 4．A ； 5．B ． 三、1．?； 2．?； 3．?； 4．∨；5．?． 四、1．

2．

3．

4．

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