定积分在生活中的应用

目录

1.定积分的概述................................................................................................................................ 2

1.1定积分的定义 ..................................................................................................................... 2 1.2定积分的性质 ..................................................................................................................... 3 1.3定理................................................................................................................................... 10 1.4方法................................................................................................................................... 10 2.定积分的应用.............................................................................................................................. 11

2.1计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 ............................................... 11 2.2定积分在物理中的应用 ................................................................................................... 15 6小结 ............................................................................................................................................. 20 致谢 ................................................................................................................................................ 20 英文翻译部分................................................................................................................................. 21

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定积分在生活中的应用

姓名： 学号：201004110110 指导老师：胡业刚

摘要:定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。 关键词：微元法; 定积分; 数列极限

前言::定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行

星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。

1.定积分的概述

1.1定积分的定义

设函数f?x?在区间?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干个分点

a?x0?x1???xn?1?xn?b， 把区间?a,b?分成n个小区间：

有?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?,且

各个小区间的长度依次为?x1?x1?x0，?x2?x2?x1，?，?xn?xn?xn?1。在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i，作函数f??i?与小区间长度?xi的乘积f??i??xi（i?1,2,?,n），并作出和S??f??i??xi。记P?max??x1,?x2,?,?xn?，如果

i?1n不论对?a,b?怎样分法，也不论在小区间?xi?1,xi?上点?i怎样取法，只要当P?0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f?x?在区间?a,b?上

2

的定积分（简称积分），记作?f?x?dx，即

ab?f?x?dx=I=lim?f????xaP?0ii?1bni公式（1）

[1]

其中f?x?叫做被积函数，f?x?dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，??a,b?叫做积分区间。

1.2定积分的性质

性质1 若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且

?bbakf?x?dx?k?af?x?dx.1

公式（2） 证 当k=0时结纶显然成立.

当k?0时,由于 nn

?kf??i??xi?kJ?k.i?1?f??i??xi?J,

i?1其中J=

?baf???d?,因此当f在[a,b]上可积时,由定义,??0存在,??当0T,?时? ,n

?f??i??xi?J??i?1k,

从而 ?nkf??i??xi?kJ??.

i?1即kf在［a,b］上可积，且

?bakf?x?dx?kJ?k?baf?x?dx.

性质２ 若f﹑g都在［a,b］可积，则f?g在［a,b］上也可积，且

?ba??f?x??g?x??b?dx??af?x?dx???b1

ag?x?dx. 公式（3）

证明与性质１类同。

注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为

任给

3

??f?a?b?x????g???x?d?x?ba??fb?x??d?xa?, gxdx其中?﹑?为常数。

注2 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.

在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]

上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积.

性质３ 若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积。 证 由f、g都在［a,b］上可积，从而都有界，设

Ａ＝

supf?x?, Ｂ?supg?x?,

???a,b????a,b?且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。

任给??0,由f、g可积，必分别存在分割T'、T\，使得

??if?xi?T'?2B,

?T\?ig?xi??2A.

令T?T'?T\（表示把T?、T??的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于[a,b]上T所属的每一个?i，有

?f.g? ?supf????g?????f?????g?????

??,??????i??,?????isup??g??'??f?????f??????f??????g?????g???????

fg ?B?i?A?i.

利用§3习题第1题，可知

??Tf.g??i?B??if??i?A??ig??i

TA ?B??T'fi??i?A??ig??i

T?? ?B?这就证得f·g在[a,b]上可积.

注 在一般情形下

?2B?A??2A??,

?af???g???dx??af???dx??ag???dx.

g在[a,b]上可积. f4

bbb思考：有没有相除后可积的性质？

若f﹑g都在［a,b］上可积，|f(x)|?m>0,x?[a,b],则

事实上，由条件可证上可积.

