11.7离散型随机变量及其分布列(北师大数学理2013版高中全程复习方

高中全程复习方略·数学

解决几何概型问题时,还有以下几点容易造成失分,备考建议

在备考时要高度关注:

()不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致1错误;

()基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;2()利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否3

具有等可能性导致错误.

(如图,2.2011·湖南高考)EFGH是以O

为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示,事件“豆子落在正方形EFGH内”B表,内”则

示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)()1P(A)=()2P(B|A)=

;

考题体验

(如图,矩形A1.2011·福建高考)BCD中,

点E为边C若在矩形AD的中点,BCD内部随机取一个点Q,则点Q取自

(△ABE内部的概率等于　　)

1(B)

3

1(C)2

.

2

(

记函数f(3.2012·新余模拟)x)=-x+2x的图像与x轴围成的区域为M,满足y≤x

y≤2-x一点P,则点P落入区域N的概率为　　　　　.

2(D3

{

y≥0

的区域为N,若向区域M上随机投

1(A)

4

　课时提能演练(七十)　一课一练,日积月累,厉兵秣马稳固提能

第七节　离散型随机变量及其分布列(含超几何分布)

考纲点击…………三年16考　高考指数:★★★

理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认1.

识分布列对于刻画随机现象的重要性;会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列;了解超几何分布,并能进行简单的应用.2.

X=aiP(X=ai)

考点梳理

离散型随机变量1.

随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个　　　　,通常用大写的英文字母如变量称为　　　　　　　.

称为离散型随机变量X的分布列.

()离散型随机变量分布列的性质2

(…);①p0i=1,2,②pi　　　　1+2+…=　　　　.p)设X是一个离散型随机变量,判断下列各组是否为X的　(1

()分布列.请在括号中填写“是”或“否”①

…

aa1　2　…

随机变量的取值能够一一列举出来,这样的随机X,Y来表示.　

X1234

P0.10.20.30.4

　　　　　　　　　(　　)

(　　)

)(判断下列事件中的X是否为离散型随机变量.请在括号　(1

)中填写“是”或“否”①某机场候机室中一天游客的数量为X;

②某人一天收到的短信息的条数X;③某水文站观察到一天中长江的水位X;

(　　)(　　)(　　)(　　)

得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是.

离散型随机变量的分布列及其性质2.()离散型随机变量的分布列1

④某立交桥一天经过的车辆数为X.()有一批产品共1其中次品3件,每次从中任取一件,在取22件,

1()…,已知随机变量X的分布列为P(2X=k)=k,k=1,2,

2

)则P(等于.2<X≤4

1i,()设随机变量X的分布列为P(3X=x=a()i)

3

,,,i=123则a=　　　　　　　.

超几何分布3.

如果一个随机变量的分布列由P(其中kX=k)=　　　　(为非负整数)确定,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布.　

()一盒中有1其中9个新的,从盒中任12个乒乓球,3个旧的,

取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一

,)个随机变量,其分布列为P(则P(的值为　　　.X)X=4

()从装有3个白球、随机取出3个球,恰好24个红球的箱子中,

是2个白球、1个红球的概率是　　　　　.

1(②P(X=x=(i≥2,i∈N+)i))i-1i

…,设离散型随机变量X的取值为a随机变量X取aa1,2,i的

…),…)概率为p记作i=1,2,(i=1,2,.i(或把上式列成表

21　2

伯努利试验:X服从参数为p的0-1分布,它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的,为了纪念他,我们也把服从这种分布的试验叫伯,。努利试验。习惯上,把伯努利试验的一种结果称为“成功”另一种称为“失败”

第十一章　第七节

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分布列性质的作用1.()利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.1用这一点可以求相关事件的概率.

离散型随机变量分布列的性质　

【】(例2袋中装着标有数字1,2012·宁波模拟)2,3,4,5的小球各

从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计2个,

分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小()取出的3个小球上的数字互不相同的概率;1()随机变量X的分布列;2

()计分介于230分到40分之间的概率.球上的最大数字,求:

()随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利2

随机变量组合的分布列问题2.

()随机变量ξ是关于试验结果的函数,即每一个试验结果1也是随机变量.R)()求η=再根2ab的分布列可先求出相应随机变量的值,ξ+据对应的概率写出分布列

.

求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为正数.

