2010广东高考数学（理科A卷）试卷及各题详细解答（免费）

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1.若集合A={x|-2＜x＜1},B=A={x|0＜x＜2},则集合A∩B= ( D )

A.{x|-1＜x＜1} B.{x|-2＜x＜1} C.{x|-2＜x＜2} D.{x|0＜x＜1}

2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1?z2? ( A )

A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i

3.若函数f(x)=3+3与g(x)=3?3的定义域均为R，则 ( D )

A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

x?xx?x4．已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2?a3?2a1,且a4与2a7的等差中项为A．35 B．33 C．3l D．29 5.“m?5,则S5=( C ) 412”是“一元二次方程x?x?m?0有实数解”的 ( A ) 4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

''6.如图1，VABC为正三角形，AA'//BB//CC，CC?平面ABC且3AA?''3BB'?CC'?AB 2 则多面体ABC?ABC的正视图(也称主视图)是 ( D )

'''

7.已知随机量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P(X＞4)= ( B ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙 黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 ( C )

A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒

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二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （一）必做题(9～13题)

9.函数，f(x)=lg(x-2)的定义域是 (2,??) .

10．若向量a=(1,1，x)，b=(1，2,1)，c=(1，1,1)满足条件(c—a)·2b=-2，则x= 2 . 11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若 a=1， b=3，A+C=2B，则sinC= 1 .

12.若圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0 相切，则圆O的方程是 (x?2)2?y2?2 .

13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民 某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，…，xn (单位：吨)．根据图2所示的程序框图， 若n=2且x1，x2分别为1，2，则输出的结果s为

1 . 4

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，

他们相交于AB的中点P，PD?2a?,OAP=30°则CP= 39a . 8

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0??＜2?）中，

曲线??2sin?与?cos???1的极坐标为 (2,3?) . 4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分l4分）

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已知函数f?x??Asin?3x???(A＞0，x????,???，0＜?＜?），在x??12时取得最大值4。（1）求f(x)的最小周期（2）求f(x)的解析式（3）若（f23?+?12）=125，求sin?.

sin(2???2)?35，cos2??3232155，1?2sin??5，sin??5，sin???5．

17.（12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，??，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克 的产品数量，求Y的分布列；

（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 克的概率。

解:(1)重量超过505克的产品数量是:40?(0.05?5+0.01?5)=40?0.3=12. (2)Y的分布列为:

Y 0 1 2 P C228C1128?C12C212C2 40C2 40C2 40 第 3 页 共 8 页

17.

(3)设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y2从而P(Y=2)=C5(3B(5,),10

32733087)()=.1010100003087.10000即恰有2件产品的重量超过505克的概率为

18.(本小题满分14分)

如图5，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧

AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=5a，FE=6a. （1）证明：EB?FD；

(2)已知点Q,R为线段FE,FB上的点，FQ?2FE， 3FR?2FB，求平面BED与平面RQD所成的两面角的正弦值. 318.证明:(1)连结CF.B,C为线段AD的三等分点,?AB?BC,即B为半圆AEC的圆心, 又E为半圆AEC的中点,?EB?BC.在?BDF中,BF?DF?5a,所以?BDF是等腰三角形,且点C是底边BD的中点,所以CF?BD.故CF=BF2?BC2=(5a)2?a2=2a,在?CEF中,EF2?6a2?(2a)2?(2a)2?CE2?CF2,所以CF?EC.由CF?BD,CF?EC,且ECBD=C,?FC?平面BED,而EB?平面BED,?FC?EB,?BE?平面BDF,又FD?平面BDF,?EB?FD.设平面BED与平面RQD的交线为DG.

由BQ=

（2）

22FE,FR=FB知, QR||EB. 33而EB?平面BDF，∴QR||平面BDF， 而平面BDE平面RQD= DG，

∴QR||DG||EB.

由（1）知，BE?平面BDF，∴DG?平面BDF， 而DR?平面RQD，BD?平面BDF，

∴DG?DR,DG?DB，∴?RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角． 在Rt?BCF中，CF?BF2?BC2?(5a)2?a2?2a，

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sin?RBD?由FR?FC2a212，cos?RBD?1?sin?RBD?． ??BF5a55215aFB知,BR?FB?,3335a25a1)?2?2a???33529a.3利用余弦定理:RD?BD2?BR2?2BD?BR?cos?RBD?(2a)2?(5aBRRD3利用正弦定理:?,即?sin?RDBsin?RBDsin?RDB故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为229.2929a3,?sin?RDB?229.2295

解法二：利用向量，请同学们自行完成.

19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：

?12x?8y?64?3x?2y?16?0?6x?6y?42?x?y?7?0???? x,y满足条件?6x?10y?54即?3x?5y?27?0，

??x?Nx?N??y?Ny?N???? 目标函数为z?2.5x?4y，

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把z?2.5x?4y变形为y??5zx?，得到斜率为84z5，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线。

485z 由图可知，当直线y??x?经过可行域上的点M(即直线x?y?7?0与直线3x+5y-27=0的交点)84时截距最小，即z最小.