1g1在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知??g在[a,b]fff性质4 f在[a,b]上可积的充要条件是：任给c?[a,b]，在[a,c]与[c,b ]上都可积。此时又有等式

cb1

公式（4） fxdx?fxdx?fxdx???????a?a?cb 证 [充分性] 由于f在[a,c]与[c,b]上都可积，故任给??0,分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T'与T\，使得

?? ?'??'?,?\??\??ii?ii.

T'2T\2现令T?T'?T\,它是[a,b]的一个分割,且有

??????????????????????.

iiiiiiTT'T\由此证得f在[a,b]上可积.

[必要性] 已知f在[a,b]上可积,故任给??0,存在对[a,b]的某分割T,使得

????Ti??.在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割T?.由§3习题第一题,又有

???????????i?iiT?Ti??.

分割T在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为T'和T\,则有

??'??'?????ii?iT'T?ii?iT\T??i??,

?i??\??\????????

这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积.

在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,b]的分割,分别记为

T'与T??.由于

?f???????f??'???'??f?????????,

iiiiiiTT'T??'因此当T?0,同时有T?0,T\?0时,对上式取极限,就得到(3)式成立.

??5

注 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性. 当f?x??0时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的 可加性.如图1所示,曲边梯形AabB的面积等于 曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和. 按定积分的定义,记号

图1

?af?x?dx只有当a＜b时才

b有意义,而当a=b或 a＞b时本来是没有意义的.但为了 运用上的方便,对它作如下规定: 规定1 当a=b时，令

?aaf(x)dx?0;

b 规定2 当a＞b时，令

?af(x)dx???f(x)dx.

ba 有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当 a＜b＜c时，只要f在[a，c]上可积，则有

?cabbcc?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx ???bc??a??b =

?baf(x)dx.

性质5 设f为[a，b]上的可积函数。若f(x)?0,x??a,b?,则

?ba f(x)dx?0. 1 公式（5）

证 由于在[a，b]上f????0，因此f的任一积分和都为非负。由f在[a，b]上可积，则有

?baf(x)dx?limT?0i?1?f(?)?xini?0.

推论（积分不等式性）若f与g为[a，b]上的两个可积函数，且f(x)?g(x),x?[a，b]，则有

?ba f(x)dx??g(x)dx. 1 公式（6）

ab 证 令F(x)?g(x)?f(x)?0,x?[a，b]，由性质2知道F在[a，b]上可积，且由性质5推得

0?不等式（5）得证.

性质6 若f在[a，b]上可积，则f在[a，b]上也可积，，且

?baF(x)dx??g(x)dx??f(x)dx,

aabb6

?baf(x)dx??f(x)dx.1 公式（7）

ab证 由于f在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在某分割T，使得对值不等式

f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??),可得知?i

f??Tfi?xi??.由绝

??if,于是有

??Tfi?xi???if?xi??.

T从而证得f在[a,b]可积。

再由不等式?f?x??f?x??f?x?,应用性质5（推论），即证得公式（7）成立。 注 这个性质的逆命题一般不成立，例如 f(x???1,x为有理数,??1,x为无理数

在[0，1]上不可积（类似于狄利克雷函数）；但f(x)?1,它在[0，1]上可积。 例1 求

?2?2f(x)dx,其中

?2x?1,?2?x?0,f(x)???x ?e,0?x?2.

解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即

?2?2f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?20020??(2x?1)dx??e?xdx?202 ?(x2?x)0?2?(?e?x)2 0??2?e?2?1??1?e?2注 上述解法中取

?0?2f(x)dx??(2x?1)dx,其中被积函数在x=0处的值已由原来的

?20f(0)?e?xx?0?1改为(2x?1)x?0??1,由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[-2，0]上的可积性和定积分的值。

例2 证明：若若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积在[a,b]上连续，且f(x)?0,?baf(x)dx?0,则f(x)?0,x??a,b?.

