高等数学复旦大学出版社习题答案三

习题三

1. 验证：函数f(x)?lnsinx在[,π5π]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?，使66f?(?)?0.

π5ππ5ππ5π]上连续，在(,)上可导，且f()?f()??ln2，666666π5ππ5π即在[,]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点??(,),使f?(?)?0.

6666cosxππ5ππ

?cotx?0得x??(,),故取??，可使f?(?)?0. 事实上，由f?(x)?sinx2662

证：f(x)?lnsinx在区间[,2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的?？

?x2, 0?x?1,⑴ f(x)?? [0,1] ；

?0, x?1, ⑵ f(x)?x?1, [0,2] ；

?sinx, 0?x?π,⑶ f(x)?? [0,π] .

1, x?0, ?解：⑴ f(x)在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而f?(x)?2x(0?x?1)，即在（0，1）内不存在?，使f?(?)?0.罗尔定理的结论不成立.

⑵ f(x)???x?1, 1?x?2,

?1?x, 0?x?1. f?(1)不存在，即f(x)在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件.

?1, 1?x?2, 而f?(x)??

?1, 0?x?1.? 即在（0，2）内不存在?，使f?(?)?0.罗尔定理的结论不成立.

⑶ 因f(0)?1?f(π)=0,且f(x)在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而f?(x)?cosx(0?x?π),取??

π

，使f?(?)?0.有满足罗尔定理结论的2

??

π. 2

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故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.

3. 函数f(x)?(x?2)(x?1)x(x?1)(x?2)的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？

解：因为f(2)?f(1)?f(0)?f(?1)?f(?2)?0，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，

[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有?1?(?2,?1),?2?(?1,0),?3?(0,1),?4?(1,2),使得f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?f?(?4)?0.因此，f?(x)至少有4个零点，且分别位于(?2,?1),(?1,0),(0,1),(1,2)内.

4. 验证：拉格朗日定理对函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上的正确性.

验证：因为f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由f(1)?f(0)?f?(?)(1?0)得3?2?2?2 解得??11，即存在??使得拉格朗日定理的结论成立. 335. 如果f?(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导且f?(a)?0,f??(x)?0,证明：f(b)?f(a).

证明：因为f?(x)在[a, b]上连续，在（a，b）内可导，故在[a，x]上应用拉格朗日定理，则???(a,x),(a?x?b)，使得f??(?)?于是f?(x)?f?(a)?0,故有f(b)?f(a)

6. 设f(a)?f(c)?f(b)，且a?c?b,f??(x)在[a，b]内存在，证明：在（a，b）内至少有一点?，使f??(?)?0.

证明：f??(x)在[a，b]内存在，故f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

f?(x)?f?(a)?0,

x?af(a)?f(c)?f(b)，故由罗尔定理知，??1?(a,c)，使得f?(?1)?0，??2?(c,b)，

使得f?(?2)?0，又f?(x)在[?1,?2]上连续，在(?1,?2)内可导，由罗尔定理知，

???(?1,?2)，使f??(?)?0，即在（a，b）内至少有一点?，使f??(?)?0.

7. 已知函数f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f(a)?f(b)?0，试证：在（a，b）内至少有一点?，使得

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f(?)?f?(?)?0, ??(a,b).

证明：令F(x)?f(x)?ex,F(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F(a)?F(b)?0，由罗尔定理知，???(a,b)，使得F?(?)?，即f?(?)?e?f?(?)0?e,即

f(?)?f?(?)?0, ??(a,b).

8. 证明恒等式：

2x?π (x?1). 21?x2x证明：令f(x)?2arctanx?arcsin,

1?x22arctanx?arcsin12(1?x2)?2x?2x?(1?x2)22x21?() 1?x222 ???0221?x1?x2f?(x)??21?x故f(x)?C，又因f(1)?π,所以f(x)?π,即2arctanx?arcsin9. 对函数f(x)?sinx及g(x)?x?cosx在[0,验证：f(x)，g(x)在[0,足柯西定理的条件.

2x?π. 1?x2?2]上验证柯西定理的正确性.

