第20讲 正交变换与内积

第20讲 正交变换与内积

1. 设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换?A保持内积不变?A

保持向量长度不变?A将标准正交基变到标准正交基?A在标准正交基的矩阵为正交阵。

2. 正交变换A保持向量夹角不变

(А???,А???)??,?????,??

?А???,А?????arccos? arccos|?||?|?А?????А????3. 设A是Euclid空间V的变换，?????V, ?A???,B????=??,??,则A是V的正

交变换

Proof:只须证明A是V的线性变换，?????V，有 A??????-A????-A???,A?? -A??-?A??????=A?????,A??????A???,A??????A???,A?????

?????? ??A?????,A??????A???,A??????A???,A????

?A?????,A????A???,A????A???,A???

=????,???????,???????,?????????,?????,?????,?? ?????,?????,?????,???0 则A?????-A???-A????0

???R, ???V,有A?k???kA???,A?k??-kA??? ?A?k??,A?k???kA??? ??k?,k???k????????????,?Ak?????k??,A?Ak?????2?k A??,??A????,k?,???2?k?,??? 0???kk? 则A?k???kA????0，则A是V的线性变换，从而A是正交变换。 注：将上述的??，??V, A???,A??????,??改成???V，

???A???,A???????,??，则A不一定是正交变换.

4. 设A是Euclid空间v的线性变换，如果???V，|A???|=|?|，则A不是V

的正交变换。

Solution：任取??V，??0，定义V中的变换A为：

A????,A??????? ?????,A???

{ 则A保持V中向量长度不变，但

取??V，? ??,-??O,????，则A???,而?+?=??

有A?????=?+?，而A?+A???????????A????? 故A不是V的线性变换。

5.设A是Euclid空间v的一个满射变换，???V，都有|A???|=|?|

则A是V的线性变换，从而A是正交变换。

proof:读者自证。

6.设A是n维Euclid空间Rn变换，如果A保持向量的距离不变，且将零向量变成零

向量，则A是正交变换。

Proof:因A保持向量间的距离不变，且将零向量变成零向量，则对n维Euclid空间R中任意两个向量?，?，|A??A?|=|???|，即?A??A?，A??A??

n =????，????，

于是?A?，A???2?A?，A??+?A?，A??=??，???2??,?????,??. 即?A?，A??=??,??.

下证A是R的线性变换，设?1，?2，...,?n是Rn是标准正交基，由于A不改变

i=j向量内积，则?A?i，A?j?=??i，?j?=｛10，，i?j

n于是A?1，A?2，...,A?n是Rn的标准正交基，设??，?，??Rn，?k1，k2?R.

则

?A?k?+k??，A??=?k?+k?，??=k??，??+k??+??

121212 =k1?A?，A??+k2?A?，A?? =?k1A?+k2A?，A??.

取?=A?k1?+k2??-k1A?-k2A?，则??，A??=0

设?=b1A?1+b2A?2+...+bnA?n,分别取?=?i，i=1，2，...,n,则有

，?i?n.即?=0.于是A?k1?，k2?? ??，A??=0.由此可得bi=01=k1A?+k2A?，即A是线性变换，故A是正交变换.

注，条件“A将零向量变成零向量”不能取掉，否则结论不成立. 7.设A是n维Euclid空间，向量?1,?2,?1,?2?V满足

|?1|=|?1|，|?2|=|?2|，=,则存在正交变换使得 A?1=?1，A?2=?2.

Proof.读者自己证明.

8. 设A是n维Euclid空间V的线性变换，如果A满足下列三条件中的任意两

个，则它必满足第三个：（i）A是正交变换.(ii) A是对称变换.（iii）A2=?是单位变换.

Proof.(i),(ii) ? (iii). ???V,则?A2???,A2????

222 = A?，A??2A?,????,??.

????又A是正交变换，则?A2?，A2??= ?A?，A??=??，??. 又A是对称变换，则?A2?，??=?A?，A??=??，??.

22222则A???,A????0,即A???=0或A?=?，则A=?.

?? (ii),(iii)?(i), ??,??V,由A是对称变换，则?A?，??=??，A??

又A满足A2=?，则A2?=?，从而?A?，A??=??，A2??=??，??，故A是正交变换

(i),(iii)?(ii)，??，??V,又A是正交变换?A?，A??=??，??，又A满足A2=?，则A2?=?，从而?A?，??=?A?，A2??=??，A??，故A是对称变换.

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