证 用反证法。假如有某x0∈[a,b]使f?x0??0,则由连续函数的局部保号性，存在

7

?0的某邻域??0??,?0??f?x??f??0?2b?，使在其中???0?a或x0?b时则为右邻域或左邻域?0.由性质4和性质5推知

?af???dx??a?0???0??bf???dx??f???dx??f???dx

?0???0?? ?0?x0??f??0???0??2dx?0?f??0???0,

这与假设

?af???dx?0相矛盾。所以f?x??0,x??a,b?. 。

b注 从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点x0处连续，且

bf?x0??0,则必有?f?x?dx?0.

a定理1 (积分第一中值定理) 若f在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得

?a,

b（8） f?x?dx?f????b?a?. [2] 公式

证 由于f在[a,b]上连续，因此存在最大值M和最小值m.由

m?f?x??M,x?[a,b]使用积分不等式性质可以得到

bm?b?a???f?x?dx?M?b?a?,或者

ab1m?f?x?dx?M.

b?a?a再由连续函数的介值性，至少存在一点??[a,b],使得 f(?)?1bf(x)dx, ?ab?a这就证得公式（8）成立。

积分第一中值定理的几何意义：如图2所示，若非负数f在[a,b]上是连续的，则y=f(?)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以（2）所示的f???为高，[a,b]为底的矩形面积。

图2

8

而

b1f?x?dx则可理解为f?x?在区间[a,b]上所有函数值的平均值。通常这是有限个?b?aa数的算术平均值的推广。

注 把定理中f在[a,b]上连续，减弱为f在[a,b]上可积.定理结论为：

m?inff(x), M?supf(x),则存在?(m???M), 使若f在[a,b]上可积，

x?[a,b]x?[a,b]?baf(x)dx??(b?a).

事实上，由m?f(x)?M，x?[a,b]，有 m?b?a???af?x?dx?M?b?a?, 从而有

bm?b?af?x?dxb?ab?M,

令??

?af?x?dxb?a，则

m???M, 且

?baf(x)dx??(b?a).

性质7中的f(?)与这里的?都可看作函数f?x?在区间[a,b]上所有函数值的平均值。 例3 试求f?x?sinx在[0，?]上的平均值。 解 所求平均值为 f(?)???1?0sinxdx??1?cosx?0?2?.

定理2 （ 推广的积分第一中值定理）

若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上是不变号的，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. [3] 公式（9）

ab（当g(x)=1时，即为定理9.7） 证 设g(x)≥0，x∈[a,b]，则有

mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x),x??a,b?,

其中M、m分别为f在[a,b]上的最大值、最小值。由定积分的不等式性质，能得到

m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx.

aaabbb若

?bag(x)dx?0,则由上式可知?f(x)g(x)dx?0,从而对任何ξ∈[a,b]，公式（9）式都

ab成立。

9

若

?ba?g(x)dx?0,则得到 m??∈[a,b]，使得f(?)?baf(x)g(x)dx??b?M.由连续函数的介值性可知，一定至少

ag(x)dxb有一点ξ

af(x)g(x)dxba. 这就证得公式（9）成立。

g(x)dx1.3定理

定理1 微积分基本定理 如果函数

xf?x?在区间

?a,b?上连续,则积分上限函数??x?=?af?t?dt在

?a,b?上可导,并且它的导数是

?'?x?d?f?t?dtax=

dxf?x?=

f?x??a?x?b? 公式（10）

x[4]

定理 2 原函数存在定理 如果函数

一个原函数.

定理3

如果函数则

a=称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

a,b???x??af?t?dtf?x??a,b??在区间上连续,则函数=就是在上的

F?x?是连续函数

bf?x?在区间

?a,b?上的一个原函数,

公式（11）

[5]

?f?x?dxF?b??F?a?1.4方法

定积分的换元法

假设函数(1)

f?x?在区间

?a,b?上连续,函数x???t?满足条件

?????a?????b,

;

(2)

??t?在

??,??(或??,??)上具有连续导数,且其值域R???a,b?,则有

10

?baf?x?dx=???f????t????'?t?dt 公式（12）

[6]

上面的公式叫做定积分的换元公式.

定积分的分部积分法

根据不定积分的分部积分法,有

?u?x?v'?x?dx? ???u?x?v'?x?dx??baba

ba

???u?x?v?x???u'?x?v?x?dx??bau?x?v?x??????