?]上连续，在(0,)内可导，且g?(x)?1?sinx?0，满22?πf()?f(0)?2co?sπ?f(?)2??cot(?, )由 ,得 ?π?π?21?si?n42g()?g(0)g(?)2ππ?2π?(0,)满足柯西定理的结论. 故???2arctan222b)内有n阶导数，且10. 设f(x)在[a,b]上有(n?1)阶连续导数，在(a,f(b)?f(a)?f?(a)???f(n?1)(a)?0.试证：在(a,b)内至少存在一点?，使f(n)(?)?0.

证明：首先，对f(x)在[a,b]上应用罗尔定理，有a1?(a,b)，即a?a1?b，使得其次，对f?(x)在[a,b]上应用罗尔定理，有a2?(a1,b)，即a?a1?a2?b， f?(a1)?0；

使得f??(a2)?0;? 一,般地，设在(a,b)内已找到n?1个点a1,a2,?,an?1,其中

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a?a1?a2???an?1?b,使得f(n?1)(an?1)?0，则对f(n?1)(x)?0在[an?1,b]上应用

罗尔定理有??(an?1,b)?(a,b),使得f(n)(?)?0. 11. 利用洛必达法则求下列极限：

⑴ limsin3xx?πtan5x; ⑵ limlnsinxx?π2(??2x)3;

⑶ limex?x?1x?0x(ex?1); ⑷ limsinx?sinax?ax?a; xm?amln(1?1⑸ limx)x?axn?an; ⑹ xlim???arccotx; ⑺ lnxxlim?0?cotx; ⑻ xlim?0?sinxlnx; ⑼ lim(ex1x?0x?e?1); ⑽ lim1xxx?0?(lnx); ⑾ xlim???(21π?arctanx)x; ⑿ lim(1x?0?sinx)x;

⒀ xlim[ln?0?x?ln(1?x)]; ⒁ xlim???(3x3?x2?x?1?x); 1⒂ limex?esinxx?0x?sinx; ⒃ lim(sinxx2x?0x);

⒄ lim[111(1?x)x]x.

x?0e解：⑴ 原式=lim3cos3xx?π5sec25x??35.

⑵ 原式=?1cotx1?csc24lim??limx??1. x?π2π-2x4x?π2?28⑶ 原式=limex?1exx?0ex?1?xex?limx?02ex?xex?lim1x?02?x?12.

⑷ 原式=limcosxx?a1?cosa.

⑸ 原式=limmxm?1x?anxn?1?mnam?n. 69

x⑹ 原式=xlim1?x?(?1x2)????lim1?x2?1.

?1x???x?x21?x21⑺ 原式=xlimx?0??csc2x??sin2xxlim?0?x?0. 1⑻ 原式=lnxxxlim?0?cscx?xlim?0??cscx?cotx?0. ⑼ 原式?e2x?ex?xe2x?ex?x2e2xxlim?0x(ex?1)=limx?0x2=lim?ex?1x?02x4e2x =lim?exx?02?32. ⑽ 原式=lim(1?lnx)xx?0? 令y?(1?lnx)x

1ln(1?lnx)1??(?1)xlim?0?lny?limlnxxx?0?1?limx??0 x?1x2 ?xlimx?0?1?lnx?1xlim?0??0?1x ∴原式=limy?e0x?0??1. ⑾ 令y?(2?arctanx)xπ，则

ln2π?lnarxctan11arctxa?n2 xl???imyl?nx???lim1??x1x???li1mx?x2

??1x2 2xlim???arctanx?1?x2??π2 ∴原式=e?π.

1⑿ 令y?(1?sinx)x，则

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cosxlimlny?limln(1?sinx)x?lim1?sinxx?0x?0x?01?1 ∴原式=e?=e.

1⒀ 原式?lnxxxlim(ln?0?x?x)?xlim?0?1=xlim?0?1=lim(x?0??x)?0 x?x231?1?11⒁ 原式?xlimxx2?x3?1???1

x =1111?2?2?3?421xlim???3(1?x?x2?x3)3?(x?2x?3x)?x=3⒂ 原式?limesinx(ex?sinx?1)esinx?(x?sinx)0x?0x?sinx=limx?0x?sinx=e=1 sinx1⒃ 令y?(x2x)，则

11limlnlnsinx?lnxsinxcosx?xx?0y?limx?0x2?limx?02x ?limxcosx?sinxxcosx?sinxx?02x2sinx?limx?02x3 ?limcosx?xsinx?cosx?x21x?06x2?limx?06x2??6.∴原式=e?16.

