概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）

概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)

习 题 一

1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件： （1） A发生而B与C都不发生； （2） A，B，C至少有一个事件发生； （3） A，B，C至少有两个事件发生； （4） A，B，C恰好有两个事件发生； （5） A，B至少有一个发生而C不发生； （6） A，B，C都不发生.

解：（1）ABC或A?B?C或A?（B∪C）. （2）A∪B∪C.

（3）（AB）∪（AC）∪（BC）. （4）（ABC）∪（ACB）∪（BCA）. （5）（A∪B）C. （6）A?B?C或ABC.

2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式： （1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?； （2）AB+AB +AB+AB?AB= AB；（3）A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.

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3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求： （1） A发生但B不发生的概率； （2） A，B都不发生的概率； （3） 至少有一个事件不发生的概率.

解（1） P（AB）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4； (2) P(AB)=P(A?B)=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3； (3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.

4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 （1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.

解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72

5.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。 解：8/15

6.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。

（1）3本一套放在一起； （2）两套各自放在一起； （3）两套中至少有一套放在一起. 解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21

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7. 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：

（1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.

解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为

444C12C8C4?12! (4!)3（1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”

3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有数为

3！·

故有

P（A）=

9!12!/=16/55 23(3!)(4!)9!9!= (3!)3(3!)29!种分法，由乘法原理，A包含基本事件(3!)3（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到

44同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为C19C8C4?9!，故由1!4!4!乘法原理，B包含样本总数为3·

9!.1!4!4!

故有 P（B）=

3·9!12!/3=3/55 ?4！?2?4！?8.箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只. （1） 任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤

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b）;

(2) 第k次才取到白球的概率（k≤b+1）; （3） 第k次恰取到白球的概率.

解 （1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合问题.

?n从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有Cma?b种，每一种取

法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有Cma种不同的取法，从b只黑球中取n只，

n共有Cb种不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取nC法共有Cm ab种，于是所求概率为

nCmaCbp1=m?n.

Ca?b

(2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有Pak?b个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑球中任取k-1只的排法种数，有Pbk?1种，第k次抽取的白球可为a只白球中任一只，有Pa1种不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有Pbk?1Pa1种，于是所求概率为

1Pbk?1Pap2=k.

Pa?b

(3) 基本事件总数仍为Pak?b.第k次必取到白球，可为a只白球中任一只，有Pa1种不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有Pak??b1?1种不同的取法，由乘法原理，第k次

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恰取到白球的取法有Pa1Pak??b1?1Pa1Pak??b1?1ap3=k?.

Pa?ba?b

9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.

解 设在（0，1）内任取两个数为x,y，则

0＜x＜1,0＜y＜1

图1-7

即样本空间是由点（x，y）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.

令A表示“两个数乘积小于1/4”，则

A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}

事件A所围成的区域见图1-7，则所求概率

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的事件.则

P（A）=p=M/N,

以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知

Pn(k)=Ckn(

22.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

解 掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面

次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2MkM)(1?)n?k, k=0,1,2,…，n. NN由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()() 2211 故 P(A)?[1?Cn2n2n] 22

习 题 二

1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格

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品为止，所求抽取次数的分布律： （1）放回；（2）不放回. 解 （1）P{X?K}?(3/13)k?1(10/13)

X （2）1 2 3 4 P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11)

2.设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a?kk!，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. 解 由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!?ae?

故 a?e??

3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人. 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？

解 设系队得胜人数为X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为

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k(0.4)k(0.6)3?k≈0.352； （1） P{X≥2}=?C3k?23k(0.4)k(0.6)5?k≈0.317； (2) P{X≥3}=?C5k?35k(0.4)k(0.6)7?k≈0.290. (3) P{X≥4}=?C7k?47因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.