简写为

??abv?x?u'?x?dx

uv'dx?uv???? =

bbbaaavu'dx

或

?baudv=

?uv???vdu

ba[7]

公式（13）

2.定积分的应用

2.1计算平面图形面积的应用

利用定积分计算平面图形的面积

设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x)?f(x)，x?[a,b]．求曲线y?f(x)，（如图3） y?g(x)及直线x?a,x?b所围成的平面图形的面积S．解法步骤：

第一步：在区间[a,b]上任取一小区间[x,x?dx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以[f(x)?g(x)]为高，以dx为底的矩形面积近似，于是

dS?[f(x)?g(x)]dx．

第二步：在区间[a,b]上将dS无限求和，

11

得到S??[f(x)?g(x)]dx.

ab上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线x??(y)、x??(y)其中?(y)??(y)与直线y?c、y?d所围成的平面图形（图3）的面积为：

S??[?(y)??(y)]dy

cd图3

例1 求由曲线y?sinx，y?cosx及两直线x?0，x??所围成的图形的面积A．

图4

解 作出图形，如下图所示，在[0,?]上，曲线y?sinx与y?cosx的交点为

图5

?2(,)；42

取x为积分变量，积分区间为[0,?]．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；在区间[0,?]上的面积A1和区间[,?]上的面积A2分别为 44??A1??4(cosx?sinx)dx，

0A2???(sinx?cosx)dx，

4?所以，所求图形的面积为

?40A?A1?A2=?(cosx?sinx)dx+??(sinx?cosx)dx

4?

??sinx?cosx?04???cosx?sinx????22．

4?x2y2例2 求椭圆2?2?1的面积.

ab12

解 椭圆是关于x轴,y轴都对称,所以所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即

S?4S1?4?ydx

0a 利用椭圆的参数方程

?x?acost ??y?bsint则应用定积分的换元法,dx??asintdt,且当x?0时,t?S?4??bsint(?acost)dt20?2,x?a时,t?0,于是

??4ab?2sin2tdt0??4ab?201?cos2tdt2

?t1??4ab??sin2t?2??ab?24?0旋转体体积的应用

?2.2旋转体体积的应用 求旋转体体积

求一个立体图形的体积，我们也可以用类似求平面图形面积的思想，例如一个木块的体积，我们可以将此木块来作分割T:a?x0?x1????xn?b划分成很多基本的小块，每一块的厚度可以为?xi(i?1,2,?,n)，假设每一个基本的小块横切面积为A(xi)(i?1,2,?,n)，A(x)为?a,b?上连续函数，那么此小块的体积大约是A(xi)?xi，将所有的小块都加起来，再令T?0，我们就可以得到其体积：

V?limT?0?A(xi)?xi??A(x)dx 6

i?1anb

13

例2 求由曲线xy?4, 直线 x?1,x?4,y?0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.

解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为

4dV=πy2dx=π()2dx,

xy 然后体积 xy=4 V=π=16π??414()2dx x1dx x24141O 1 x x+dx 4 图6

x 1??16πx=12π.

2.3曲线弧长上的应用 求曲线的弧长

设曲线y?f(x)在?a,b?上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x为积分变量，在?a,b?上任取小区间?x,x?dx?，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即lMN?ds.得弧长微元为：

ds?MT?(dx)2?(dy)2?1?(y?)2dx,再对其积分，

则曲线的弧长为：s??ds??abba1?(y?)2dx??1?[f?(x)]2dx

ab?x??(t)参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线?上t???,??一段的弧长.这时

?y??(t)弧长微元为：

ds??dx?2??dy?2?dx??dy???????dt即ds???2?t????2?t?dt ?dt??dt?????22则曲线的弧长为：s??ds??[??(t)]2?[??(t)]2dt4

14

2例3 (1)求曲线 y?x2上从0到3一段

33弧的长度 解 由公式 s=?ba图7

1?y?2dx （ a?b）知,弧长为

30s=?