⒄ 令y?[11111e(1?x)x]x，则lny?x[ln(1?x)x?1]

1limlnln(1??1x?0y?limx)?xx?0x2?lim1?xx?02x

??1112limx?01?x??2.12. 求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.

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1x； ⑵ lim(1?k)x； ⑴ limx???x?0sinxxx2sinx?sinxex?e?x. ⑶ lim； ⑷ limxx??x?sinxx???e?e?x1112xsin?cosx?limxx不存在,（因sin1，cos1为有界函数）解：⑴ ∵lim

x2sinx?0sinxx?0cosxxxx2sin1 又limx?limxsin1x?0sinxx?0x?0, 故不能使用洛必达法则.

⑶ ∵limx?sinxx??x?sinx?lim1?cosxx??1?cosx不存在,

sin 而limx?sinx1?xx??x?sinx?limxx???1. 1?sinxx 故不能使用洛必达法则.

⑷ ∵ex?e?xex?e?xex?e?xxlim???ex?e?x?xlim???ex?e?x?xlim???ex?e?x 利用洛必达法则无法求得其极限.

而ex?e?x1xlim???ex?e?x?xlim?e?2x???1?e?2x?1. 故答案选（2）.

13. 设limx2?mx?nx?1x?1?5,求常数m, n的值. 解：要使limx2?mx?nx?1x?1?5成立，则lim(x?1x2?mx?n)?0,即1?m?n?0又limx2?mx?nx?1x?1?lim2x?mx?11?2?m?5 得m?3,n??4 14. 设f(x)二阶可导，求limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)h?0h2.

解：

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limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)f?(x?h)?f?(x?h)?limh?0h?0h22h1f?(x?h)?f?(x)f?(x?h)?f?(x) ?lim[?]h?02h?h1f?(x?h)?f?(x)f?(x?h)?f?(x) ?[lim?lim]

h?02h?0h?h1 ?[f??(x)?f??(x)]2 ?f??(x).15. 确定下列函数的单调区间： (1) y?2x3?6x2?18x?7；

解：所给函数在定义域(??,??)内连续、可导，且

y??6x2?12x?18?6(x?1)(x?3)

可得函数的两个驻点：x1??1,x2?3,在(??,?1),(?1,3),(3,??)内，y?分别取+，–，+号，故知函数在(??,?1],[3,??)内单调增加，在[?1,3]内单调减少. (2) y?2x?8 (x?0)； x8，则函数2x解: 函数有一个间断点x?0在定义域外，在定义域内处处可导，且y??2?有驻点x?2，在部分区间(0,2]内，y??0；在[2,??)内y?>0，故知函数在[2,??)内单调增加，而在(0,2]内单调减少. (3) y?ln(x?1?x2)； 解: 函数定义域为(??,??)，y??11?x2?0,故函数在(??,??)上单调增加.

(4) y?(x?1)(x?1)；

2解: 函数定义域为(??,??),y??2(x?1)(2x?1)，则函数有驻点: x??1,x?31,在211(??,]内， y??0，函数单调减少；在[,??)内， y??0，函数单调增加.

22(5) y?xe (n?0,x?0)； 解: 函数定义域为[0,??)，y??nxn?1?xn?xe?xne?x?e?xxn?1(n?x)

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函数的驻点为x?0,x?n,在[0,n]上y??0，函数单调增加；在[n,??]上y??0，函数单调减少.

(6) y?x?sin2x； 解: 函数定义域为(??,??),

?x?sin2x, x?[nπ,nπ?πy???], n?Z,?2

?x?sin2x, x?[nπ?π??2,nπ], n?Z.1) 当x?[nπ,nπ?π2]时， y??1?2cos2x，则 y??0?cos2x??12?x?[nπ,nπ?π3]；

y??0?cos2x??πππ2?x?[nπ?3,nπ?2].

