2011年高考文科数学试题汇编 - -函数与导数（教师用）

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函数与导数

一、选择题

（安徽文5）若点(a,b)在y?lgx 图像上，a??,则下列点也在此图像上的是

（A）（，b） (B) (10a,1?b) (C) (

?a??2

,b+1) (D)(a,2b) a【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与

对应点的关系.

2【解析】由题意b?lga，?b??lga?lga?，即?a,2b?也在函数y?lgx 图像上.

(安徽文10) 函数

f(x)?axng(??x)?在

y 区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可 能是

（A）1 (B) 2

O (C) 3 (D) 4

0.1 x 0.【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当n?1时，

f(x)?axg(??x)??a(x???x??x)

，则f?(x)?a(?x???x??)，

由f?(x)?a(?x???x??)??可知，x1?,x2?1，结合图像可知函数应在?0,3?递增，

?13??1?

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1??????在?,1?递减，即在x?取得最大值，由f()?a?g(??)??，知a存在.故

33??????1选A.

（北京文8）已知点A?0,2?,B?2,0?,若点C在函数y?x2的图象上，则使得?ABC的

面积为2的点C的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A

（福建文6）若关于x的方程x＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

A．（－1，1） B．（－2，2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C

?2x， x＞0

（福建文8）已知函数f(x)＝??x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值

2

等于

A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A

（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极

值，则ab的最大值等于

A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D

（广东文4）函数f(x)?3

2

1?lg(x?1)的定义域是 （ ） 1?xA．(??,?1) B．(1,??) C．(?1,1)?(1,??) D．(??,??) 【答案】C

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ （湖南文7）曲线y?12sinx1??在点M(,0)处的切线的斜率为（ ）

sinx?cosx241222 D． 22A．? B． C．?【答案】B 【解析】y'?y'|?4cosx(sinx?cosx)?sinx(cosx?sinx)1?，所以 (sinx?cosx)2(sinx?cosx)2x??(sin1??cos)244??12。

（湖南文8）已知函数f(x)?ex?1,g(x)??x2?4x?3,若有f(a)?g(b),则b的取值范围

为

A．[2?2,2?2] B．(2?2,2?2) C．[1,3] D．(1,3) 【答案】B

g(x)??x2?4x?3??(x?2)2?1?1，【解析】由题可知f(x)?ex?1??1，若有f(a)?g(b),则g(b)?(?1,1]，即?b2?4b?3??1，解得2?2?b?2?2。

（江西文3）若

f(x)?1log1(2x?1)，则f(x)的定义域为( )

21111(?,0) B.(?,??) C.(?,0)?(0,??) D.(?,2) 2222【答案】C

log1?2x?1??0,?2x?1?0,2x?1?1【解析】

2?1??x???,0???0,????2?

（江西文4）曲线y?ex在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）

1eA.1 B.2 C. D.

e【答案】A 【解析】 y'?ex,x?0,e0?1 （辽宁文6）若函数

f(x)?x为奇函数，则(2x?1)(x?a)a=

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123A． B． C． D．1

234【答案】A

（全国Ⅰ文4）曲线y?x2?2x?1在点（1,0）处的切线方程为 （A）y?x?1 （B）y??x?1 （C）y?2x?2 （D）y??2x?2 【答案】A

(全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x?0），则?xf?x?2??0?= （A）?xx??2或x?4? （B）?xx?0或x?4? （C）?xx?0或x?6? （D）?xx??2或x?2? 【答案】B

（山东文4）曲线y?x3?11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15 【答案】C

（陕西文4） 函数y?x的图像是 （ ）

13

【答案】B

【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．

1111x??y??【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取x?1，则y?1，选项8822B符合题意．

（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,??)上单调递减的函数是（ ）

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ （A）y?x?2 （B）y?x?1 （C）y?x2 （D）y?x3 【答案】A

