高中数学必修四 第3章 三角恒等变换 范永凯精品习题

高中数学必修四 第3章 三角恒等变换

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（题型注释）

3，则tan2?的值为( ) 52423244A. B.? C. D.?

75771．已知?是第二象限角，且sin(???)??【答案】D

33?sin(???)??,?sin??,??5532?(?)34??24. ?tan???,?tan2??3471?(?)24【解析】是第二象限角，

2?1?2．已知tan(α+β)=5,tan(β-4)=4，则tan(α+4)等于

11333A．18 B．22 C．22 D．6 【答案】C 【解析】tan?(??4?)tan?(???)ta?n?()?4 ta?n[?(???)?(?)]?41?tan(???)tan(??)4?21?3?54?. 21221??543．sin33??sin63??cos63??cos33?的值等于（ ） A．1133 B． C．? D．? 2222【答案】B 【解析】

试题分析：sin33??sin63??cos63??cos33??cos?63??33???cos30?o1.注意观2察式子的结构，选择合知的三角函数公式.

考点：两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值. 4．化简sin??3cos?的值为 ( )

1212A.0 B.- 【答案】B

2 C.2 D. 2 【解析】因为sin??3cos??2sin(???)??2sin???2，选B

12121234试卷第1页，总31页

5．若sin2??1??，且??(,)，则cos??sin?的值是（ ） 442A. 3333 B. C.? D.? 4242【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，由于sin2??1??，且??(,)，44213?(cos?-sin?)2=1-sin2?=1-=，因为角的三角函数的定义可知，cos?-sin?<0,

44故可知答案为?3

2，故选C.

考点：二倍角公式

点评：主要是考查了二倍角的公式的运用，属于基础题。 6．已知tan(???555A．1B．?C．D．?1 77 【答案】D

【解析】 试

)?2，tan(??4?)??3，则tan(???)?（ ） 5题分析：

2???3??????4???tan??????????tan??????tan??????1 ??????????551?2??3????????选D

考点：正切差角公式

7． sin15cos75?cos15sin105等于（ ）

????A. 0 B. 【答案】D

13 C. D. 1 22【解析】sin105??sin(180??75?)?sin75?所以sin15cos75?cos15sin105=

??????? sin15cos75?cos15sin75=sin(15?75)=sin90=1

????8．若f(cosx)?cos2x,则f(sin15?)等于 ( )

? A．3312 B．2 C．2 D． 2 ?1【答案】A

【解析】f(sin15?)f?(co?s7?5)c?os?(2?75)?3 ?co?s15.02试卷第2页，总31页

9．已知角α的终边经过点P（－4,3），则tan(??A、－3?)的值等于 41134 B、 C、 D、 7777【答案】B

33?1?tan?1? ，所以tan(???)??44?1?tan?7??10．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于（ ） 24【解析】解：tan??A．1?a1?a1?a1?a B． C．－ D．－ 2222【答案】D 【解析】

试题分析：根据cos????1?a?cos2??1?2sin2?a，得sin2?， 24442又5π<θ<6π，得1?a?5??3???，所以sin=－．故选D． 44242考点：二倍角的余弦公式． 11．已知cos(?1?tanx3的值为（ ） ?x)??，且x是第三象限角，则1?tanx45A. －3434 B. － C. D. 4343【答案】D

【解析】 试

题

分

析

：

因

为

c?3o?xs??(45，

两

边

，)所以

cos?4cosx-sin?332sinx??,即cosx-sinx??455平方得：

1-2cosxsinx?18732,即2sinxcosx=，所以(cosx+sinx)2?1+2sinxcosx=，25252542。 5因为x是第三象限角，所以cosx+sinx=-所以1?tanxcosx+sinx4==。

1?tanxcosx-sinx3考点：和差公式；同角三角函数关系式。

cosx-sinx、cosxsinx中的任意一个，应熟练掌握另两个式点评：若已知cosx+sinx、子的求法。常用的平方法。此为常见题型。 12．已知sin???(??????35?2)，则sin(???5?)的值为（ ） 2试卷第3页，总31页

A．?24 B．? 55C．?31 D． 55【答案】B

【解析】

试题分析：因为sin???(??????)，根据同角三角函数的基本关系式可得245?4cos???，根据诱导公式可得sin(???)?cos???. 52535?考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用，考查学生的运算求解能力.

点评：利用同角三角函数的基本关系式时要注意判断角的范围，进而确定角的函数值的符号.

??13．sin105cos105的值为（ ）

A．

1133 B. ? C. D. ? 4444111sin2100??sin300??，选B 224【答案】B

【解析】解：因为原式等于14．已知sin?+cos?=

1，?∈(0，?)，则tan?的值为 5434443A． ? B．? C．或? D．?或?

343334【答案】A

112，所以(sin??cos?)?， 525124?0， 所以1?2sin?cos??，所以2sin?cos???2525?49492所以??(,?)，所以1?2sin?cos??，即(sin??cos?)?，

225257434所以sin??cos??，故sin??,cos???，所以tan???。

5553215．若?ABC的内角A满足sin2A?，则sinA?cosA?（ ）

3【解析】因为sin?+cos?= A.551515 B.? C. D.? 3333【答案】Ａ

A?【解析】sin22?0?,siAn?3cAos??0,Asi?nA cos?1?sin2A?1?215?. 332216．已知tan??2，则sin??sin?cos??2cos??（ ）

试卷第4页，总31页

A．?4534 B． C．? D． 4534【答案】D

【解析】 试

2题

2分析：

sin2??sin?cos??2cos2?tan2??tan??24sin??sin?cos??2cos????2225sin??cos?tan??1，答案选D.