4.一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X表示他首次投中时累计已

投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

解：随机变量X所有可能的取值为:1,2,,n,， 分布律为：

P(X?k)?(1?0.45)k?10.45?k?1,2,,n,,

{X取偶数}?k?1{X?2k}：一列互不相容的事件的和，

???所以P{X取偶数}?P[{X?2k}]??P{X?2k}??0.552k?10.45?11/31.

k?1i?1i?15.某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.

解 设X表示发生交通事故的汽车数，则X~b(n,p),此处n=5000，p=0.001，令λ=np=5，

P{X≥2}=1-P{X＜2}=1-?P?X?k?

k?01=1-(0.999)5000-5(0.999)4999

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50e?55e?5?≈1?. 0!1!查表可得

P{X≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.

6.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

解 n?4

7.设随机变量X分布函数为

?A?Be??t,x?0,F（x）=?(??0),

0,x?0.?（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

limF(x)?1??A?1?x???【解】（1）由?得?

limF(x)?limF(x)?B??1?x?0??x?0?（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?

P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

??e??x,x?0(3) f(x)?F?(x)??

x?0?0,

8.设随机变量X的概率密度为

?x,?f（x）=?2?x,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

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【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)??xx??f(t)dt??0??f(t)dt??f(t)dt

0xx2 ??0tdt?

2当1≤x<2时F(x)????f(t)dt

??0??1xf(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x11x

??tdt??(2?t)dt01x23??2x??222x2???2x?12

当x≥2时F(x)????f(t)dt?1

?0,?2?x,?故 F(x)??22??x?2x?1,?2??1,x?00?x?1x

1?x?2x?2

9.设随机变量X的密度函数为 （1） f(x)=ae-?|x|,λ>0;

?bx,0?x?1,?1(2) f(x)=?2,1?x?2,

?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由???f(x)dx?1知1????ae??|x|dx?2a?0e??xdx?故 a?

2???2a?

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????xe,x?0??即密度函数为 f(x)??2

??e?xx?0??2当x≤0时F(x)????f(x)dx????e?xdx?e?x

2xx?12当x>0时F(x)????f(x)dx????edx??0e??xdx

?xx0?x?22 ?1?e??x

故其分布函数

?1??x1?e,x?0??2F(x)??

?1e?x,x?0??212(2) 由1????f(x)dx??0bxdx??1?121b1dx?? 2x22得 b=1 即X的密度函数为

0?x?1?x,?1?f(x)??2,1?x?2

?x其他??0,当x≤0时F（x）=0

当0

201x当1≤x<2时F(x)????f(x)dx????0dx??0xdx??1 ??

当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

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x1dx 2x321x?0,?2?x,?F(x)??2?3?1,?2x?1,?x?00?x?1

1?x?2x?2

10.设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。

1A=1/2，B=1； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[?(1+x2)] 解 ○

?

11.某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率.

解 设乘客于7时过X分钟到达车站，由于X在［0，30］上服从均匀分布，即有

?1,f(x)=??30??0,0?x?30,其他.

显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为

3011P{10＜X≤15}+P{25＜X≤30}=?10dx??25dx=1/3.

303015

12.设X~N（3，22），

（1） 求P{2＜X≤5}，P{-4＜X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};

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（2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}. 【解】（1） P(2?X?5)?P??2?3X?35?3???? 222???1??1???(1)???????(1)?1???? ?2??2?

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P???? 222???????? ????????0.9996 22????77P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5??1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3

13.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从?=170(cm),?=6(cm)的正态分布，即X~N（170，62），问车门高度应如何确定？

解 设车门高度为h(cm)，按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X＜h}≥0.99，因为X~N（170，62），故

P{X＜h}=P??X?170h?170??h?170??????≥0.99， ?6??6?6?第 18 页 共 41 页

查表得 ?（2.33）=0.9901＞0.99.

故取

h?170=2.33，即h=184.设计车门高度为184（cm）时，可6使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.

14.某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从?(160,202)分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.

