第三章 2.1实际问题中导数的意义最新衡水中学自用精品教学与导学

2．1 实际问题中导数的意义

明目标、知重点

1．和实际问题相结合，进一步理解导数的概念． 2．会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语．

1．瞬时速度的含义

若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间f?t0＋Δt?－f?t0?

的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫作物体在t0时刻的瞬时速度，

Δt即v＝s′(t0)．

2．功率与降雨强度的含义

功率是功关于时间的导数，降雨强度是降雨量关于时间的导数． 3．边际成本的含义

在经济学中，边际成本是生产成本关于产量的导数．

探究点一 平均变化率和瞬时变化率 思考 描述一下变化率和导数的关系．

ΔyΔy

答 函数的平均变化率为；当Δx趋于0时的极限lim是瞬时变化率(导数)；平均变化率

ΔxΔx→0Δx刻画函数在某个范围内变化的快慢，导数刻画函数在一点处变化的快慢．

1

例1 一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程s＝gt2(g＝10m/s2，位移单位：m，时

2

间单位：s)，求：

(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)物体在t＝t0时的瞬时速度．

11Δs

解 (1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝g(t0＋Δt)2－gt2则平均速度v＝＝0，22Δt11g?t0＋Δt?2－gt22201

＝g(2t0＋Δt)．

Δt2(2)物体在t＝t0时的瞬时速度为v＝lim→

Δt

Δs?1g?2t0＋Δt??＝gt0. ＝lim?0ΔtΔt→0?2

反思与感悟 计算平均变化率可用定义；计算导数可使用定义，也可使用导数公式和导数运算法则．

π

跟踪训练1 试比较函数y＝sinx在x＝0和x＝处瞬时变化率的大小．

2解 ∵(sinx)′＝cosx，

∴y＝sinx在x＝0处的瞬时变化率为cos0＝1， ππ在x＝处的瞬时变化率为cos＝0.

22∴函数y＝sinx在x＝0处的瞬时变化率大． 探究点二 导数的实际意义

思考1 在实际问题中，导数有什么作用？ 答 导数可以刻画事物变化的快慢程度． 思考2 物理中有哪些常见导数模型？

答 物理中速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数． 思考3 实际问题中还有哪些常用的导数模型？

答 实际问题中，降雨强度是降雨量关于时间的导数，边际成本是生产成本关于产量的导数，气球膨胀率是气球半径关于体积的导数等．

例2 如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t. (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；

(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．

解 (1)当t从1s变到3s时，功W从W(1)＝11J变到W(3)＝21J，此时功W关于时间t的平均变化率为

W?3?－W?1?21－11

＝＝5(J/s)．

3－13－1

它表示从t＝1s到t＝3s这段时间，这个人平均每秒做功5J. (2)首先求W′(t)．根据导数公式和求导法则可得 W′(t)＝3t2－12t＋16，

于是，W′(1)＝7J/s，W′(2)＝4 J/s.

W′(1)和W′(2)分别表示t＝1s和t＝2s时， 这个人每秒做的功为7J和4J.

跟踪训练2 已知某电路中电量q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系式是q(t)＝3t2－2t. (1)求t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间的平均电量； (2)求t＝1s时电路的电流．

解 (1)因为电量q与时间t的函数关系式是q(t)＝3t2－2t，则电量q在[1,1＋Δt]这段时间的平

2

Δqq?1＋Δt?－q?1?3?1＋Δt?－2?1＋Δt?－?3－2?

均变化率为＝＝＝4＋3Δt，即平均电量为4＋

ΔtΔtΔt

3Δt.

由(1)得(2)q′(1)＝lim (4＋3Δt)＝4，即t＝1s时通过该电路的电流为4A. →

Δt0

xx

例3 建造一幢面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数：y＝f(x)＝＋＋0.3.

1010(1)当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(2)求f′(100)并解释它的实际意义．

f?120?－f?100?

解 (1)当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率为 120－100

＝

?12＋120＋0.3?－?10＋100＋0.3?

1010????

20

≈0.105(万元/m2)．

它表示在建筑面积从100m2增加到120m2的过程中，每增加1m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1050元．

11

(2)首先求f′(x)，利用导数公式表和导数的运算法则可知f′(x)＝＋，

1020x11

于是f′(100)＝＋＝0.105(万元/m2)．

10200

f′(100)表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2，也就是说当建筑面积为100m2时，每增加1m2的建筑面积，成本就要增加1050元．

反思与感悟 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．

跟踪训练3 已知某商品生产成本c与产量q (0

1

产量q的函数关系为p＝25－q，求利润L关于产量q的关系式，用L＝f(q)表示，并计算f′(80)

8的值，解释其实际意义． 解 ∵f(q)＝p×q－c 1

25－q?×q－(100＋4q)， ＝?8??

1

∴f(q)＝－q2＋21q－100 (0

8

11

∴f′(q)＝－q＋21，∴f′(80)＝－×80＋21＝1.

44说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1.

1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案 B 解析

Δyf?3?－f?1?1－3＝＝＝－1. Δx23－1

2．已知函数f(x)＝x，在x从4变化到4＋Δx时，函数的平均变化率为________，f′(4)＝________. 答案

11

Δx＋4＋24

解析 Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝Δx＋4－4， ∴

Δx＋4－2Δy1＝＝， ΔxΔxΔx＋4＋2

Δx

∴f′(4)＝lim→

Δy11

＝lim＝. 40ΔxΔx→0Δx＋4＋2

[呈重点、现规律]

导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．

一、基础过关

1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对 答案 A

2．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则A．4 C．4＋2(Δx)2 答案 B

Δy4Δx＋2?Δx?

解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－1－2×1＋1＝4Δx＋2(Δx)，∴＝＝4

ΔxΔx

2

2

2

2

Δy

等于( ) Δx

B．4＋2Δx D．4x

＋2Δx.

5

3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝t，则质点在t＝4时的速度为( ) A.

15223

B.

151023

25C.23 5答案 B 解析 s′＝

153D.2 10

111

.当t＝4时，s′＝·＝.

555455t4410231

4．运动员在某段时间内的平均速度为0，则运动员在这段时间内( ) A．可能静止 C．一定运动 答案 A

解析 平均速度为0，则位移为0，但瞬时速度不一定为零．

5．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度( ) A．越来越慢 C．先慢后快 答案 A

33V解析 ∵气球半径与体积的关系式为r(V)＝，

4π

B．越来越快 D．先快后慢 B．一定静止 D．以上都不对

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