考点：同角三角函数的商数关系

17．已知A+B=45，则（1+tanA）（1+tanB）的值是 （ ） A．

?16

B． C．4 D．2

8【答案】D 【解析】 试题分析：

?1?tanA??1?tanB??1?tanAtanB?tanA?tanB?1?tanAtanB?tan?A?B?(1?tanAtanB)①，

又A+B=45，所以①式=2． 考点：1．两角和的正切公式； 18．已知2tan??sin??3，

???2???0，则

cos(???6的值是

)A．0 【答案】A 【解析】2sin（舍去）

2

3B．2

1C．1 D．2

1,cos???22??3cos?,即2cos2??3cos??2?0,解得cos?????2???0,????;则cos(??)?cos(?)?0故选A 362??若-19．cos2?sin(??)4???2,则sin??cos?的值为2 （ ）

- A、【答案】C 【解析】略

1177-2 B、2 C、 2 D、2 20．若3sin??cos??0,则1的值为（ ）

cos2??sin2?试卷第5页，总31页

A．1052 B． C． D．-2 333【答案】A 【解析】

试题分析：由3sin??cos??0得tan???221 321?11sin??cos?tan??1910 ?2????22cos??sin2?cos??2sin?cos?1?2tan?1?33考点：同角间三角函数基本公式

21．(1?tan210)(1?tan220)(1?tan230)(1?tan240) 的值是( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C

【解析】(1?tan210)(1?tan240)?2,(1?tan220)(1?tan230)?2，更一般的结论

0 ????45,(1?ta?n?)(1?ta?n)222．已知?为第二象限角，sin??3，则sin2??（ ）. 5A、?24121224 B、? C、 D、 25252525【答案】A 【解析】

试题分析：因为?为第二象限角，sin??34，所以cos???, 55所以sin2??2sin?cos??2??(?)??354524. 25考点：本小题考查同角三角函数的关系式和二倍角的正弦公式. 点评：三角函数中公式较多，学生应该准确掌握公式并能熟练应用.

7??,??(??,0)，则sin?cos?( ) 25221111A． B．? C． D．?

2555523．已知cos???【答案】D 【解析】

试题分析：因为cos??0所以?????,?????2??，故而

????????,??，2?24?sin?2?0,cos?2?0.由二倍角公式知cos??2cos2?2?1?1?2sin2?2??7，所以25cos?3?4?,sin??. 2525试卷第6页，总31页

考点：三角函数值的符号，二倍角公式.

24．设0?x?2?，且1?sin2x?sinx?cosx，则（ ） （A）0?x?? （B）??x?7??5??3? （C）?x? （D）?x? 44442【答案】C 【解析】略 25．cos(?+α)= —12，3π2<α<2?,sin(2?-α) 值为（ ） A.

32 B. 1332 C. ?2 D. —2 【答案】A

【解析】略 26．sin136?的值为 ( ) A.?12 B. 12 C. ?32 D. 32 【答案】B

【解析】略

27．函数f(x)?sinxsin(x??2)的最小正周期为( )

A．4? B．2? C．? D．?2 【答案】C. 【解析】

试题分析：f(x)?sinxcosx?12sin2x，故最小正周期T?2?2??，选C. 考点：1.倍角公式；2.函数y?Asin(?x??)的性质.

28．sin7?cos37??sin83?cos53?的值为（ ）

A．?12 B．12 C．332 D．?2 【答案】A

【解析】 试题分析：sin?7co?s?37?sin8??sin?7co?s?37?sin(7??37?)?sin(?30?)??sin30???12，故选择A．

考点：余角公式及两角差的正弦公式． 29．已知sin??cos??45，则sin2??（ ） A.?12991225 B.?25 C.25 D.25 【答案】B

试卷第7页，总31页

2?cos 7?【解析】

试题分析：将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2?的值． 416162sin??cos??,?（sin??cos?）?，?sin2??2sin?cos??cos2??1?sin2??， 525259?sin2???． 25考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系． 30．若cos???4，?是第三象限的角，则51?tan1?tan??2?（ ）

2A．?11 B． C． 2 D. -2

22【答案】D

2【解析】因为cos????2cos45?2?1??4，?是第三象限的角，5则

?10?310?cos???sin?或2102101?tan??2?ta?=-2n，选(D

?241?tan2?10?310?cos??sin?-，

210210)?31．若??42????，，则sin?= ( ) sin2??，??942??A.21222 B. C. D. 3333【答案】C

【解析】解：因为若??427????，，根据二倍角的余弦公sin2???cos2???，??9942??式可知sin?=22，选C 332．计算下列几个式子，①tan25??tan35??3tan25?tan35?,②2

?（sin35?cos25?+sin55?cos65?）, ③1?tan151?tan15tan?62? , ④ 1?tan?6，结果为3的是

（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解析】

试卷第8页，总31页

试题分析：①原式?tan25??35????1?tan25?tan35???3tan25?tan35??3；

1?tan15?tan45??tan15???3；④原②原式?2sin?35?25??3；③原式?1?tan15?1?tan45?tan15???33式?3? 121?3考点：三角函数基本公式