301?y?dx=?221?xdx=(1?x)23330=

16214?=. 333(2)求摆线

?x?a(t?sint), ?y?a(1?cost)?在0?t?2?上的一段弧的长度（a?0）．

解 取t为积分变量，积分区间为[0,2?]．由摆线的参数方程，得

x??a(1?cost)，y??asint， x?2?y?2?a2(1?cost)2?a2sin2t

t?a2(1?cost)?2a|sin|．

22?tt2a|sin|dt??2asindt

0222?于是，由公式（16-13），在0?t?2?上的一段弧的长度为

s??2?0

t???4a??cos??8a

2?0?3定积分在物理中的应用

定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展。

3.1求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t)

15

( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 s??v(t)dt[8]

ab

例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：

?3t,0?t?10,?v(t)??30,10?t?40

??1.5t?90,40?t?60.?图8

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

s??3tdt?[?30dt??(?1.5t?90)dt

010401040603324060?t2|10?30t|?(?t?90t)|0104024

?150?900?300=1350(m)

答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

3.2定积分在变力作功的应用

一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs [9]

探究

如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

16

W??F(x)dx

ab

图9

例2 设40N的力使一弹簧从原长10cm拉长到15cm．现要把弹簧由15cm拉长到25cm，需作多少功？

解 以弹簧所在直线为x轴，原点O为弹簧不受力时一端的位置．根据胡克定律，当把弹簧拉长xm时，所需的力为

F(x)?kx，

（1）

其中是k是常数，为弹性系数

根据题意得，当把弹簧由原长10cm拉长到15cm时，拉伸了0.05m，把，得 x?0.05F(0.05)?40代入式（1）

所以

40?0.05k，k?800，

F(x)?800x．

因此当把弹簧由15cm拉长到25cm，即x从x?0.05变到x?0.15时，所需作的功为

W??0.150.052?800xdx??400x??0.150.05?8．

3.3定积分在在电学中的应用

例3、有一均匀带电圆盘，其半径为R，电荷面密度为?（如下图），求圆盘轴线

上与盘心O相距为x的任一给定点P处的场强？

分析：圆盘带电均匀分布，可以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，如果知道各细圆环在点P处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点P的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点P处的总场强。

17

解：从圆盘上任取一半径为r，宽度为dr的细圆环，因为圆盘的面密度??dq，dS图10

则细圆环所带的电荷量为dq??2?rdr.那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为q)在P点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元dl，电荷线密度??

dq?1qdl?dq在P点处所激发的场强为：dE?r?d 334??0r4??02?rd1图11

dqqq，则dl上所带的电荷量为：dq??dl

dl2?r2?r?式中d是从dl指向P点的矢量，其大小d?x2?r2，由于圆环上各电荷元在P点激发的场强dE的方向各不相同，为此把dE分解为平行于X轴线的分量dE//和垂直于轴线的分量dE?。根据对称性，各电荷元的场强的分矢量dE?相互抵消。所以P点的合场强是平行于X轴的那些分矢量dE//之和，即

?E??dEcos?i??1qcos?d?1q1x2?r?dli?dli 2?2?04??02?rdd4??02?rdd18

??qx?qxi?i34??0d34??0(x2?r2)2

从而，带电细圆环在P点激发的场强为：

dE?1xdq4??0(x2?r2)32?i?1x?2?r4??0(x2?r2)32?dri

那么，带电圆盘E就是这些带电细小圆环所激发的场强的矢量和，即

????2?xRr??1?1??i E??dE?dri?2232?0224??02?0?(x?r)1?Rx?????2?0?x1??R2?x2????i?