对应着一个实数;随机变量ξ的线性组合η=aa,b∈ξ+b(

【变式训练】某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称,,为“低碳族”否则称为“非低碳族”这两族人数占各自小区总人数的比例如下:

【】()),例1若随机变量X的分布列为P(1X=i=(i=1,2,3)

1111(A)　　　(B)　　　(C　　　(D)

9634(ξ的分布列为2

)则P(X=2=

a

(　　)

A小区比例

低碳族1

2低碳族45低碳族23

非低碳族12非低碳族15非低碳族

13

B小区比例

ξP

-2112

-11

4

013

1的分布列求η.1=2ξ

12

121

6

112

3

C小区比例

()从A,求恰好有2人是低碳族1B,C三个小区中各选一人,

的概率;

()在B小区中随机选择2非低碳20户,从中抽取的3户中“族”的数量为X,求随机变量X的分布列.

在本例(中条件不2)

2

变,求η2=ξ的分布

列.

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分布列的表格表示1.

超几何分布的概率问题　

离散型随机变量的分布列　

超几何分布的特点1.

()超几何分布是不放回抽样问题.1超几何分布的应用2.

()随机变量为抽到的某类个体的个数.2

超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型,主要应用于抽查产品,摸不同类别的小球等概率模型.

在分布列的表格表示中,结构为2行n+1列,第1行表示随机变量的取值,第2行是对应的变量的概率.第一步　明确随机变量的取值可能;第三步　列成表格—分布列.

求分布列的步骤2.

【】(例3某厂生产的产品在出厂前都要做质量检2012·南昌模拟)

测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为2.现有1其中6件是一等品,0件产品,4件是二等品.

3()随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;1

学　习

第二步　求出每一个随机变量取值的概率;

21　

3

【——韩愈《原文】人非生而知之者,孰能无惑?—师说》

【微言大义】人不是生来就什么都知道的,谁能没有疑难问题呢?说明向他人求学的必要性。

高中全程复习方略·数学

()随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分2布列;

()随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.3

【变式训练】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,从中选出4人参加数学竞赛,用X表示其中4名女生,的男生人数,求X的分布列

.

考题研析

【((典例】某饮料公司招聘了一名员工,现12分)2011·江西高考)

对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为35若400元;杯选对3杯,则月工资定为28否则月工资定为2100元,00()求X的分布列:1()求此员工月工资的期望.2

元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.

解决离散型随机变量的分布列问题时,还有以下几点

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离散型随机变量分布列主观题的规范解答

容易造成失分,在备考时要高度关注:备考建议

()对随机变量的理解不到位,造成对随机变量的取1

值求解错误;

()求错随机变量取值的概率,造成所求解的分布列2

概率之和大于1或小于1,不满足分布列的性质;

()要注意语言叙述的规范性,解题步骤应清楚、正确、完3整,不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象.

考题体验

(在1现从1.2012·杭州模拟)5个村庄中有7个村庄交通不方便,中任意选1用X表示这10个村庄,0个村庄中交通不方便的村

46

CC8

庄数,下列概率中等于71的是0

C15

())A)P(X=2　　　　　　　(B)P(X≤2

【()解题指南】根据超几何分布的概率模型,易得X的分布1易得月工2800对应X=3的概率,2100对应X≤2的概率,

资的期望.

C4C4)()………………………3分P(X=i=i=0,1,2,3,44

C8

X的分布列为:

i

4-i

()列.结合第一问月工资为35200的概率对应X=4的概率,

(　　)

【()规范解答】1X的所有可能取值为:0,1,2,3,4.

()()C)P(X=4D)P(X≤4

(随机变量X的概率分布规律为P(2.2012·黄冈模拟)X=n)=

XP

01

18

35

218

35

38

5

41

2800,3500

………………………………………………………………6分

()令Y表示此员工的月工资,则Y的所有可能取值为21200,1(8))))则P(Y=3500=P(X=4=,PY=2800=P(X=3=

705

2345(A)　　　　(B　　　　(C)　　　　(D3456(某车间甲组有1其中有4名女工3.2012·西安模拟)0名工人,人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现在采用分层抽样(层,内采用不放回的简单随机抽样)从甲,乙两组中共抽取3人进行技术考核.

()求甲、乙两组各抽取的人数;1()求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率;2

a15的值(),其中a是常数,则P(n=1,2,3,4<X<)()n+122

(为　　)

1853

EY=3500×+2800×+2100×=2280.

03570

所以此员工月工资的期望为2280元.…………………12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下失分警示和备考建议:失分警示

在解答本题时有两点容易造成失分:

()不能识别超几何分布的概率模型,造成计算错误;1

()不能将员工工资与随机变量X建立对应关系.2

哲语情思:

()真正的谦虚是最崇高的美德,是美德之母。1

()真正的谦虚只能是对虚荣心进行了深思以后的产物。2

　课时提能演练(七十一)　一课一练,日积月累,厉兵秣马稳固提能

3……………………………分))P(Y=2100=P(X≤2=9

()令X表示抽取的3名工人中男工人的人数,求X的分布列.3

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