33．21?sin8?2?2cos8等于 （ ）

A.2sin4?4cos4【答案】D 【解析】因为

B.?2sin4?4cos4C.?2sin4D.4cos4?2sin4

21?sin8?2?2cos8?2(sin4?cos4)2?4cos24?2|sin4?cos4|?2|cos4| ?4cos4?2sin4选D

若cos(34．?2-?)=m(m?1),则sin(?-?)的值为63 （ ）

B.?mmC.2 2 D.m

A.?m 【答案】D 【解析】略 35．cos??1,??(0,?),则cos(??2?)等于（ ） 3A．?774242 B． C．? D． 9999【答案】D

【解析】

2试题分析：cos（??2?）=-（2cos?-1）=7 9.考点：三角函数诱导公式。 36．函数y=2sin2xcos2x是( )

??的奇函数 B.周期为的偶函数 22??C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数

44A.周期为【答案】A

试卷第9页，总31页

【解析】解：因为函数y=2sin2xcos2x=?2sin4x，是奇函数，周期为，故选A

2237．已知0?x??2,sixn?coxs??6，存在a,b,c(a,b,c?N*)，使得

(b??c)ta2nx?ataxn?(b??c)?0.则a?b?c等于（ ）

A．46 B．76 C．106 D．110

【答案】D 【

解

析

】

因

为

sx?ixn??6，

c，

则

o所s以

有

(sinx?cosx)?sinx?cosx?2sinxcosx?222?236sin2x?cos2x?2sinxcosx?2?0?x??。因为，所以cosx?0，所以两边同除222sinx?cosx36cosx2可得

tan2x?1?2tanx?2?tan2x?136，化简整理可得

(36??2)tan2x?72tanx?36??2?0。所以有b??c?36??2,a?72，则

a?72b,?36c?,，所以a?b?c?110，故选D

sin235??12=

38．化简A．sin20?11 B． - C． -1 D． 1 22【答案】B 【解析】略

39． 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－??,221A. 2)，则tan

???2的值是( )

C.B.－2

4 3 D.1或－2 2【答案】B

【解析】 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0,

又α、β∈(－???????,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0), 222222tan???tan??tan??4a442??,又tan(???)??, 又tan(α+β)=???31?tan?tan?1?(3a?1)31?tan22试卷第10页，总31页

???????3tan?2=0 解得tan???=－2. 整理得2tan2222??，π)，且3cos2α＝sin(－α)，则sin2α的值为( ) 24111717A． B．－ C． D．－ 1818181840．若α∈(【答案】D

????－2α)＝sin[2(－α)]＝2sin(－α)·cos(－α)， 2444???代入原式，得6sin(－α)cos(－α)＝sin(－α)，

444??1∵α∈(，π)，∴cos(－α)＝，

624?172?∴sin2α＝cos(－2α)＝2cos(－α)－1＝－．

1824【解析】cos2α＝sin(故选D．

41．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝( )．

A．1 B．－1 C.11 D．－ 22【答案】D

【解析】s in α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式两边分别平方相加得cos(α－β)＝－1. 242．已知tan???，则sin2?=（ ） A.35151588 B.? C.? D. 17171717【答案】B. 【解析】

32?(?)2sin?cos?2tan?5??15，故选B. 试题分析：sin2?=??sin2??cos2?tan2??1(?3)2?1175考点：三角恒等变形. 43．已知cos??23，则cos(??2?)的值为( )

?A．1155?3 B． 9 C． 9 D． 3 【答案】C

【解析】把所求式子先利用诱导公式cos（π+θ）=-cosθ进行化简，再根据二倍角的余弦函数公式化简，将cosα的值代入即可求出值． 解：∵cosα=

2， 32

∴cos（π+2α）=-cos2α=-（2cosα-1）=-2×(

221)+1=． 39试卷第11页，总31页

故选C

44．= （ ）

2?cos2100A．3?sin70012 B．22 C．2 D．32 【答案】C 【解析】略

45．已知tan??????2????1??，tan?????，则tan????等于 54?4?4??A.113313 B. C. D. 6222218【答案】C 【解析】略

46．已知sin?2?????4?3??,2??，则tan?????? ，???5?2?（Ａ）3434 （Ｂ）? （Ｃ）? （Ｄ） 4334【答案】D

【解析】略

??47．sin15sin75等于（ ）

13A． 4 B．2 1 C． 2 D． 以上答案都不对

【答案】A

【解析】分析：把sin75° 换成cos15°，利用二倍角的正弦公式公式 求得结果．

11解答：解：sin15°sin75°=sin15°cos15°=2 sin30°=4，

故选 A． 48．若sin(?1?＋α)＝，则cos(－2α)等于( )

342A．774242 B．－ C． D．－ 9999【答案】D

【解析】据已知可得 cos(D．

49．设tan?、tan?是方程x?33x?4?0的两根，且??(?则???的值为： （ ）

试卷第12页，总31页

3??72?2?－2α)＝cos2(－α)＝2cos(－α)－1＝2sin(＋α)－1＝－，故选92444??22,),??(???,)，22A、?2? 3 B、? 3 C、?3或?2? 3 D、??3或2? 3【答案】 A 【解析】

由韦达定理知tan??tan??0,tan?tan??0,故tan??0,且tan??0 .从而??(??2,0),??(??2,0)，故?????2?.故选A。 3