（四川文4）函数y?(2)x?1的图象关于直线y=x对称的图象像大致是

11

【答案】A

【解析】y?(2)x?1图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过

点(2,0)且单调递减，选A．

x（天津文4）函数f?x??e?x?2的零点所在的一个区间是（ ）．

1 Ａ．??2,?1? Ｂ．??1,0? Ｃ．?0,1? Ｄ．?1,2? 【答案】C

?10【解析】因为f??1??e?1?2?0，f?0??e?0?2??1?0，

f?1??e1?1?2?e?1?0，所以函数f?x??ex?x?2的零点所在的一个区间

是?0,1?．故选Ｃ．

（天津文6）设a?log54，b??log53?，c?log45，则（ ）． Ａ．a?c?b Ｂ．b?c?a Ｃ．a?b?c Ｄ．b?a?c 【答案】D

【解析】因为c?log45?c?log44?1，0?a?log54?1，0?a?log53?1，

所以b??log53??log53?log54?log54?a， 所以b?a?c，故选Ｄ．

(重庆文3)曲线(A)

在点,处的切线方程为

(B)

22

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ (C) (重庆文6)设(A)(C)【答案】B (重庆文7)若函数(A)

在

处取最小值,则

(D)

,

,

,则,,的大小关系是

(B) (D)

(B)

(C)3 (D)4 【答案】C 二、填空题

（浙江文11）设函数kf(x)?【答案】-1

（天津文16）设函数f?x??x?1．对任意x??1,???，f?mx??mf?x??0恒成立，则x4 ,若f(a)?2,则实数a=______________ 1?x实数m的取值范围是 ． 【答案】???,?1?．

【解析】解法1．显然m?0，由于函数f?x??x?1对x??1,???是增函数， x则当m?0时，f?mx??mf?x??0不恒成立，因此m?0． 当m?0时，函数h?x??f?mx??mf?x?在 x??1,???是减函数， 因此当x?1时，h?x?取得最大值h?1??m?1， m于是h?x??f?mx??mf?x??0恒成立等价于h?x??x??1,????的最大值?0，

1??m??0,1即h?1??m??0，解?m得m??1．于是实数m的取值范围是???,?1?．

m??m?0,

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 解法2．然m?0，由于函数f?x??x?1对x??1,???是增函数，则当m?0时，xf?mx??mf?x??0不成立，因此m?0．

1m1?m22m2x2?1?m2f?mx??mf?x??mx??mx??2mx???0，

mxxmxmx222因为x??1,???，m?0，则2m2x2?1?m2?0，设函数g?x??2mx?1?m，则当

x??1,???时为增函数，于是x?1时，g?x?取得最小值g?1??m2?1．

2??g?1??m?1?0,解?得m??1．于是实数m的取值范围是???,?1?．

m?0,??解法3．因为对任意x??1,???，f?mx??mf?x??0恒成立，所以对x?1，不等式

1?m??0,?1f?mx??mf?x??0也成立，于是f?m??mf?1??0，即m??0，解?m得

m??m?0,m??1．于是实数m的取值范围是???,?1?．

（上海文3）若函数f(x)?2x?1的反函数为f?1(x)，则f?1(?2)?

3?【答案】 2?lgx,x?0（陕西文11）设f(x)??x，则f(f(?2))?______.

10,x?0?【答案】?2

【分析】由x??2算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断f(?2)作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．

【解析】∵x??2?0，∴f(?2)?10?2?f(f(?2))??2．

1?0，所以f(10?2)?lg10?2??2，即100（辽宁文16）已知函数f(x)?ex?2x?a有零点，则a的取值范围是___________． 【答案】(??,2ln2?2]

（江苏2）函数f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是__________

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1（-，+?）【答案】 2【解析】y?log5u在(0,??)?.u?2x?1在x?(?,??),大于零,且增.

本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性

质，容易题

（江苏8）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)?的图

象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________. 【答案】4.

【解析】设经过原点的直线与函数的交点为(x,)，(?x,?)，则

4PQ?(2x)2?()2?4.

x122x2x2x本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.