解：记取出的四只电子管寿命分别为X1,X2,X3,X4，所求概率为P，则

P?P{min(X1,X2,X3,X4)?180} ?P{Xi?180}4?[1?P{Xi?180}]4 i?1,2,3,4

?[1??(1)]4?0.00063

习 题 三

1.设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律.

解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整数，且 P{X=i，Y=j}=P{Y=j｜X=i}P{X=i}=·，i=1，2，3，4，j≤i.

1i14第 19 页 共 41 页

于是（X，Y）的分布律为

表3?3

X 1 2 3 4 Y 1 2 3 4

2.设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0f(x,y)=?,

其他0,?1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 解：(1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8)

3.设随机变量（X，Y）的概率密度为

?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f（x，y）=?

0,其他.?（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X＜1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,

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故 R?18

1????（2） P{X?1,Y?3}???3f(x,y)dydx

3 ??0?2k(6?x?y)dydx?

(3) P{X?1.5}?x?1.5??1388f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

1D1 ??0dx?2(6?x?y)dy?(4) P{X?Y?4}?X?Y?41.5??127.

832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

4D224?x ??0dx?212(6?x?y)dy?. 83

题5图

4.设(?,?)的联合密度函数为

?1?,f(x,y)??2??0?x?1,0?y?20,

求（1）?与?中至少有一个小于1/2的概率；（2）???大于1的概率.

5. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断

X、Y的独立性。

61??解：（1） A?2,B?,C? ；（2） f(x,y)?2；（3） 22?(4?x)(9?y)?22独立 ；

6. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x，

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（1）求系数A，

（2）求(X,Y)的联合分布函数。 （3）求关于X及Y的边缘密度。 （4）X与Y是否相互独立？ （5）求f(yx)和f(xy)。 解：（1）A?24

0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y2?（2）F(x,y)??3y4?8y3?6y2??4x3?3x4?1??x?0或y?00?x?10?y?xx?10?y?1 0?x?1x?yx?1y?1?12x2(1?x),0?x?1?12y(1?y)2,0?y?1 （3）fx(x)?? ； fy(y)??

0,其他0,其他??（4）不独立

?2y,0?y?x,0?x?12（5）fYX(yx)?? ； ?x?其他?0,?x)?2(1,y?x?1,?0y?12(1?y) fXY(xy)?? ??0,其他?7.设随机变量X~U(0,1)，当观察到X=x（0＜x＜1）时，Y~U(x,1)，求Y的概率密度fY（y）.

解 按题意，X具有概率密度

fX（x）=??1,0?x?1

?0,其他.类似地，对于任意给定的值x（0＜x＜1），在X=x的条件下，Y的条件概率密度

?1?fY｜X（y｜x）=?1?x,x?y?1,

?其他.?0,因此，X和Y的联合概率密度为

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?1,0?x?y?1,f（x，y）=fY｜X（y｜x）fX（x）=? ?1?x?其他.?0,于是，得关于Y的边缘概率密度为

fY（y）=??????y1?dx??ln(1?y),0?y?1,f(x,y)dx???01?x

?0,其他.?8.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

y?1?2?1,0?x?1,e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)??? ?2?0,其他;?0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.

题14图

(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：

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P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy

1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]

?0.1445.??dx?1x2

习 题 四

1.设随机变量X的分布律为 X Pk -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

解 Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1P(Y?4)?P(X??2)?511P(Y?9)?P(X?3)?30

故Y的分布律为

Y 0 1 4 9 第 24 页 共 41 页

Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 2.证明题

设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布。

?2e?2x证明：提示：参数为2的指数函数的密度函数为f(x)???01???ln(1?y)?2x利用Y?1?e的反函数x??2即可证得。

?0?x?0 ， x?03.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

????fX(x)dx

故 fY(y)? (2) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ???yfX(x)dx

故fY(y)?dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dyylnydFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 dyyy2π?2?y2/2e,y?0 2π4.设随机变量X~U（0,1），试求：Z= ?2lnX的分布函数及密度函数.