二、填空题（题型注释） 50．已知sin(??45?)??2，且0????90?，则cos2?的值为 ． 107【答案】25 【解析】 试

题

分

析

：

cos2??cos[2(??45?)?90?]??sin2(??45?)??2sin(??45?)cos(??45?)，由

sin?(?4?5?)?已知272cos(??45?)?10且?45????45??45?得：10，所以

cos2??7.25 考点：二倍角及诱导公式

00y?sin(x?15)?2cos(x?60)的最大值 51．函数【答案】 1

【解析】

试题分析：y?sin(x?15)?2cos(x?60) =sinxcos15?cosxsin15?2cosxcos60?2sinxsin60 =sinx0000006?26?226?cosx?cosx?sinx 4422=2?66?2sinx?cosx?cosxcos150?sin150sinx?cos(x?150)， 44故函数的最大值为1.

考点：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，三角函数图象和性质。 点评：中档题，首先将函数化简，再利用三角函数性质求最大值。52．已知tan(???)?2?1?, tan(??)?, 则tan(??)的值为_________。 5444试卷第13页，总31页

【答案】【解析】

3 222?1), tan(??)?, 则54421??tan(???)?tan(??)??4?54?3 tan(??)?tan[(???)?(??)]??2122441?tan(???)tan(??)1??4543故可知答案为 22(?试题分析：根据题意，ta?n??考点：两角和差的正切公式

点评：主要是考查了两角和差的正切公式的运用，属于基础题。

253．计算：1?2sin22.5?的结果等于______．

【答案】【解析】 试

2 2题

分

析

：

原

式

?sin222.5??cos222.5??2sin222.5??cos222.5??sin222.5??cos45??2. 2考点：同角三角函数基本关系式及二倍角余弦公式的应用。 54．“无字证明”（proofs without words）就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现。请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式

。

【答案】【解析】

解：在左边的图中大矩形的面积S? （cos??cos?）（sin??sin?）

?sin?cos??cos?sin??cos?sin??sin?cos??sin?cos??sin（???）?sin?cos??sin?cos?．

用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 ． 空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即

2?（1/2sin?cos??1/2sin?cos?）?sin?cos??sin?cos?

故阴影部分的面积S1?S?sin?cos??sin?cos??sin（???）．

试卷第14页，总31页

而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即 S2?sin?cos??cos?sin?．在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面

积，

而2个空白矩形的面积之和，即sin?cos??sin?cos?，

故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．

故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1 =S2 ，故有

si（n??）??

55．若sin??【答案】?s?in??cos?，故答案为c?oss（in）????sin???．??3?，?是第二象限的角，则cos(??)?_______． 542 10【解析】本试题主要是考查了三角函数中同角关系的运用，以及两角差的余弦公式的求

解。因为si?n?cos(??35，?是第二象限的角，则cos???45，

?4)?222(cos??sin?)??，故答案为? 210104解决该试题的关键是确定?的余弦值cos???，然后结合公式得到。

556．若角?的终边经过点P(?1,2)，则tan?? ，tan(??【答案】?2,? 【解析】

试题分析：根据正切函数的定义有tan???4)? .

132??2,根据正切和角公式有?1tan??tan?4??1. tan?(??)?431?tan?tan4考点：正切定义,正切和角公式. 57．若?∈（【答案】?【解析】

试题分析：由已知得3cos2?????，且3cos2?=sin（??），则sin2?的值为 ． ,?）2417 182(cos??sin?)，两边平方得29cos22??1(1?sin2?)，即 2?整理得(17?18sin2?)(1?sin2?)?0，又??(,?)，18(1?sin22?)?1?sin2?，

2试卷第15页，总31页

?sin2???17。 18考点：同角三角函数基本关系式及二倍角公式。 58．已知tan??2,则cos2?? 【答案】?【解析】

试题分析：根据题意，由于

3 5tan??2,则可知co?s?23cos2?-sin?21-tan?23?cos?-sin??=??,故可知答案为 2225cos?+sin?1?tan?522考点：二倍角的余弦公式

点评：主要是考查了二倍角的余弦公式的运用，属于基础题

1?tan239059．设a?cos50cos127?cos40cos37， b?，

1?tan23900000 c?21?sin700， 则a，b，c的大小关系为 2

【答案】【解析】略

260．若tan??3，则2sin??3sin(3???)sin(2???)= 2【答案】9 10【解析】略

61．?ABC中，2sinA?【答案】 ∠A=π／3

2【解析】2sinA?3cosA,0?A?3cosA,则?A?

?2,得cosA?1???A? 2362．sin40?(tan10??3)=__________. 【答案】?1

【解析】 试题

分

?析：原式

???s??s?ici??n?on?4?2s?1??s???00??1i0? n3sc1iocsin80?????1 cos10?考点：三角函数化简求值 63．已知sin(???1?)?，????，则cos?? ． 432试卷第16页，总31页

【答案】【解析】

2?4. 6试题分析：∵sin(???1???22?)?，????，∴cos??????， 4324?3?则cos??cos??????4????22?212???????????4??3?232?2?4. 6考点：三角恒等变形.