2) 当x?[nπ?π2,nπ]时， y??1?2cos2x，则

y??0?cos2x?1ππ2?x?[nπ?2,nπ?6]

y??0?cos2x?1π2?x?[nπ?6,nπ].

综上所述，函数单调增加区间为[kπkπ2,2?π3] (k?z)， 函数单调减少区间为[kππkπ2?3,2?π2] (k?z). (7) y?(x?2)5(2x?1)4. 解: 函数定义域为(??,??).

y??5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4

函数驻点为x11??2,x112?18,x3?2, 在(??,?12]内， y??0,函数单调增加，

在[?12,1118]上， y??0,函数单调减少，

在[1118,2]上， y??0,函数单调增加， 在[2,??)内， y??0,函数单调增加.

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故函数的单调区间为: (??,?]，[?16. 证明下列不等式: (1) 当0?x?1211111,]，[,??). 21818π时， sinx?tanx?2x; 2(1?cosx)(cos2x?cosx?1)证明: 令f(x)?sinx?tanx?2x,则f?(x)?, 2cosxπ时， f?(x)?0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x)?f(0)?0, 2即sin2x?tanx?2x.

当0?x?x2. (2) 当0?x?1时， e?sinx?1?2?xx2证明: 令f(x)=e?sinx?1?,则f?(x)=?e?x?cosx?x,

2?xf??(x)=e?x?sinx?1?e?x?(sinx?1)?0,则f?(x)为严格单调减少的函数,故

f?(x)?f?(0)?0,即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)?f(0?),即0x2e?sinx?1?.

2?x17. ⑴ 证明：不等式

x?ln(1?x)?x (x?0) 1?x证明：令f(x)?ln(1?x)在[0，x]上应用拉格朗日定理，则???(0,x),使得 f(x)?f(0)?f?(?)(x?0)

即ln(1?x)?xxx??x ,因为0???x，则

1??1?x1??即

x?ln(1?x)?x (x?0) 1?x⑵ 设a?b?0,n?1.证明： nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b).

n证明：令f(x)?x,在[b，a]上应用拉格朗日定理，则???(b,a).使得 a?b?n?nnn?1(a?b), ??(b,a)

n?1n?1n?1因为b???a,则nb(a?b)?n?(a?b)?na(a?b),

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即nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b). ⑶ 设a?b?0证明：

a?ba?ab?ln? .abb证明：令f(x)?lnx在[b，a]上应用拉格朗日定理，则???(b,a).使得

lna?lnb?1?(a?b)

因为b???a，所以

111a?b1a?b, ??, ?(a?b)?a?ba?ba?baa?b?ln?. abb⑷ 设x?0证明：

1?x . 1?x?12即

证明：令f(x)?1?x，x?[0,x],应用拉格朗日定理，有

f(x)?f(0)?f?(?)(x?0), ??(0,x) f(x)?f?(?)?x?f(0)?1x?1?x. 218. 试证:方程sinx?x只有一个实根.

即1?xx?1?1?

221??cosx1??0,证明:设f(x)?sinx?x，则f(x)?f(x)为严格单调减少的函数，因此f(x)至多只有一个实根.而f(0)?0，即x?0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根x?0，也就是sinx?x只有一个实根.

19. 求下列函数的极值: (1) y?x?2x?3；

解: y??2x?2,令y??0，得驻点x?1.

又因y???2?0，故x?1为极小值点，且极小值为y(1)?2. (2) y?2x?3x；

解: y??6x?6x,令y??0，得驻点x1?0,x2?1,

2322 76

y???12x?6,y??x?0?0,y??x?1?0,

故极大值为y(0)?0，极小值为y(1)??1. (3) y?2x3?6x2?18x?7；

解: y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1), 令y??0，得驻点x1??1,x2?3.

y???12x?12,y??x??1?0,y??x?3?0,

故极大值为y(?1)?17，极小值为y(3)??47. (4) y?x?ln(1?x)； 解: y??1?1?0，令y??0，得驻点x?0. 1?xy???1,y??x?0?0,故y(0)?0为极大值. 2(1?x)(5) y??x4?2x2；

解: y???4x?4x?4x(1?x)， 令y??0，得驻点x1??1,x2?0,x3?1.