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【解】 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??)?P(X?e?z/2) ??e即分布函数

z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?01?z/2dx?1?e ?z/2z2故Z的密度函数为

?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2

?z?0?0,

5.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y X 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05

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0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 （1） 求V=max（X，Y）的分布律； （2） 求U=min（X，Y）的分布律； 【解】

（1）P{V?i}?P{max(X,Y)?i}P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}

??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, i?0,1,2,3 ,4k?0k?0i?1i所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P

(2) P{U?i}?P{min(X,Y)?i}

?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 0

于是 U=min(X,Y) 0 P

0.28 ??P{X?i,Y?k}?k?i3k?i?1?P{X?k,Y?i}5 i?0,1,2,3,

1 0.30 2 0.25 3 0.17 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

第 27 页 共 41 页

?e?y,?1,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?其他;?0,?0,y?0, 其他.求随机变量Z=X+Y的分布密度.

解 X，Y相互独立，所以由卷积公式知

fZ（z）=???fX(x)fY(z?x)dx..

由题设可知fX（x）fY（y）只有当0≤x≤1，y＞0，即当0≤x≤1且z-x＞0时才不等于零.现在所求的积分变量为x，z当作参数，当积分变量满足x的不等式组0≤x≤1

x＜z时，被积函数fX（x）fY（z-x）≠0.下面针对参数z的不同取值范围来计算积分.

当z＜0时，上述不等式组无解，故fX（x）fY（z-x）=0.当0≤z≤1时，不等式组的解为0≤x≤z.当z＞1时，不等式组的解为0≤x≤1.所以

?ze?(z?x)dx?1?e?z,0?z?1,??0?1fZ（z）=??0e?(z?x)dx?e?z(e?1),z?1,，

?其他.?0,???7.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?12y2,0?y?x?1 f(x,y)??

其它(x,y)?0,求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)；（2）随机变量Y的密度函数

fY(y)；（3）随机变量Z?X?Y的密度函数fZ(z).

解： 由题意 的概率密度函数分别为

?x12y2dy?4x3,0?x?1? f (x)???0???X??0?0，x?1,x?0?第 28 页 共 41 页

X,Y

fZ(z)??????112y2dx??12y2(1?y),0?y?1??fY(y)???y???0,y?1,y?0???0f(x,z?x)dxx,要使z由两个随机变量和的密度函数公式 ，0?x?1,x?z?2xz被积函数非０， 必须满足 故 的密度函数应为

8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为??0的泊松(Poisson)分布，证明X?Y仍服从泊松分布，参数为2?.

证明：记Z?X?Y，则Z所有可能的取值为：0,1,2,,n,， 由离散卷积公式有

P(Z?k)??P(X?i)P(Y?k?i)

i?0k???00,z?0,z?2??z?z3??2fZ(z)???z12(z?x)dx??,0?z?12?2?31?z12(z?x)2dx?z?4((z?1)3,1?z?2????2?2第 29 页 共 41 页

??i?0k?ii!e???k?i(k?i)!ke????ke?2?k! ?k!i?0i!(k?i)!k??ke?2?(2?)ke?2?2?k!k!k?0,1,,n,

即Z?X?Y服从参数为2?的泊松分布.

9.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X

和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

?1000,x?1000,f（x）=? ?x2?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)?0

（2） 当0

FZ(z)?1000）(如图a) zX?z} Y??y?xz6??yz10106dxdy??103dy?322dx 2210xyxyz?103106?z =?103?2?3?dy?

zy?2z?y??

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

FZ(z)???y?xz6??zy10106dxdy??3dy?322dx 1010xyx2y2第 30 页 共 41 页

?103106?1 =?103?2?3?dy?1?

zy?2z?y??1?1??2z,z?1,?z即 fZ(z)??0?z?1, ?,2?其他.?0,???1?2z2,z?1,?1故 fZ(z)??0?z?1, ?,2?其他.?0,??