64． 若向量a?(cos?,sin?)，?b?(cos(?3??),sin(?3??))，则a?b=

??1【答案】 2

【解析】

a?b=(cos?,sin?)???(cos(?3??),sin(?3??))=

????cos??cos(??)?sin??sin(??)?cos???（??)333?65．设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝【答案】－??cos?13=2 5?1，tan＝，则cosβ＝________． 132216 651?12＝2＝4，而α∈(0，π)，∴【解析】∵tan＝，∴tanα＝22322?1??1－tan?21－??2?2tan2?α∈??sin?443????22

＝及sinα＋cosα＝1得sinα＝，cosα＝；,?.由tanα＝cos?355?42?53?122<，∴α＋β∈(，π)，cos(α＋β)＝－. 13241316 65又sin(α＋β)＝∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－

12354?＋?＝－13513566．角?的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tan???3；角?的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边4试卷第17页，总31页

与单位圆交于第二象限内的点Q，且tan???2．对于下列结论：

①P（－310＋25342，－）； ②PQ＝； ③cos?POQ??； ④?POQ的

5555面积为5， 5其中正确结论的编号是 . 【答案】①②④（只给全分，多写少写均不得分） 【解析】

试题分析：∵tan???334，?为钝角，∴sin??，cos???，又∵455P(co?s(?35?245),?si?n(， ))2?∴P(?,?)，∴①正确，同理，Q(?由余弦定理， 得cos?POQ??10?25525∴|PQ|2?，∴②正确，,)，55512555，∴③错，∴S?POQ??1?1?，∴④正确. ?2555考点：余弦定理、诱导公式、三角形面积公式. 67．已知?,?为锐角，且cos?=110,cos?=15，则???的值是__________

【答案】3? 4【解析】且cos?=?,?为锐角，

110,cos?=15,所以sin??31025,sin??, 105?cos(???)?3?105310252?????,?????(0,?),?????.

4105105268．若tan??2，则cos2?= 【答案】?3 5【解析】略

f(x)?69．设_____________

13??cos2x?sinxcosx?2x?[?,]2264，则f(x)的值域为，3[2,2]4 【答案】【解析】

试卷第18页，总31页

三、解答题（题型注释） 70．已知： A?B?5??，且A，B?k??42(k?Z) 求证： (1?tanA)(1?tanB)?2

【答案】利用同角关系式以及两角和差的正切公式来化简证明。

【解析】 试题分析：根据题意，由于5tanA?tanBA?B??得tan(A?B)?1??1?tanA?tanB?tanAtanB?1 41?tanAtanB?(1?tanA)(1?tanB)?1?tanA?tanB?tanAtanB?1?1?2

考点：同角关系，两角和差的正切公式

点评：主要是考查了两角和差的三角公式的运用，属于基础题。 71．证明：cos2??2sin2??sin2?tan2??1cos2?。 【答案】证明见答案

2??sin2?)?sin2?(1?sin2【解析】左边?(cos?21cos2?)?1?sin??cos2? cos2??sin2??cos2??1cos2??右边

72．（本小题满分

12

分）已知??(?2?,?)?,?2cos(???)?45,sin(???)??513，求cos2?的值． 【答案】

?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)?45?(?1213)?355?(?13) ??3365.【解析】．解：∵ ??(??2,?),??(0,2)， ∴ ????(0,?),????(?3?2,2)， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴ sin(???)?1?cos2(???)?35， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

cos(???)??1?sin2(???)??1213， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

∴ cos2??cos[(???)?(???)]

试卷第19页，总31页

，0且,()?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)41235 ??(?)??(?) 51351333??.65 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

73．(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

24sinA?B7?cosC2?，且a?b?5，c?7，求: （Ⅰ）?C（II）△ABC的22面积.

1a2?b2?7113330【答案】(I)cosC??，C=60（II）S?absinc???? ?22ab2222【解析】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用．在做这种题型时经常要用三

内角之间的相互转化，即用其他两个角表示出另一个的做法． （1）根据因为4sinA?B77?cos2c?，所以2[1?cos(A?B)]?2cos2C?1?，222?711222?2cosC?2cosC?1?，cosC?cosC??0解得cosC?c?60 2422，结合二倍角公式得到

（2）根据余弦定理得到ab的值，然后代入面积公式中求解

2解：因为4sinA?B77?cos2c?，所以2[1?coAs?(B?)]22Cco?s?，1222?711222?2cosC?2cosC?1?，cosC?cosC??0解得cosC?c?60 242据

余

弦

定

理

有

根

1a2?b2?7cosC??22ab，

ab?a2?b2?73ab?a2?b2?2ab?7?(a?b)2?7?25?7?18，ab?6，

所以S?11333 absinc?????2222π2π3π4πcoscoscos的值． 99991【答案】 161π2π4πcos【解析】原式?coscos 2999ππ2π4π23sincoscoscos19999 ??π223sin974．求cos试卷第20页，总31页

8πsinπsin9?9?1． ?ππ1616sin16sin99?2?x)，

75．（本题满分14分） 已知函数f(x)??cosx?cos(（1）若x??0,??，求函数f(x)的最大值与最小值及此时x的值；

1???（2）若x??0,?，且sin2x?，求f(x)的值.

3?6?【答案】(Ⅰ) x?0,x?3?6 (Ⅱ) f(x)??