32y????12x2?4, y??x??1?0,y??x?0?0,

故y(?1)?1为极大值，y(0)?0为极小值. (6) y?x?1?x； 解: y??1?31,令y??0，得驻点x1?,且在定义域(??,1]内有一不可导点x2?1，

421?x33335时， y??0;当x?时， y??0,故x1?为极大值点，且极大值为y()?. 44444因为函数定义域为x?1，故x?1不是极值点.

当x?(7) y?1?3x4?5x2；

解: y??12?5x(4?5x2)3,令y??0，得驻点x?12. 577

当x?125时， y??0；当x?125，y??0,故极大值为y(1215)?10205. (8) y?3x2?4x?4x2?x?1；

解: y?3?x?1?xx2?x?1,y??(x?2)(x2?x?1)2, 令y??0，得驻点x1??2,x2?0.

???(?2x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x)(x2?x?1)3 y??x??2?0,y??x?0?0,

故极大值为y(0)?4，极小值为y(?2)?83. (9) y?excosx； 解: y??ex(cosx?sinx), 令y??0，得驻点xk?kπ?π4 (k?0,?1,?2,?). y????2exsinx，y??x?2kπ?π?0,y??4x?(2k?1)π?π?0，

4故xπ22kπ?π2k?2kπ?4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?2e4; xπ?π2(2k?1)π?π2k?1?(2k?1)44 为极小值点，对应的极小值为y(x2k?1)??2e.

1(10) y?xx；

11解: y??xx(1xlnx)??xx1?lnxx2,

令y??0，得驻点x?e.

当x?e时， y??0，当x?e时， y??0, 1故极大值为y(e)?ee. (11) y?2ex?e?x；

78

解: y??2ex?e?x,令y??0，得驻点x??ln2. 2y???2ex?e?x,y??x??ln2?0,

2故极小值为y(?ln2)?22. 223(12) y?2?(x?1)； 解: y???21，无驻点. y的定义域为(??,??)，且y在x=1处不可导，当x>1时y??0，

33x?1当x<1时， y??0，故有极大值为y(1)?2. (13) y?3?2(x?1)； 解: y???1321.无驻点.y在x??1处不可导，但y?恒小于0，故y无极值. 233(x?1)(14) y?x?tanx.

解: y??1?sec2x?0, y为严格单调增加函数，无极值点.

20. 试证明：如果函数y?ax3?bx2?cx?d满足条件b?3ac?0，那么这函数没有极值.

2证明：y??3ax?2bx?c，令y??0，得方程3ax?2bx?c?0，

2222由于 ??(2b)?4(3a)c?4(b?3ac)?0，那么y??0无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

21. 试问a为何值时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?极小值？并求此极值. 解：f(x)为可导函数，故在x?13π处取得极值？它是极大值还是3π处取得极值，必有 3π?0，得a=2. f?()?(acosx?cos3x)π3x?3又 f??()?(?2sinx?3sin3x)π3πx?3??3?0，

所以x?ππ是极大值点，极大值为f()?3. 3354, x?(??,0)； x79

22. 求下列函数的最大值、最小值：

(1) f(x)?x2?

2(x3?27)?0，得唯一驻点x=－3 解：y的定义域为(??,0)，y??x2且当x?(??,?3]时，y??0，y单调递减；当x?[?3,0)时，y??0，y单调递增, 因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27. 又limf(x)???，故f(x)无最大值.

x???(2) f(x)?x?1?x, x?[?5,1]；

解：y??1?31?0，在(?5,1)上得唯一驻点x?，

421?x又 y????3??4?5, y(1?) 1,y?(?5)?6, 45故函数f(x)在[－5，1]上的最大值为

5，最小值为6?5. 4(3) y?x4?8x2?2, ?1?x?3.

解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，

而 y(－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 23. 求数列??n?的最大的项.

??n?1000?x,

x?10001(x?1000)?x(x?1000)2?x?1000?2x1000?x?

2x(x?1000)22x(x?1000)2解：令y?y??2x令y??0得x=1000.因为在(0，1000)上y??0，在(1000,??)上y??0,

所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点，ymax?y(1000)?1000. 2000故数列?n?的最大项为a?1000.