?2x?a,x?1f(x)?f(1?a)?f(1?a)，则a?（江苏11）已知实数a?0，函数，若

??x?2a,x?1的值为________ 【答案】a?? 【解析】 ?a?0.

3a?0,2?2a?a??1?a?2a,a??，不符合；

23a?0,?1?a?2a?2?2a?a,a?? .

434本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.

（湖南文12）已知f(x)为奇函数，g(x)?f(x)?9,g(?2)?3,则f(2)? ． 【答案】6

【解析】g(?2)?f(?2)?9?3,则f(?2)??6，又f(x)为奇函数，所以

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f(2)??f(?2)?6。

?lgA?lgA（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：M，其中A是测震仪记录的0地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000

（广东文12）设函数f(x)?x3cosx?1.若f(a)?11，则f(?a)? ． 【答案】-9

（安徽文13）函数y?16?x?x2的定义域是 .

【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由6?x?x2?0可得x2?x?6?0，即?x+3??x?2??0，所以?3?x?2. 三、解答题

（北京文18）已知函数f?x???x?k?e，（I）求f?x?的单调区间；

x（II）求f?x?在区间?0,1?上的最小值。

0?x?k?1；解：（I）f/(x)?(x?k?1)ex，令f/(x)?所以f?x?在(??,k?1)上递减，

在(k?1,??)上递增；

（II）当k?1?0,即k?1时，函数f?x?在区间?0,1?上递增，所以f(x)min?f(0)??k；

当0?k?1?1即1?k?2时，由（I）知，函数f?x?在区间?0,k?1?上递减，(k?1,1]k?1上递增，所以f(x)min?f(k?1)??e；

当k?1?1,即k?2时，函数f?x?在区间?0,1?上递减，所以f(x)min?f(1)?(1?k)e。 （广东文19） 设a?0,讨论函数 f(x)?lnx?a(1?a)x2?2(1?a)x的单调性．

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解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）

2a(1?a)x2?2(1?a)x?1f'(x)?,x1当a?1时，方程2a(1?a)x2?2(1?a)x?1?0的判别式??12(a?1)(a?)31①当0

0?a?1 3(x1,x2) 1?a?1 3(x2,??) a?1 (0,x1) (x1,??) (0,x1) (0,??) ? ? ? ? ? ? （其中x1?(a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11?,x2??） 2a2a(1?a)2a2a(1?a)322x?x?2ax?bx?a()?x?3x?2（湖北文20）设函数f()，gx，其中x?R，a、b为

常数，已知曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；

x?g()x?mx(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1?x2，且对()?g()x?m(x?1)任意的x??x1,x2?，fx恒成立，求实数m的取值范围。

解：(I)f/(x)?3x2?4ax?b,g/(x)?2x?3，由于曲线曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线，故有f(2)?g(2)?0,f/(2)?g/(2)?1，由此解得：a??2,b?5； 切线l的方程：x?y?2?0‘

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ (II)由(I)得f(x)?g(x)?x3?3x2?2x，依题意得：方程x(x2?3x?2?m)?0有三个互不相等的根

0,x1,x2，故x1,x2是方程x2?3x?2?m?0的两个相异实根，所以

1??9?4(2?m)?0?m??；

4()?g()x?m(x?1)又对任意的x??x1,x2?，fx恒成立，特别地，取x?x1时， f(x1)?g(x1)?mx1??m成立，即0??m?m?0，由韦达定理知：x1?x2?3?0,x1x2?2?m?0，故0?x1?x2，对任意的x??x1,x2?，有x?x2?0,x?x1?0,x?0，则：

f(x)?g(x)?mx?x(x?x1)(x?x2)?0；又f(x1)?g(x1)?mx1?0

所以函数在x??x1,x2?上的最大值为0，于是当m?0时对任意的x??x1,x2?，

1mfx()?g()x?m(x?1)(?,0)。 恒成立；综上：的取值范围是

41（湖南文22）设函数f(x)?x??alnx(a?R).

x(I)讨论f(x)的单调性；

（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).