34【解析】（1） f(x)?sinx?cosx?2sin(x?)，??2分

?4，f()xnim?1? f(x)max?2??6分 ?x??0,??，分别在x?0,x?3?时取得.?8分 4???（2）x??0,?，?sinx?cosx，f(x)?0，??10分

?6?又?sin2x??[f(x)]2?(sinx?cosx)2?1?sin2x?136?f(x)??.?14分

32?13分 376．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角?,?，它们的终边分

y 别与单位圆交于A,B两点．已知A,B的横坐标分别为（Ⅰ）求tan(???)的值； （Ⅱ）求2???的值．

572． ,510

试卷第21页，总31页

【答案】（Ⅰ）由已知得：cos??∵?,?为锐角

572． ,cos??510∴sin??252． ,sin??5101． 7∴ tan??2,tan??1tan??tan?7?3．--------------------6分 ∴tan(???)??1?tan??tan?1?2?172tan?44???（Ⅱ）∵tan2?? 21?tan?1?4341??tan2??tan?37??1． ∴tan(2???)??1?tan2??tan?1?(?4)?1372???,?为锐角，

∴0?2????∴2????3?， 23?． -----------12分 4

【解析】略

77． 求值：tan70?cos10?(3tan20??1) 【答案】－1.

【解析】利用切化弦的思想把式子化简，然后再利用和差化积公式及二倍角公式进一步化简。

20?1)解：tan70cos10(3tan????cos10?(3??tan?70)??cos20cos?10(?3=sin20)cos10?(3sin20?cos20?)?2cos10sin20????(31sin20??cos20?)22 ?sin20sin(20??30?)2cos10?sin10??2cos10??=?1

sin20?sin20?7

78．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c= ，且tanA+tanB=3

233

tanA·tanB－3 ，又△ABC的面积为S△ABC= ，求a+b的值。（本题满分12分）

2【答案】解：由tanA+tanB=3 tanA·tanB－3 可得tanA?tanB＝－3 ，???

1?tanA?tanB试卷第22页，总31页

（3分）新 课 标 第一网

即tan(A+B)=－3 ????????.（4分） ∴tan(π－C)= －3 , ∴－tanC=－3 , ∴tanC=3 ∵C∈(0, π), ∴C=?3?????????????????????.（6分）

331331333

又△ABC的面积为S△ABC= ，∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6??.（8

222222

分）

222

又由余弦定理可得c=a+b－2abcosC

?7222722222121

∴( )= a+b－2abcos∴( )= a+b－ab=(a+b)－3ab∴(a+b)= , ??.（112243分）

11

∵a+b>0, ∴a+b= ????????????????????. (12分)

2【解析】略 79．化简

（Ⅰ）sin50?(1?3tan10?) （Ⅱ）tan20?tan40?3tan20tan40 【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ）3

【解析】（Ⅰ）先化切为弦，然后利用两角和差公式及诱导公式化简求值；（Ⅱ）逆用两角和的正切公式，把已知式子化为特殊角的正切函数

????sin10?) 1分 （Ⅰ）sin50(1?3tan10)?sin50(1?3?cos10???cos10??3sin10??sin50()?cos10?

132(cos10??sin10?)2?sin50?2cos10?2cos50??sin50 ?cos10?sin100?cos10????1 4分 cos10?cos10?（Ⅱ）因为

tan20??tan40??tan(20??40?)(1?tan20?tan40?)3tan20所以

ta?n?20??tan?40? tan40?3?3tan20?tan40??3tan20?tan40??3 80．求证：（1）1?sin2??sin??cos?. ???2sin????4??试卷第23页，总31页

（2）已知1?tan??1，求证3sin2???4cos2?.

2?tan?【答案】（1）利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可证明 （2）用分析法和直接法证明均可. 【解析】

试题分析：（1）左边=?sin??cos??2?22?2?sin???cos???22??

?sin??cos???sin??cos?2?sin??cos??右边. 5分

所以原式成立. 6分 （2）解法1 (分析法)因为1?tan??1，所以1+2tan?=0,从而2sin?+cos?=0.

2?tan?22另一方面，要证3sin2???4cos2?，只要证6sin?cos???4cos??sin?.

??即证

2sin2??3sin?cos??2cos2??0,即证

?2??s??i?n??.

?c?o?ssin由2sin?+cos?=0可得?2sin??cos???sin??2cos成立，于是命题成立。 ???012分

解法2（直接证明）由1?tan?1?1知tan???,所以cos2??0.

2?tan?2?1?3????3sin2?6sin?cos?3tan??2??1 ?????因为?4cos2??4?cos2??sin2???1?2?1?tan2??2?1???4?所以3sin2???4cos2?. 12分

考点：本小题主要考查直接证明和间接证明的应用，以及三角函数公式的应用.

点评：用分析法证明问题时，要严格按照分析法的步骤进行，有关三角函数问题，要灵活应用三角函数中的公式，并注意各自的适用条件.

sin8??sin7?sin75?81．求值: cos8??sin7?cos75?【答案】2?3. 【解析】

???试题分析：根观察到原式的三角函数值角度值上的特征：8?15?7，因此考虑采用

两角差的正余弦公式进行恒等变形：

sin(15??7?)?sin7?cos15?sin15?cos7??cos15?sin7??sin7?cos15???????cos(15?7)?sin7sin15cos15?cos7??sin15?sin7??sin7?sin15?试卷第24页，总31页

?tan15?，

再

由

15??45??30?，可知

3tan45?tan303?2?3. tan15??tan(45??30?)????1?tan45?tan3031?3??1?试题解析：原式

sin(15??7?)?sin7?cos15?sin15?cos7??cos15?sin7??sin7?cos15???????cos(15?7)?sin7sin15cos15?cos7??sin15?sin7??sin7?sin15??tan15?，

3tan45?tan30???3?2?3. ?又∵tan15?tan(45?30)???1?tan45?tan3031?3??1?考点：三角恒等变形.

