奥数21_抓不变量解题

第二十一周 抓“不变量”解题

专题简析：

一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

例1．

437

将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。 619

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子

7

，由此可求出新分数的分子和分母。”

97

分母：（61-43）÷（1－）＝81

97

分子：81× ＝63

981-61＝20或63-43＝20

437

解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所

619

7

以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

97

① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）

9777×963

② 在约分前是： ＝＝

999×981③ 所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20。 练习1：

972

1、 分数的分子和分母都减去同一个数，，那么减去的数是多少？

181513

2、 ，那么同加的这个数是多少？

1353、

35

的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？ 197

582

4、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是

793

多少？

例2：

42

将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，求这个分数。

53解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2

4523

得 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 5432倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

35分子：（2+1－ ）=12

243

分母：12＝17

2

解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

2412412

① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝ ，＝

3618515② 原分数的分母是：

18-1＝17或15+2＝17

12

答：这个分数为 。

17练习2：

73

1、 将一个分数的分母加上2得，分母加上3。原来的分数是多少？

9434

2、 将一个分数的分母加上2得，分母加上2。原来的分数是多少？

4534

3、 将一个分数的分母加上5得，分母加上4。原来的分数是多少？

7957

4、 将一个分数的分母减去9得，分母减去6。原来的分数是多少？

84

例3：

5

在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个

71

数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。

2

510

解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ，

714

17107

= 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分2141414子和分母再乘以2。所以

510201714

＝＝ ，＝ ＝7142821428

17

故原来的最简分数是 。

28

解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

5117

+）÷2＝

7228

17

答：原来的最简分数是。

28练习3：

5

1、 。如果在它的分子上减去

8

1

同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

2

6

2、 。如果在它的分子上减去

7

1

同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

3

7

3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一

9

3

，求这个分数。

5 例4：

73

将一个分数的分母加3，分母加5得 。原分数是多少？

94

721

解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，＝，

927

32121＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将 42827和

217214232142

的分子和分母再同乘以2。则 ＝， ＝＝。所以，原分数289275442856

42的分母是（54－3＝）51。

51

9

解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5

7

449

后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ －）＝42。原分数的分母

33742

是42÷7×9-3=51，原分数是。

51

练习4：

54

1、 一个分数，将它的分母加5，加8，原来的分数是多少？（用两种方法）

6567

2、 将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数是

78

多少？（用两种方法做）

35

3、 把一个分数的分母减去2，。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。

47

求原分数。

例5：

11

有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个

23分数是多少？

1

根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这

21

”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷

33

（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是 。

8练习5：

11

1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于，这

23

个分数是多少？

11

2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，，这个 分

23

数是多少？

11

3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于 ，这个

23分数是多少？

答案： 练1

1、 41 2、17 3、 37 4、 16 练2 1、 练3

92531

1、 2、 3164245练4

60841651、 2、 3、67101222练5

7791、 2、 3202416

数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。

例一 今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁? 从年龄上不变来找解题的“突破口” 小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)

21121220

2、 3、 25132341

小明那一年是：(40-6)÷2=17(岁) 是在几年之后呢?17-8=9(年)

例二 王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少?

91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。

抓住：一个因数(乙数)没有变 ，乙是91和175的公约数 91÷7=13 王进看错了的甲数 175÷7=25 张明看错了的甲数。 15×7=105

抓不变量，把不变量的份数化相同的解题思想 （此方法为本人独立研究成果，不得转载）

如：

1、如果给分数的分子加上一个数，又从它的分母中减去同一个数，原分数就变19

为，求所加(减)的这个数。 45解析：变化前后分子分母的和不变，原分数分子分母比为19︰45，分子分母子的和的总份数为19+45=64份；新分数分子分母比为3︰5，分子分母的和的总份数为3+5=8份。原来总份数64份和现在总份数8份所表示的量应该是相同的，把3︰5改为24︰40，这样分子多了24－19=5，分母少了45－40=5，因而所加(减)的这个数是5。

2．有浓度为95%的酒精溶液600克，现要加水稀释成浓度为75%的酒精，求加水后酒精溶液的重量。

解析：加水稀释，说明纯酒精不变，原来纯酒精与溶液的比是95︰100即19︰20，纯酒精份数为19份；加水后纯酒精与溶液的比是75︰100即3︰4，纯酒精

份数为3份。原来纯酒精份数为19份和现在纯酒精份数为3份所表示的量应该是相同的，把原来19︰20改为57︰60，把3︰4改为57︰76，这样原来酒精溶液所表示的份数为60份，因而原来酒精溶液600克对应的份数是60份, 而加水后溶液份数为76份.