1ax2?ax?1 f'(x)?1?2??

xxx2令g(x)?x2?ax?1,其判别式??a2?4.

当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．

)上，f'(x)?0，故f(x)在(0,??)上单?>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,??当a??2时,调递增．

a?a2?4a?a2?4?>0,g(x)=0的两根为x1?当a?2时,， ,x2?22

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． （II）由（I）知，a?2． 因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?k?x1?x2?a(lnx1?lnx2)，所以 x1x2f(x1)?f(x2)lnx?lnx21?1??a?1 x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2k?2?a?xx?1又由(I)知，12．于是 x1?x2若存在a，使得k?2?a.则

x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*) x2lnx1?lnx2?1．即lnx1?lnx2?x1?x2．亦即

x1?x2再由（I）知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，所以

x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a. x211t13??fx?x?mx2?nx. （江西文20）设

3 （1）如果g?x??f??x??2x?3在x??2处取得最小值?5，求f?x?的解析式； （2）如果m?n?10?m,n?N??，f?x?的单调递减区间的长度是正整数，试求m和

n

的值．(注：区间?a,b?的长度为b?a）

32.解：（1）已知f?x??x?mx?nx，?f'?x??x2?2mx?n

13又?g?x??f'?x??2x?3?x2??2m?2?x?n?3在x??2处取极值， 则g'??2??2??2???2m?2??0?m?3，又在x??2处取最小值-5.

32则g??2????2?2???2??4?n?3??5?n?2，?f?x??x?3x?2x 32（2）要使f?x??x?mx?nx单调递减，则?f'?x??x2?2mx?n?0

1313

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 又递减区间长度是正整数，所以f'?x??x2?2mx?n?0两根设做a，b。即有： b-a为区间长度。又b?a??a?b?2?4ab?4m2?4n?2m2?n?m,n?N?? 又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，m?3,n?5符合。

（辽宁文20）设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的

切斜线率为2．

（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2．

b?f(x)?1?2ax?. 解：（I）

x?f(1)?0,?1?a?0,由已知条件得?f?(1)?2.即?1?2a?b?2.，解得a??1,b?3.

?? （II）f(x)的定义域为(0,??)，由（I）知f(x)?x?x2?3lnx.

设g(x)?f(x)?(2x?2)?2?x?x2?3lnx,则

g?(x)?1??2x?3(x?1)(2x?3)??. xx当0?x?1时,g?(x)?0;当x?1时,g?(x)?0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,??)单调减少.

而g(1)?0,故当x?0时,g(x)?0,即f(x)?2x?2.

x2（全国Ⅰ文21）设函数f?x??x?e?1??ax

（Ⅰ）若a=，求f?x?的单调区间； （Ⅱ）若当x≥0时f?x?≥0，求a的取值范围 （21）解：

x2（Ⅰ）a?时，f(x)?x(e?1)?x，f'(x)?ex?1?xex?x?(ex?1)(x?1)。当x????,?1?121212时f'(x)??;当x???1,0?时，f'(x)?0;当x??0,???时，f'(x)?0。故f(x)在

???,?1?，?0,???单调增加，在（-1，0）单调减少。

()?xa?1?ax（Ⅱ）f(x)?x(xa?1?ax)。令gx)?exa?。，则g('x若a?1，则当x??0,???时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

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若a??，则当x??0,lna?时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当

x??0,lna?时g(x)＜0，即f(x)＜0.综合得a的取值范围为???,1?