82．已知函数f(x)?2cos2x?sinx. （1）求f()的值；

2?3（2）求f(x)的最大值和最小值。 【答案】（1）-1（2）-1 4【解析】本试题主要是考查了三角函数的化简以及三角函数的值域的求解的综合运用。根据已知条件先化为单一三角函数，然后利用三角函数的性质，得到最大值和最小值问题。

31cos2x? 22?1（1）f()??;（2）max?2,min??1 34解：f(x)?83．已知f(x)?sinxcosx?3cosx?23 2（Ⅰ）求f(x) 的最小正周期及其图像对称中心的坐标； （Ⅱ）当x∈[0,]时，求f(x)的值域.

π2kππ+,0) (k∈Z) 【答案】（Ⅰ）f(x)的最小正周期为π，f(x)图像的对称中心为(26（Ⅱ）f(x)的值域为[-3,1] 2【解析】本试题主要是考查了三角函数的周期性和值域的运用。

试卷第25页，总31页

（1）因为f(x)=sinxcosx-3cos2x+那么可知道周期的值和对称中心。 （2）∵x∈[0,]∴-π313=sin2x-cos2x =sin(2x-)，3222π2ππ2π≤2x-≤ 333∴ -3π≤sin(2x-)≤1得到值域。 23313=sin2x-cos2x????(2分=

222解：∵f(x)=sinxcosx-3cos2x+πsin(2x-)????????????(4分)

3（1）f(x)的最小正周期为π；??????(5分)

πkππ+(k∈Z) 令2x-=kπ得x=326kππ+,0) (k∈Z)??????(8分) ∴f(x)图像的对称中心为(26ππ2ππ（2）∵x∈[0,]∴-≤2x-≤???????(10分)

3332∴ -3π≤sin(2x-)≤1??????(12分) 233,1]????????(13分) 2xx?sin2?sinx. 22∴f(x)的值域为[-84．（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝cox

2(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x0∈(0,??42)且f(x0)＝时，求f(x0＋)的值. 465【答案】(1)函数f(x)的最小正周期是T＝2x. (2) f(x0＋?433146?32)?2(? ??)?6525210【解析】解 由题设有f(x)＝cosx＋sinx=2sin(x?(1)函数f(x)的最小正周期是T＝2x. (2)由f(x0)＝?4).

?442?42得2sin(x0?)?，即sin(x0?)?. 45545因为x0∈(0,????)，所以x0??(,). 4424试卷第26页，总31页

43从而cos(x0?)?1?sin2(x0?)?1?()?.

4455于是f(x0???2?4)?2sin(x0??6??4)?2sin[(x0??4)??6] ?2[sin(x0??4)cos?6?cos(x0??)sin] 46?433146?32 ?2(???)?52521085．已知f(x)?2cosx?3sin2x （Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，a?1且f(A)?3，求?ABC的面积S的最大值.

【答案】解：（Ⅰ）单调递增区间为[k??2?3,k???6](k?Z)；（Ⅱ）S的最大值为

2?3 。 4【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质和解三角形的运用。 （1）因为?f(x)?2cosx?3sin2x?1?cos2x?3sin2x 2?2sin(2x?)?1，借助于三角函数的单调性得到结论。

6（2）?f(A)?3,?sin(2A???6)?1.得到角A，然后结合余弦定理得到bc与a的不等

式，进而利用面积公式得到最值。

解：（Ⅰ）?f(x)?2cosx?3sin2x?1?cos2x?3sin2x 2?2sin(2x?)?1,????????????????????3分

6?2k????2?2x??6?2k???2(k?Z), 解得k???3?x?k???6(k?Z) ?f(x)的单调递增区间为[k??（Ⅱ）?f(A)?3,?sin(2A?222?3,k???6](k?Z) ?6)?1.?0?A??,?2A?22?6??2,即A??6.

a2又a?b?c?2bccosA及 b?c?2bc,?bc?,

2(1?cosA)1a2sinA2?3,当且仅当b?c时,取“=”. ?S?bcsinA??24(1?cosA)4试卷第27页，总31页

?S的最大值为2?3 486．（本小题满分14分）

某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y?Asinwx(A?0,w?0),x?[0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP。为保证参赛运动员的安全，限定?MNP?1200.

（1）求A,w的值和M、P两点间的距离； （2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长。 【答案】解：（1）依题意，有A?23,T2??3，又T? 4w所以w???，所以y?23sinx； 662??3，所以M(4,3) 3当x?4时，y?23sin又P(8,0)，所以MP?42?32?4 （2） 在?MNP中，?MNP?1200,MP?5 设?NMP??，则0???60. 由正弦定理得00MPNPMN?? 00sin?sin(60??)sin120所以NP?103103sin?,MN?sin(600??) 33103103sin??sin(600??) 33故NP?MN?试卷第28页，总31页

=10313103(sin??cos?)?sin(??600) 3223000因为0???60.，当??30时，折线段赛道MNP最长。 即将?NMP设计为30时，折线段赛道 MNP最长。 【解析】略

0??????a?87．（本小题满分14分）已知向量a?(3,cos?x),b?(sin?x,1)，函数f(x)?a·b， b且最小正周期为4?．

（1）求?的值； 2?24（2）设?,????,??,f(2???)?6,f(2??，求sin(???)的值． )????31335?2?（3）若x????,??，求函数f(x)的值域； 【答案】（1）??156；（2）?；（3）??3,2? ??2651【解析】(1)先由向量数量积的坐标表示可得到

?f(x)?3sin?x?cos?x?2sin(?x?),根据f(x)的周期为4?,求出??.

