新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题

新人教版八年级(上)数学第十五章分式

知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】 1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:bcb?ca?a?a?a?0?

2.异分母加减法则:

ba?dc?bcac?daac?bc?daac?a?0,c?0?; 3.分式的乘法与除法:ba?dc?bdac,ba?cbdbdd?a?c?ac

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a

m

●

an =am+n; am÷ an =am－n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)= am

bn

, (am

)

n

m

= a

mn

7.负指数幂: a

-p

=

1ap a0

=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

1【例1】下列代数式中：x?,12x?y,a?bx2?y2x?ya?b,x?y,x?y，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x有何值时，下列分式有意义

（1）

x?4x?4 （2）3x26?x1x2?2 （3）x2?1 （4）|x|?3 （5）x?1

x题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0. （1）x?1x|?23x?3

（2）

|x2?4 （3）

x2?2x?x2?5x?6

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x为何值时，分式

48?x为正； （2）当x为何值时，分式

5?x3?(x?1)2为负；

（3）当x为何值时，分式

x?2

x?3

为非负数. 练习：

1．当x取何值时，下列分式有意义：

（1）

16|x|?3

（2）

3?x1(x?1)2?1 （3）

1?1x2．当x为何值时，下列分式的值为零： （1）5?|x?1|x?4

（2）

25?x2x2?6x?5

3．解下列不等式

（1）|x|?2x?1?0

（2）

x?5x2?2x?3?0

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：AA?MA?B?B?M?MB?M 2．分式的变号法则：

?a?aaa?b???b???b?b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

1x?2（1）23y （2）

0.2a?0.03b1 x?1y0.04a?b

34题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）?x?y?x?y （2）??a?aa?b （3）??b

题型三：化简求值题

【例3】已知：112x?3xy?2x?y?5，求yx?2xy?y的值.

提示：整体代入，①x?y?3xy，②转化出1x?1y. 【例4】已知：x?1x?2，求x2?1x2的值. 【例5】若|x?y?1|?(2x?3)2?0，求

14x?2y的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

0.03x?0.2y0.4a?30.08x?0.5y

（2）5b1 4a?110b2．已知：x?1x?3，求x2x4?x2?1的值.

3．已知：

1a?12a?3ab?2bb?3，求

b?ab?a的值. 4．若a2?2a?b2?6b?10?0，求2a?b3a?5b的值.

5．如果1?x?2，试化简

|x?2|x?1|x|2?x?|x?1|?x.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）

cba?2ab,3a2c,?5b2c； （2）aa?b,b2b?2a；

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