（全国Ⅱ文20）已知函数f(x)?x3?3ax2?(3?6a)x?12a?4(a?R) (Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；

（Ⅱ）若f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3),求a的取值范围。 【解析】(Ⅰ) f?(x)?3x2?6ax?(3?6a)，f?(0)?3?6a，又f(0)?12a?4

曲线y?f(x)在x?0的切线方程是：y?(12a?4)?(3?6a)x，在上式中令

x?2，得y?2

所以曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；

（Ⅱ）由f?(x)?0得x2?2ax?1?2a?0，（i）当?2?1?a?2?1时，f(x)没有极小值；

(ii)当a?2?1或a??2?1时，由f?(x)?0得

x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1 故x0?x2。由题设知1??a?a2?2a?1?3，当a?2?1时，不等式

1??a?a2?2a?1?3无解；

当a??2?1时，解不等式1??a?a2?2a?1?3得??a??2?1

5a(?,?2?1)。 综合(i)(ii)得的取值范围是

252（陕西文21）设f(x)?lnx，g(x)?f(x)?f?(x)． （1）求g(x)的单调区间和最小值；

1g(x)g()的大小关系； （2）讨论与

x1ag(a)?g(x)（3）求的取值范围，使得＜对任意x＞0成立．

a【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．

1x?1?f(x)?lnx,g(x)?lnx?g(x)?,令g?(x)?0得x=1， 【解】（1）由题设知，∴2xx当x∈（0，1）时，g?(x)＜0，g(x)是减函数，故（0，1）是g(x)的单调减区间。 当x∈（1，+∞）时，g?(x)＞0，g(x)是增函数，故（1，+∞）是g(x)的单调递增区间，

因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)?1.

111(x?1)2(2)g()??lnx?x，设h(x)?g(x)?g()?lnx?x?，则h?(x)??2，

xxxx1h(1)?0g(x)?g()，当x?(0,1)?(1,??)时，h?(x)?0， x?1当时，，即

x因此，h(x)在(0,??)内单调递减，当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即g(x)?g(). （3）由（1）知g(x)的最小值为1，所以，g(a)?g(x)?，对任意x?0，成立

1?g(a)?1?,

a1a1x即Ina?1,从而得0?a?e。

（上海文21）已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足a?b?0 （1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性； （2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围. 解：⑴ 当a?0,b?0时，任意x1,x2?R,x1?x2，

xxxx则f(x1)?f(x2)?a(2?2)?b(3?3)

1212∵ 2x?2x,a?0?a(2x?2x)?0，3x?3x,b?0?b(3x?3x)?0，

12121212∴ f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数。当a?0,b?0时，同理函数f(x)在R上是减函数。 ⑵ f(x?1)?f(x)?a?2x?2b?3x?0

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3xaaa?0,b?0()??x?log(?)； 当时，，则1.522b2b3aa当a?0,b?0时，()x??，则x?log1.5(?)。

22b2b（四川文22）已知函数f(x)?3x?2，h(x)?21x．

（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值； （Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[2f(x?1)?4]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)； （Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)???h(n)]?6．

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0)，

?F?(x)??3x2?12．

331令?F?(x)?0，得x?2（x??2舍去）．

当x?(0,2)时．F?(x)?0；当x?(2,??)时，F?(x)?0，

故当x?[0,2)时，F(x)为增函数；当x?[2,??)时，F(x)为减函数．

x?2为F(x)的极大值点，且F(2)??8?24?9?25．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[2f(x?1)?4]?log2h(a?x)?log2h(4?x)， 即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2a?xa?x?x?a,，且?1?x?4, 4?x?33①当1?a?4时，1?x?a，则x?1?4?x，即x2?6x?a?4?0，

??36?4(a?4)?20?4a?0，此时x?6?20?4a?3?5?a，∵1?x?a， 2此时方程仅有一解x?3?5?a．

②当a?4时，1?x?4，由x?1?4?x，得x2?6x?a?4?0，??36?4(a?4)?20?4a， 若4?a?5，则??0，方程有两解x?3?5?a；

a?x若a?5时，则??0，方程有一解x?3；

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 若a?1或a?5，原方程无解．

方法二：原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x)，

1即2log2(x?1)?log24?x?log2?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,????x?a,a?x，?? ??a?x?0,2?a??(x?3)?5.?(x?1)(4?x)?a?x.?5?a； 5?a；

①当1?a?4时，原方程有一解x?3?②当4?a?5时，原方程有二解x?3?③当a?5时，原方程有一解x?3； ④当a?1或a?5时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得h(1)?h(2)???h(n)]?f(n)h(n)?14n?31?n?． 6661?2???n，