习 题 五

1. 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

解 10分25秒

2.对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望.

解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为

?1?f（x）=?b?a,a?x?b,

?其他.?0,第 31 页 共 41 页

球体积Y=πX3，由（4.6）式得

E（Y）=E(πX3)??aπx3=

6(b?a)?a1616b161dx b?ab?x3dx?π(a?b)(a2?b2). 243.设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

解：平均需赛6场

4.一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

k(n?1)k(n2?1),D(X)?解 E(X)? ; 2125.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽

到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。 解E(X)?12,7D(X)?24 496.设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f

?k,0?x?1,0?y?x(x ,y)=?

0,其他?求：① 常数k.. ② E?XY?及D(XY).

解k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144

7.设二维随机变量（X，Y）在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+ =1所围成的三角区域，求E（X），E（Y），E（XY）. 解 由于（X，Y）在A内服从均匀分布，所以其概率密度

1?,(x,y)?A,?1,(x,y)?A,???f（x，y）=?A的面积 0,(x,y)?A.?(x,y)?A,??0,y2E（X）=??????xf(x,y)dxdy???Axdxdy??0dx?0????2????12(1?x)1xdy?;

323E（Y）=??????yf(x,y)dxdy???Aydxdy??0ydy?0dx?;

第 32 页 共 41 页

1?y2E（XY）=??????xyf(x,y)dxdy??0xdx?0

8.设随机变量X的概率密度为

????12(1?x)1ydy?2?x(1?x)2dx?. 061?1?x,?1?x?0,?f（x）=?1?x,0?x?1,

?0,其他.?求E（X）和D（X）.

解 E（X）=??1x(1?x)dx??0x(1?x)dx =0，

E（X）=??1x(1?x)dx??0x2(1?x)dx=1/6，

2012

01于是 D（X）=E（X2）-［E（X）］2=1/6.

9.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=-1, 计算：Cov（3X-2Y+1，X+4Y-3）.

解 Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D(Y) ?3?2?10?(?1)?8?3??28

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).

10.设X服从[0,2π]上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这里a是常数.求ρ

YZ.

解 E（Y）=?0cosx?112πdx=0, E(Z)= cos(x?a)dx =0, 2π2π?012π212

D(Y)=E{[Y-E(Y)]}=?0cosxdx?,

2π212π1D(Z)=E{[Z-E(Z)]2}=?0cos2(x?a)dx?,

2π22π第 33 页 共 41 页

12π1Cov(Y,Z)=E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}= cosx?cos(x?a)dx?cosa,

2π?021cosacov(Y,Z)2??cosa. 因此 ρYZ=

D(Y)?D(Z)1?122① 当a=0时，ρ② 当a=π时，ρ③ 当a=或

π2YZ=1，Y=Z，存在线性关系； YZ=-1，Y=-Z，存在线性关系；

YZ=0，这时

3π时，ρ2Y与Z不相关，但这时却有

Y2+Z2=1，因此，Y与Z不独立. 11.设随机变量（X，Y）的分布律为

X -1 0 1 Y -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

解 联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下

X P

Y P

第 34 页 共 41 页

??1 0 3 82 81 3 8??1 0 3 82 81 3 8XY ??1 0 P 2 84 81 2 8第 35 页 共 41 页

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X??1}P{Y??1}????P{X??1,Y??1} 从而X与Y不是相互独立的.

12.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρ解 如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为

12XY.

338818 题12图

?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??dx?D0111?x01x2dy?

312x2dy?

6E(X2)???x2f(x,y)dxdy??dx?D01?x011?1从而D(X)?E(X2)?[E(X)]2????. ??6?3?182同理E(Y)?,D(Y)?131. 1811?x而 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??0dx?02xydy?DD1. 12所以

第 36 页 共 41 页

36

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?1112?3?13??136. 从而 Cov(X,Y)?1?XY?36D(X)D(Y)?1??1 18?1218

13.设（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??1?2sin(x?y),0?x?ππ2,0?y?2,

??0,其他.求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρ

XY.

