用“动态圆”处理带电粒子在磁场中的运动问题（教师版）

用“动态圆”处理带电粒子在磁场中的运动问题

例1、如图所示，A、B为水平放置的无限长平行板，板间距离为d，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度大小不限的电子，若垂直纸面向里方向加一匀强磁场，磁场感应强度为B，已知电子质量为m，电量为q，不计电子重力及电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，

求电子打在A、B两板上的范围？

例2、如图所示，等腰直角三角形OPQ，直角边OP、OQ长度均为L，直角平面内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在PQ边下方放置一带电粒子发射装置，它沿垂直PQ边的方向发射出一束具有相同质量、电荷量和速度v的带正电粒子，已知

q2v

L带电粒子的比荷为：＝.

mBL(1)R?(1)粒子在磁场中运动的半径；

22L(2)粒子从OQ边射出的区域长度． (2)d?2

例3、如图所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m，电量为e），从坐标原点O不断的以

相同大小的速度沿不同方向射入I象限，现加一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向+x方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积？

22mv01??1???22?2???R?R????1?22.2?4??2?Be Smin

课后巩固习题

1.如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动时间较长的带电粒子（ ）

A.速率一定越小 B.速率一定越大

C.在磁场中通过的路程越长 D.在磁场中的周期一定越大

解析：粒子进入磁场后受到洛伦兹力的作用在磁场中做匀速圆周运动，因粒子的质量和

2πm

电荷量都相同，则它们运动的周期T＝相等，D错误；粒子正对圆心O射入磁场，由对

qB

O

称性可知穿出磁场时速度方向必沿半径方向背离圆心。设磁场区域半径为r，粒子做圆周运

mv0r

动半径为R，则有R＝，在磁场中转过的圆心角为2θ，由图可知：tanθ＝，经历的时间qBR

2θ

t＝T，因此，运动时间越长的粒子，转过的圆心角2θ越大。θ越大，圆周运动的半径越小，2π速率越小。至于通过的路程s，因为s＝2θR或者s＝vt，故不能判定，A正确。

答案：A

2.如图所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABCD，其中AC边与对角线BC垂直，一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是( )

A．入射速度越大的电子，其运动时间越长 B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长 C．从AB边出射的电子的运动时间都相等 D．从AC边出射的电子的运动时间都相等

解析：电子以不同的速度沿BC从B点射入磁场，若电子以AB边射出，画出其运动轨迹如图所示，由几何关系可知在AB边射出的粒子轨迹所对的圆心角相等，在磁场中的运动时间相等，与速度无关，C对，A错；从AC边射出的电子轨迹所对圆心角不相等，且入射速度越大，其运动轨迹越短，在磁场中的运动时间不相等，B、D错。

答案：C

3.如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域.不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中mvR?.哪个图是正确的？（ ）

Bq2R M 2R O R N M 2R R O 2R N M 2R 2R B M O

N

2R N M 2R 2R R N O O A

BC D

答案：A 解析:由于带电粒子从O点以相同速率射入纸面内的各个方向,射入磁场的带电粒子在磁场内做匀速圆周运动,其运动半径是相等的.沿ON方向(临界方向)射入的粒子,恰能在磁场中做完整的圆周运动,则过O点垂直MN右侧恰为一临界半圆;若将速度方向沿ON方向逆时针偏转,则在过O点垂直MN左侧,其运动轨迹上各个点到O点的最远距离,恰好是以O为圆心,以2R为半径的

圆弧.A正确.

4．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( )

A．T/8 B．T/6 C．T/4 D．T/3

解析：选BCD 因为所有粒子的初速度大小相同，它们在匀

mv

强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝也相同；如右图所示，

Bq当粒子沿SA方向水平向右进入磁场，然后沿图中实线运动，最后交OC于M时，在磁场中的运动时间最长为T/2，设OS＝l，由几何关系可得，轨道半径r＝

3

l；当粒子在磁场中运动后交OC于2

N点，而SN⊥OC时，粒子的运动时间最小，根据几何关系可知，其运动时间为T/6，所以这些粒子在磁场中的运动时间介于T/6～T/2之间。

5、如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中B0＝mv01L

，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆)( ) qL42

解析：选AB 由于带电粒子流的速度均相同，则当飞入A、C这选项中的磁场时，它们的轨迹对应的半径均相同． B、D选项因为磁场是2B0，它的半径是A、C半径的一半．然而当粒子射入C、D两选项时，均不可能汇聚于同一点．所以只有A、B选项，能汇聚于一点． 6、如图所示，在正方形ABCD的适当区域中有匀强磁场。现有一放射源放置于正方形ABCD顶点A处，可由A点向正方形区域内的各个方向放射质量为m、速度为

、带电量为e的电子。若沿AD方向发射的电子经磁场偏

转后恰好可由C点射出。要使放射源由A射入的所有电子穿出匀强磁场时，都只能垂直于BC向右射出，试求匀强磁场区域分布的最小面积S。（粒子重力忽略不计）

Smin

212????m2v0?12?2???R?R????1?22.2?4??2?Be 7、如图所示，一带电质点，质量为，电量为，以平行于轴的速度v从轴上的(0,a)

点射入图中所示第一象限区域,为了使该质点能从x轴上的(b,0)点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计） 解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动,

v2mv qvB＝m 得R＝

RqB根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的

1圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的4速度相切。过a点作平行于x轴的直线,过b点作平行于y轴的

直线,则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN,M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。.

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁 场区域的最小半径为：

r＝

11MN＝22R?R2＝

22mv R＝?22qB所求磁场区域如图中实线圆所示。

8、如图所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度

从A点沿等边三角形ABC的AB方

向运动，射入磁感应强度为B、方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中。要使该粒子飞出磁场后沿BC运动，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）

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