26(2) 由?,????6???,??,f(2??)?,35?2?f(2??2?243)??可得si?n?,3135cos???12, 13然后再求出其cos?,sin?,再利用sin(???)?sin?cos??cos?sin?求值即可.

?解：（1）由已知，易得f(x)?3sin?x?cos?x?2sin(?x?) ???2分 6F(x)的最小正周期为4?，即T?2???4?，解得??1 ???4分 21?（2）由（1），知f(x)?2sin(x?)，则f(2???)?2sin?(???)????2sin??6

?26366?5??所以sin?????34，又???,??，所以cos??? ???6分 55?2?同理f(2??2?)?2sin?(???)????2sin(???)?2cos???24 ?336?213??所以cos???125???，又???,??，所以sin?? ???8分 1313?2?56 ???10分 65?1?2?（3）当x????,??时，??x??,

3263所以sin(???)?sin?cos??cos?sin?=?试卷第29页，总31页

令t=1???2??x?，则t???,?， 26?33?原函数可化为f(t)?2sint，t???当t??当t???2??,? ???11分 33???3时，f(t)min??3; ???12分

?2时，f(t)max?2 ???13分

所以，函数f(x)的值域为：??3,2? ???14分

??4cos4x?1?2cos2x. 88． (12分)已知函数f(x)?cos2x（1）求f(?11?)的值； 12（2）当x?[0,【答案】 （1）f(??4)时，求g(x)?f(x)?sin2x的最大值和最小值。

11?11?11??3 )?cos2(?)?cos?cos?212662（2）g(x)的最小值是1，最大值是2. 【解析】解：f

(2cos2x?1)(2cos2x?1)?2cos2x(x)?cos2xcos2x(2cos2x?1)?2cos2x? cos2x?2cos2x?1?2?2cos2x?1?cos2x

（1）f(?11?11?11??3 )?cos2(?)?cos?cos?2126622sin(2x?（2）g(x)?cos2x?sin2x??4)，由0?x??4,故?4?2x??4?3? 4??2??sin(2x?)?1，1?2sin(2x?)?2，即g(x)的最小值是1，最大值

424是2. 89．（本小题满分10分）请选做一题，都做时按先做的题判分，都做不加分. （

1

）

已

知

向

量

??m?(?fo??sx2x?ssmixinnx)?n?(3xc?o函数xsx, ??c试卷第30页，总31页

①求函数f(x)的最小正周期和值域；

②在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f()?2且a2?bc，试判断△ABC的形状.

（2）已知锐角?ABC,sin(A?B)?A231,sin(A?B)?. 55①求证：tanA?2tanB； ②设AB?3，求AB边上的高CD的长. 【答案】（1）①f(x)?2sin(2x?②△ABC为等边三角形 （2）①证明见解析。 ②?CD?2??6)T??，值域为[—2，2]

6. 【解析】（1）①f(x)?2sin(2x??6)T??，值域为[—2，2].… ………5分

②△ABC为等边三角形． …………… …10分 （2）①由sin(A?B)?3,sin(A?B)?1展开可整理得：

552?sinAcosB???5?sinAcosB?2cosAsinB?tanA?2tanB.………5分 ??cosASinB?1?5?②??2?A?B??,sin(A?B)?3, 53tanA?tanB3?tan(A?B)??,即??, 41?tanAtanB4又?tanA?2tanB,?2tan2B?4tan2B?1?0.66或tanB?1?(舍), 22?tanA?2tanB?2?6,[来源:Zxxk.Com]?tanB?1??AB?AD?BD?

CDCD??3,?CD?2?6. … ……10分 tanAtanB试卷第31页，总31页

①求函数f(x)的最小正周期和值域；

②在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f()?2且a2?bc，试判断△ABC的形状.

（2）已知锐角?ABC,sin(A?B)?A231,sin(A?B)?. 55①求证：tanA?2tanB； ②设AB?3，求AB边上的高CD的长. 【答案】（1）①f(x)?2sin(2x?②△ABC为等边三角形 （2）①证明见解析。 ②?CD?2??6)T??，值域为[—2，2]

6. 【解析】（1）①f(x)?2sin(2x??6)T??，值域为[—2，2].… ………5分

②△ABC为等边三角形． …………… …10分 （2）①由sin(A?B)?3,sin(A?B)?1展开可整理得：

552?sinAcosB???5?sinAcosB?2cosAsinB?tanA?2tanB.………5分 ??cosASinB?1?5?②??2?A?B??,sin(A?B)?3, 53tanA?tanB3?tan(A?B)??,即??, 41?tanAtanB4又?tanA?2tanB,?2tan2B?4tan2B?1?0.66或tanB?1?(舍), 22?tanA?2tanB?2?6,[来源:Zxxk.Com]?tanB?1??AB?AD?BD?

CDCD??3,?CD?2?6. … ……10分 tanAtanB试卷第31页，总31页

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