?10002000?n?1000??b为端点的闭区间上的最大值和最a24. 设a为非零常数，b为正常数，求y=ax2+bx在以0和小值.

80

bb解：y??2ax?b?0得x??2a不可能属于以0和a为端点的闭区间上, 而 y(0)?0 ,y??b?2b2?a???a,

故当a>0时，函数的最大值为y??b??a???2b2a，最小值为y(0)?0;

当a<0时，函数的最大值为y(0)?0，最小值为y??b?2b2?a???a.

25. 已知a>0，试证：f(x)?11?x?11?x?a的最大值为2?a1?a.

??111?x?1?x?a,x?0?证明： f(x)???111?x?1?x?a,0?x?a

???1?1?x?11?x?a,x?a当x<0时，f?(x)?1?1?x?2?1?1?x?a?2?0;

当0此时令f?(x)?0，得驻点x?a?2，且f?a?4?2???2?a， 当x>a时，f?(x)??11?1?x?2??1?x?a?2?0,

又lim2?ax??f(x)?0，且f(0)?f(a)?1?a. 而f(x)的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得

故 f(x)4max??2?a,2?a1?a,0??2?a1?a. 26. 在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

h, 则圆柱体底圆半径为r2?h2解：设圆柱体的高为4，

81

?2h2?πV?π?r???h?πr2h?h3

44??令V??0, 得h?223r. 3即圆柱体的高为23r时，其体积为最大. 327. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am2，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知

1x?xy??π????a

2?2?21a?x2πa18得 y???xπ

xx812题图

截面的周长

12a112aπl(x)?x?2y?π?x?x??xπ?xπ?x??x,2x42x4

π2al?(x)?1??2,4x令l?(x)?0得唯一驻点x?8a，即为最小值点. 4?π即当x?8a时，建造材料最省. 4?π28. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为

L(x)?x2?1?1.52?(3?x)2 (0?x?3)L?(x)?x2.25?(3?x)2?(3?x)x2?1x2?12.25?(3?x)2

82

13题图

在0

V?(a?2x)2?x?4x3?4ax2?a2xV??12x2?8ax?a2

令V??0得驻点x?a2(不合题意，舍去)，x?a6. 即小正方形边长为

a6时方盒容积最大. 30. 判定下列曲线的凹凸性：

(1) y=4x－x2；

解：y??4?2x,y????2?0，故知曲线在(??,??)内的图形是凸的.

(2) y?sin(hx)； 解：y??coshx,y???sinhx.

由sinhx的图形知，当x?(0,??)时，y???0，当x?(??,0)时，y???0，故y=sinhx的曲线图形在(??,0]内是凸的，在[0,??)内是凹的.

(3) y?x?1x (x?0)；

解：y??1?12x2,y???x3?0，故曲线图形在(0,??)是凹的.

(4) y=xarctanx. 解：y??arctanx?x1?x2，

y???2(1?x2)2?0 故曲线图形在(??,??)内是凹的.

31. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：

(1) y?x3?5x2?3x?5；

解：y??3x2?10x?3

83

y???6x?10，令y???0可得x?53. 当x?53时，y???0，故曲线在(??,53)内是凸弧； 当x?553时，y???0，故曲线在[3,??)内是凹弧.

因此??5?3,20?27??是曲线的唯一拐点.

(2) y?xe?x；

解：y??(1?x)e?x, y???e?x(x?2)

令y???0，得x=2

当x>2时，y???0，即曲线在[2,??)内是凹的； 当x<2时，y???0，即曲线在(??,2]内是凸的. 因此(2，2e－

2)为唯一的拐点.

(3) y?(x?1)4?ex；

解：y??4(x?1)3?ex, y???ex?12(x?1)2?0 故函数的图形在(??,??)内是凹的，没有拐点.

(4) y=ln (x2+1)；

2x2(1?x2解：y??)1?x2, y???(1?x2)2 令y???0得x=－1或x=1.

当－1

当x>1或x<－1时，y???0，即在(??,?1],[1,??)内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).

(5) y?earctanx；

解：y??11?x2earctanx, y???1?2x(1?x2)2earctanx 令y???0得x?12.

84

当x?12时，y???0，即曲线在[12,??)内是凸的； 当x?12时，y???0，即曲线在(??,12]内是凹的，

故有唯一拐点(1arctan122,e). (6) y=x4(12lnx－7).