加水后酒精溶液的重量600÷60×76=760

3、甲、乙两个书架放图书册数的比是7︰5，从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙书架上的图书册数的比变为3︰4。甲书架原有图书多少册？

解析：从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙两个书架图书总数不变，原来甲、乙两个书架放图书册数的比是7︰5，总份数为7+5=12份；后来甲、乙书架上的图书册数的比变为3︰4，总份数为3+4=7份。原来总份数12份和现在总份数7份所表示的量应该是相同的，把7︰5改为49︰35，把3︰4改为36︰48，这样甲少了49－36=13份，乙多了48－35=13份，因而从甲书架上拿78册到乙书架这个78册对应的份数是13份。 甲书架原有图书78÷13×49=294本 4、某班男生人数是女生人数的

5

，最近又转来一名女生，结果女生人数成了男4

5

生人数的 ，求现在全班有多少人？

6

解析：最近又转来一名女生，男生人数不变，原来男生人数是女生人数的 ， 即原来男生人数与女生人数的比是5︰4，男生人数份数为5份；后来女生人数成了男生人数的，即男生人数与女生人数的比是6︰5，男生人数份数为6份。原来男生人数份数为5份和现在男生人数份数为6份所表示的量应该是相同的，把5︰4改为30︰24，把6︰5改为30︰25，这样女生人数增加了25－24=1份，因而又转来一名女生对应的份数是1份。 现在全班有（30+25）×1 =55人

5、甲乙两种商品价格比为7︰3，它们的价格都上涨70元后价格比变为7︰4，两种商品原来价格各是多少元？

解析：甲乙两种商品价格上涨70元前后价格差不变，原来价格比为7︰3，差7－3=4份；上涨70元后价格比变为7︰4，差7－4=3份。原来差4份和现在差3份所表示的量应该是相同的，把7︰3改为21︰9，把7︰4改为28︰16，这样甲

价格上涨28－21=7份，乙价格上涨16－9=7份。因而它们的价格都上涨70元对应的份数是7份。

原来甲价格70÷7×21=210元 原来乙价格70÷7×9=90元

1、某班一次考试，平均分为85分，其中及格，及格的同学平均分为90分，那么不及格的同学平均分是多少?

2、小明上山的速度是每分钟150米，下山的速度是每分钟300米，求上山后又沿原路下山的平均速度。

3、某班同学的平均身高为138厘米，其中男生比女生多，女生平均身高比男生高10%，这个班男生平均身高是多少?

4、阅览室看书的学生中，男生占25%，有来了一些学生后，学生总人数增加20%，男生占总数的40%，男生增加百分之几?

5、六年级三个班人数相等，一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生人数是全部男生人数的，全部女生人数占全年级人数的几分之几?

6、某班一次考试，平均分为70分，其中及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少?

7、游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30%，又来了一批学生后，学生总数增加20%，小学生占学生总数的40%，小学生增加百分之几?

8、五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班女生人数相等，三班的男生是全部男生的，全部女生人数占全年级人数的几分之几?

9、六年级同学中，男生人数比女生人数多，女生人数比男生人数少几分之几? 10、已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是。

11、小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又原路返回的平均速度。

12、张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时因为逆风，每小时只行10千米，张师傅往返的平均速度是多少?

13、设数法是解答小学数学应用题的一种常用的方法。有些较复杂的应用题，粗看似乎条件不足。但是，只要根据需要，假设一个适当的数据作为已知条件，便可使解题途径变得非常顺畅。在用设数法解题时，所设的数只要便于列式计算，它们的大小(但不能是0)与解答的结果没有关系。

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