解 E(X)??????,y)dxdy??π/2π/21π?????xf(x0dx?0x2sin(x?y)dy?4. ππ E(X2)??2dx?2200x12sin(x?y)dy?π28?π2?2. 从而

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?π216?π2?2.

同理 E(Y)?ππ2π4,D(Y)?16?2?2.

又

E(XY)??π/220dx?π/xysin(x?y)dxdy?π02?1,

2故 CovX(Y,?)EX(Y?)EX()E???π?ππ?Y(2)????414??π???4???4??2?Cov(X,Y)???π?4??XY?(πD(X)D(Y)??4??4)2π2?8π?16π2π??π2?8π?32??π2.

16??8π?322?2

第 37 页 共 41 页

37

.

习 题 六

1. 设X是掷一颗骰子所出现的点数，若给定ε=1,2，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证契比雪夫不等式成立.

解 因为X的概率函数是P{X=k}=1/6（k=1，2，…，6），所以

E（X）=7/2, D（X）=35/12,

P{|X-7/2|≥1=P{X=1}+P{X=2}+P{X=5}+P{X=6}=2/3;

P{|X-7/2|}≥2}=P{X=1}+P{X=6}=1/3.

ε=1： ε=2：

D(X)D(X)?2=35/12>2/3,

?2=1/4×35/12=35/48>1/3.

可见契比雪夫不等式成立.

2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ 【解】令Xi??1,若第i个产品是合格品,?0,其他情形.

而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得

P{0.76??Xi?1nin?0.84}?0.9.

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即

Xi?0.8n?0.76n?0.8n0.84n?0.8nP{?i?1?}?0.9

n?0.8?0.2n?0.8?0.2n?0.8?0.2n由中心极限定理得

?0.84n?0.8n??0.76n?0.8n?????????0.9, 0.16n?0.16n????n?n?1.64, ?0.95,整理得??查表??10?10??n≥268.96, 故取n=269.

3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床

数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,

E(X)?140,D(X)?42,

?m?140?0.95?P{0?X?m}?P(X?m)????.42??

查表知

m?140?1.64, ,m=151. 42所以供电能151×15=2265（单位）.

第 39 页 共 41 页

39

4.一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.

解 设一盒重量为X，盒中第i个螺丝钉的重量为Xi(i=1,2,…,100).X1，X2，…，X100相互独立，E（Xi）=1，D(Xi) =0.1，则有

X=?Xi，且E（X）=100·E（Xi）=100（两），D(Xi)=1（两）.

i?1100根据中心极限定理，有

XP{X>102}=P????100102?100????1?P{X?100?2} 11?≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.

5. 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.

解 10部机器中同时停机的数目X服从二项分布，n=10,p=0.2,np=2,npq≈1.265.

3

(1) 直接计算：P{X=3}=C10×0.23×0.87≈0.2013;

(2) 若用局部极限定理近似计算：

?k?np?13?2?1??1??????(0.79)=0.2308. P{X=3}=????1.2651.2651.265npq?npq???(2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n不够大.

6. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，

第 40 页 共 41 页

40

在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：

（1） 保险公司没有利润的概率为多大；

（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为

P{X?120}?1?120?10000?0.006???? 10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?60?1??59?.64?012e1?(60/2529.64)1???? 59.64?59.64

.1811?0.05?17?30e?(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X率为

于是所求概

?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}????????

?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?

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在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：

（1） 保险公司没有利润的概率为多大；

（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为

P{X?120}?1?120?10000?0.006???? 10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?60?1??59?.64?012e1?(60/2529.64)1???? 59.64?59.64

.1811?0.05?17?30e?(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X率为

于是所求概

?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}????????

?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?

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