解：函数y的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.

y??4x3(12lnx?4), y???144x2lnx.

令y???0，在(0，+∞)，得x=1.

当x>1时，y???0，即曲线在[1,??)内是凹的; 当0

32. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

n(1) 12?xn?yn????x?y??2?? (x?0,y?0,x?y,n?1);

证明：令 f(x)?xn

f?(x)?nxn?1, f??(x)?n(n?1)xn?2?0，

则曲线y=f(x)是凹的，因此?x,y?R?，

f??x?y?f(x)?f(y?2???)2, n即 ??x?y??2???12(xn?yn).

(2)ex?eyx?y2?e2 (x?y);

证明：令f(x)=ex

f?(x)?ex, f??(x)?ex?0.

则曲线y=f(x)是凹的，?x,y?R, x?y

则 f??x?y??f(x)?f(y?2?)?2

85

x?yex?ey即 e2?2.

(3) xlnx?ylny?(x?y)lnx?y2 (x?0,y?0,x?y) 证明：令 f(x)=xlnx (x>0)

f?(x)?lnx?1, f??(x)?1x?0 (x?0) 则曲线y?f(x)是凹的，?x,y?R?，x≠y，有

f??x?y?f(x)?f(y)?2???2 即 x?yx?y2ln2?12(xlnx?ylny)， 即 xlnx?ylny?(x?y)lnx?y2.

33. 求下列曲线的拐点：

(1) x?t2,y?3t?t3;

解：dy3?3t2dx?2t, d2y3(t2?1)dx2?4t3 令d2ydx2?0，得t=1或t=－1 则x=1，y=4或x=1，y=－4

当t>1或t<－1时，d2ydx2?0，曲线是凹的，

当0

故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).

(2) x=2acotθ， y=2asin2θ. 解：

dy2a?dx?2sin??cos?2a?(?csc2?)??2sin3?cos? d2y211dx2?(?6sin?cos2??2sin4?)?2a(?csc2?)?a?sin4?cos2(3?tan2?)d2令yππdx2?0，得??3或???3，

86

ππd2y不妨设a>0，不失一般性，当3?tan???3时，即????时，2?0，

33dxππd2y当tan??3或tan???3时，即???或??时，2?0,

33dx故当参数??

ππ?233??233?或???时，都是y的拐点，且拐点为?a,a?及??a,a?. 332??32??334. 试证明：曲线y?x?1x2?1有三个拐点位于同一直线上. 证明：y???x2?2x?1(x2?1)2， y???2(x?1)(x?2?3)(x?2?3)(x2?1)3 令y???0，得x??1,x?2?3,x?2?3 当x?(??,?1)时，y???0； 当x?(?1,2?3)时y???0； 当x?(2?3,2?3)时y???0； 当x?(2?3,??)时y???0,

因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2?3,?1?3?1?4),(2?3,34). 1?1?112?3?1?3因为

4=0 12?3?1?34因此三个拐点在一条直线上.

35. 问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？ 解：y′=3ax2+2bx, y″=6ax+2b 依题意有

??a?b?3?6a?2b?0 87

解得 a??39,b?. 2236. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a，b，c，d，使得x=－2处曲线有水平切线，(1，－10)

为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f(x)= ax3+bx2+cx+d

联立f(－2)=44，f ′(－2)=0，f(1)=－10，f ″(1)=0 可解得a=1，b=－3，c=－24，d=16.

37. 试决定y?k(x2?3)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：y??4kx(x2?3), y???12k(x2?1) 令y???0，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k， 只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点.

y?x??1??8k，那么拐点处的法线斜率等于?由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此

11x. ，法线方程为y??8k8k4k??122, 得32k?1, 32k??1(舍去) 8k故 k??12. ??83238. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f?(x0)?0,f??(x0)?0，而

f???(x0)?0，试问x=x0是否为极值点?为什么？又(x0,f(x0))是否为拐点？为什么？

答：因f?(x0)?f??(x0)?0，且f???(x0)?0，则x=x0不是极值点.又在U(x0,?)中，

????(????f?(，故f??(x)?f??(x?(x?x)(?x0x))f??(x)在x0左侧与f???(x0)异号，在0)0)f?x0右侧与f???(x0)同号，故f(x)在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即(x0,f(x0))是拐点.