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?f(n)h(n)?6（n?N*） 从而有a1?S1?1，当2?k?100时，ak?Sk?Sk?1?4k?34k?1k?k?1． 6611(4k?3)2k?(4k?1)2(k?1)1又ak?k?6[(4k?3)k?(4k?1)k?1]?6?(4k?3)k?(4k?1)k?1

11???0． 6(4k?3)k?(4k?1)k?1即对任意k?2时，有ak?k，又因为a1?1?1，所以a1?a2???an?1?2???n．

则Sn?h(1)?h(2)???h(n)，故原不等式成立．

（天津文20）已知函数f?x??ax3?x2?1?x?R?，其中a?0． （Ⅰ）若a?1，求曲线y?f?x?在点?2,f?2??处的切线方程；

?11?（Ⅱ）若在区间??,?上，f?x??0恒成立，求a的取值范围．

?22?232【解】（Ⅰ）当a?1时，f?x??x?x?1，f?2??3．f??x??3x?3x，f??2??6．

3232所以曲线y?f?x?在点?2,f?2??处的切线方程为y?3?6?x?2?，即y?6x?9．

2（Ⅱ）f??x??3ax?3x?3x?ax?1?．

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 令f??x??0，解得x?0或x?．针对区间??,?，需分两种情况讨论：

a?22?(1) 若0?a?2,则?．

当x变化时，f??x?,f?x?的变化情况如下表：

x ?1???,0? ?2?0 1?11?1a12?1??0,? ?2?? f??x? ? f?x? 增 0 极大值 减 ?11??11?fx?,??所以在区间?上的最小值在区间的端点得到．因此在区间??,?上，?22???22?f?x??0恒成立，等价于

??1??5?af??0,?0,??2??????8? 即?解得?5?a?5，又因为0?a?2，所以0?a?2．

5?a1???f??0,?0,?????8??2?(2) 若a?2，则0??． 当x变化时，f??x?,f?x?的变化情况如下表：

x ?1???,0? ?2?0 1a12?1??0,? ?a?? 1 a?11??,? ?a2?f??x? ? f?x? 增 0 0 ? 极大值 减 极小值 增 1??所以f?x?在区间??,?上的最小值在区间的端点或x?处得到．

a?22???1??5?af??0,?0,??2??11??????8因此在区间??,?上，f?x??0恒成立，等价于 ? 即? 11?22????f?1??0,?0,??2???2a??a?11

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 解得22?a?5或a??，又因为a?2，所以2?a?5．

22综合(1),(2), a的取值范围为0?a?5. （浙江文21）设函数f(x)?a2lnx?x2?ax，a?0 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数a，使e?1?f(x)?e2对x?[1,e]恒成立． 注：e为自然对数的底数．

（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为f(x)?a2lnx?x2?ax.其中x?0，所以

a2(x?a)(2x?a)f?(x)??2x?a??

xx 由于a?0，所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,??)

（Ⅱ）证明：由题意得，f(1)?a?1?c?1,即a?c，由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]内单

调递增，

?f(1)?a?1?e?1,a?e. 要使e?1?f(x)?e对x?[1,e]恒成立，只要?222，解得

?f(e)?a?e?ae?e2(重庆文19)设

线

/的导数为,若函数的图象关于直的极值

对称，且

2.](Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数

a2a2解：(Ⅰ)f(x)?6x?2ax?b?6(x?)?b?，函数

66的图象关于直线

ax??对称，

6a1所以????a?3，又f/(1)?0?6?2a?b?0?b??12；

62(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)?2x3?3x2?12x?1,f/(x)?6x2?6x?12，

/令f(x)?0?x1??2,x2?1；

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 函数f(x)在(??,?2)上递增，在(?2,1)上递减，在(1,??)上递增，所以函数f(x)在

x??2处取得极大值f(?2)?21，在x?1处取得极大值f(1)??6。

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