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?x?y?7?0 解方程组：?, 得点M的坐标为(4,3), 所以zmin?22

3x?5y?27?0?答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，

所花的费用最少,且最少费用为22元.

x2?y2?1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,?y1)是双20.（本小题满分14分）已知双曲线2曲线上不同的两个动点.

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2，求h的值. 20.(本小题满分14分)

解:(1)A1,A2为双曲线的左,右顶点,?它们的坐标为A1(?2,0),A2(2,0).则A1P:y?y1?0x1?2(x?2),A2Q:y?2?y1?0x1?2(x?2),两式相乘得:y?22?y122x1?2(x2?2).[来 x1y1112x222?点P(x1,y1)在双曲线上,所以?y1?1,即2?,故y??(x?2),即?y2?1.222x1?22x2?y2?1(x?0,且x??2). 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹E的方程为2（2）设l1:y?kx?h(k?0)，则由l1?l2知，l2:y??1x?h. kx2x22?y?1得?(kx?h)2?1，即(1?2k2)x2?4khx?2h2?2?0， 将l1:y?kx?h代入22若l1与椭圆相切,则??16k2h2?4(1?2k2)(2h2?2)?0，即1?2k?h; 同理若l2与椭圆相切,则1?2?2212?h. 2k由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况: [1]直线l1与l2都与椭圆相切,即1?2k?h,且1?2?从而h?1?2k?3，即h?3; [2]直线l1过点A1(?2,0),而l2与椭圆相切,此时k?(?2)?h?0,1?2?[3]直线l2过点A2(2,0),而l1与椭圆相切,此时?22221122?k2，即k2?1， ?hh,消去得22kk1?h2,解得h?1?17; 2k21?2?h?0,1?2k2?h2,解得h?1?17; k2 第 6 页 共 8 页

[4] 直线l1过点A1(?2,0),而直线l2过点A2(2,0),此时k?(?2)?h?0,?1?2?h?0,?h?2.

k综上所述,h的值为2,3,1?17. 2（注：本题第(2)问中的“只有一个交点”不知命题的专家们指的是相交时的唯一交点还是把相切时的切点也当成是唯一的交点(严格地说,切点应该算做两个交点，只不过这两个交点重合而已)，如果本题指的是严格意义上的交点，那么上述解答中只需要第四种情况，也就就是说h只能取2这一个值. 如果本题将第(2)问中的“交点”改成“公共点”就不会有这种疑惑了.）

21.(本小题满分14分)

设A(x1,y2)，现定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B) B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，为p(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|. 对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y2)，B(x2,y2), (1)若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明p(A,C)?p(C,B)?p(A,B); （2）在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足:

①p(A,C)?p(C,B)?p(A,B)； ② p(A,C)?p(C,B) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.

21.(本题满分14分)

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证明:(1)依题意:?(A,C)??(C,B)?|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|,而|x?x1|?|x2?x|?|x?x1?x2?x|?|x2?x1|,等号当且仅当x?x1与x2?x同号时取得;又|y?y1|?|y2?y|?|y?y1?y2?y|?|y2?y1|,等号当且仅当y?y1与y2?y同号时取得.故|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|?|x2?x1||y2?y1|,即?(A,C)??(C,B)??(A,B),等号当且仅当x?x1与x2?x同号且y?y1与y2?y也同号时取得.(2)不失一般性,设x1?x2.[1]若y1?y2,假设这样的点存在,由(1)知,当?(A,C)??(C,B)??(A,B)时,x?x1与x2?x同号且y?y1与y2?y也同号,此时有:x1?x?x2且y1?y?y2,即点C的轨迹是以线段AB为对角线,且四边分别平行两坐标轴的矩形区域(含边界),(当y1?y2时点C的轨迹退化成线段AB).而根据C满足的第二个条件?(A,C)??(C,B)可得:|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|,考虑到x1?x?x2且y1?y?y2,去掉绝对值得x?x1?y?y1?x2?x?y2?y,即y??x?x1?x2y1?y2?,22设AB的中点为M(x0,y0),则y??x?x0?y0,显然AB的中点M(x0,y0)在该直线上,故满足条件的点存在,为线段y??x?x0?y0(x?[x1,x2],y?[y1,y2])上任意一点.(当y1?y2时,线段\退化\成一点(线段AB的中点),即此时满足条件的C点只有一个).

[2]同理,若y1?y2,假设这样的点存在,由C满足第一个条件,可得x1?x?x2且y2?y?y1,x1?x2y1?y2?,22设AB的中点为M(x0,y0),则y?x?x0?y0,显然AB的中点M(x0,y0)在该直线上,结合C满足的第二个条件可得y?x?故此时满足条件的点亦存在,为线段y?x?x0?y0(x?[x1,x2],y?[y1,y2])上任意一点.

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