39. 作出下列函数的图形：

(1)f(x)?x； 1?x2解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,

1?x2?2x21?x2y???22(1?x)(1?x2)2y???2x(x?3)(1?x2)32

令y??0，可得x??1， 令y???0，得x=0，?3,

88

列表讨论如下：

x y′ y″ y 0 0 0 (0，1) + － 1 0 － (1，－ 3) 3 (3，+∞) － － 0 拐点 － + 极大 当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线. 函数有极大值f(1)?11?3?,(0，0)，，极小值f(?1)??，有3个拐点，分别为??3,? ?22?4??3?，作图如上所示.

?3,??4?(2) f(x)=x－2arctanx

解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,

21?x2 4xy???(1?x2)2y??1?令y′=0，可得x=±1， 令y″=0，可得x=0. 列表讨论如下：

X y′ y″ Y 又

0 0 0 (0，1) － + 1 0 极小 (1，∞) + + limx???x??f(x)2?lim(1?arctanx)?1 x??xxx???且 lim[f(x)?x]?lim(?2arctanx)??π

故y?x?π是斜渐近线，由对称性知y?x?π亦是渐近线.函数有极小值y(1)?1?大值y(?1)?π，极2π?1.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2x2(3) f(x)?；

1?x解：函数的定义域为x?R,x??1.

89

2x(1?x)?x2x(x?2)y??? (x??1)(1?x)2(1?x)2

y???2(1?x)3令y??0得x=0，x=－2

当x?(??,?2]时，y??0,f(x)单调增加； 当x?[?2,?1)时，y??0,f(x)单调减少； 当x?(?1,0]时，y??0,f(x)单调减少； 当x?[0,??)时，y??0,f(x)单调增加, 故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0

又limx??1f(x)?limx2x??11?x??，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因limf(x)x??x?1x??f(x)?x)?lim?x2， 且lim(?x????1?x?x????1， 故曲线另有一斜渐近线y=x－1.

综上所述，曲线图形为：

(4)y?e?(x?1)2.

解：函数定义域为(－∞，+∞) .

y???2(x?1)e?(x?1)2y???e?(x?1)2?2(2x2?4x?1)

令y??0，得x=1.

90

令y???0，得x?1?2. 2当x?(??,1]时，y??0,函数单调增加； 当x?[1,??)时，y??0,函数单调减少；

当x?(??,1?22]?[1?,??)时，y???0，曲线是凹的； 22当x?[1?22,1?]时，y???0，曲线是凸的, 221?2?12故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：A(1?,e2),B(1?,e2)，

22又limf(x)?0，故曲线有水平渐近线y=0.

x??图形如下：

40. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族

y?建立了动物的生长模型.

A,???x???,A,B,C?0

1?Be?cxA的图像，参数A的意义是什么(设x表示时间，y表示?cx1?e(1) 画出B=1时的曲线g(x)?某种动物数量)？

Ace?cx解：g?(x)??0，g(x)在(－∞，+∞)内单调增加， ?cx2(1?e)?Ac2e?cx?Ac2e?cx?2(1?e?cx)?e?cx?Ac2e?cx(1?e?2cx) g??(x)??(1?e?cx)4(1?e?cx)4当x>0时，g??(x)?0,g(x)在(0，+∞)内是凸的. 当x<0时，g??(x)?0,g(x)在(－∞，0)内是凹的. 当x=0时，g(x)?

91

A. 2且limg(x)?0,limg(x)?A.故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特定

x???x???环境中)最大值，即承载容量.如图：

(2) 计算g(－x)+g(x)，并说明该和的意义；

解：g(?x)?g(x)?A1?ecx?A1?e?cx?A. (3) 证明：曲线y?A1?Be?cx是对g(x)的图像所作的平移.

证明：∵y?AA1?Be?c(x?T)?1?Be?cxe?cT 取Be?cT?1，得T?lnBc

即曲线y?A1?Be?cx是对g(x)的图像沿水平方向作了T?lnBc个单位的平移.

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