?场强E的方向与圆盘相垂直，其指向则视?的正负而定，??0，E的方向与i同

?i向；??0，E与反向。

4定积分在数学应用的现状

：

探索定积分在几何中的应用，使定积分应用于实际问题，很多问题都可以迎刃而解。本文参考文献包括高等教育出版社出版的《数学分析》上下册，和《高等数学》上下册。但是这两种教材有不尽如人意的地方。例如,在平面图形的定积分区域计算方面,不是直接给出公式,而仅仅是通过例题给出示范，而且给出的公式与其它公式不容易区分,教材中没有明确的指出这些公式之间之间有何不同,这些公式怎么用以及为什么要这么用。而我所参考的文献《高等数学同步精讲上册》就填补了这两本教材不足的地方，方便了我以后的学习和研究。

5主要研究成果

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定积分与微元法的应用可以解决许多几何问题。在现实生活中随处可见，不少几何问题几何问题是复杂的，难以解决，我们使用的整体方法：如解决一些不规则形状的区域。利用定积分微元法可以直观，轻松解决这个问题。参考文献《高

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等数学同步精讲上册》和我所学的数学分析及高等数学教材基本上给出了定积分在几何应用中的所有一些情况及解法。

6存在问题

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目前，一些材料“定积分的应用”用于在几何和物理的主要内容。在应用定积分的几何形状，也出现了一个问题，那就是在教学和学习中教与学两者都容易出现故障。选择做出时候经常会出现一定的积分在平面图形的面积求等应用中的错误。在解决实际问题所以要具体问题具体分析，不能应用于直接的公式，这将是一个平滑的解决问题的方法。

7小结

从上面的讨论可以看出，在很宽范围的定积分的应用，将集成解决其他学科的一些问题，非常简单和方便，可以在学习看，以为益处。因此，我们必须学会横向学习，是众多学科，如果我们能够找到这些链接，并研究和分析，总结和应用程序之间的链接的存在，它不仅能加深我们对知识的理解，强化旧知识，我们可以扩大应用知识的范围，促使我们积极思考，无论从深度和广度，这是一个质的飞跃。

致谢

近两个月终于完成本文，期间遇到许多困难和障碍，在论文写作过程中，感谢学生和老师的帮助，特别感谢我的论文指导老师 - 胡业刚老师，他无私地给了我指导和帮助，帮助我修改和改进。 此外，我在学校图书馆查阅资料时，图书馆的老师也给了我很多的支持和帮助。在这里，向帮助和指导我所有的老师致以最诚挚的问候！

本文谢谢涉及到的每一位学者。本文所引用的文献中，如果没有你们的学

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术研究对我的帮助和和启发，我将很难完成本文的写作。我感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给了我很多的材料，在我写作过程中提供的帮助。

由于我有限的学术水平，不足之处，期待老师和校友的批评和指正！

英文翻译部分

The Definite Integral in Our Life of Application

Name:Fan Kaili Student Numeber:201004110110

Advisor:Hu Yegang

Abstract：.This paper briefly discusses the basic application of definite integral in the life. Mathematics includes the definite integral calculation of plane curve arc length, the area of the plane figure and the physical application of the volume of a 3 d graphics. Definite integral as an important part of the calculus, has been widely used in life. The calculation and application development and preliminary application of Newton's calculus not only greatly promote the development of the mathematical calculus, but also advance the development of astronomy, physics, chemistry and other subjects. With the continuous development of engineering, economics and cognitive science, calculus will guide mankind to the heaven of cognition.

Key words: Micro element ；method definite integral； sequence limit

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参考文献：

[1] 《数学分析》上册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.07 [2] 《数学分析》下册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.11 [3] 《常微分方程》 （第三版）王高雄等编 .高等教育出版社，2006.07 [4] 华东师范大学．《数学分析上册》[M]．第三版 高等教育出版社 [5] 华东师范大学．《数学分析下册》[M]．第三版 高等教育出版社． [6] 同济大学． 《高等数学上册》[M]．第五版 高等教育出版社． [7] 同济大学． 《高等数学下册》[M]．第五版 高等教育出版社

[8] 《普通物理学》第一册（第五版）江之水等编 .高等教育出版社，2007.12 [9] 《普通物理学》第二册（第五版）江之水等编 .高等教育出版社，2008.02

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