2013北京大兴区高三数学（文）一模试题及答案

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大兴区2013年高三统一练习

数学（文科）

一、选择题

（1）复数(1+i)2的值是

（A）2 （B）-2 （C）2i （D）-2i

2（2）设集合A={x|x>1}，B={x|log2x>0|}，则A?B等于 ，或x?1} （A）{x|x?1} （B）{x|x?0} （C）{x|x??1} （D）{x|x??1（3）执行如图所示的程序框图．若n?4，则输出s的值是 （A）-42 （B） -21 （C） 11 （D） 43 (4)设y1?40.7,y2?80.45,y3?()?1.5，则 开始 输入n s=1,i=1 12i?i?1 s=s+(-2)i （A）y3>y1>y2 （C）y1>y2>y3 （B ）y2>y1>y3 （D）y1>y3>y2 i≤n? 否 输出s (5)已知平面?,?，直线m,n，下列命题中不正确的是 ．（A）若m??，m??，则?∥? （B）若m∥n，m??，则n?? （C）若m∥?，????n，则m∥n （D）若m??，m??，则???． 是 结束 1?cos2x（6）函数f(x)? cosxππππ,)上递增 （B）在(?,0]上递增，在(0,)上递减

2222ππππ（C）在(?,)上递减 （D）在(?,0]上递减，在(0,)上递增

2222222（7）若实数a,b满足a+b≤1，则关于x的方程x-2x+a+b=0无实数根的概率为 ．

（A）在(?（A）

13π-23π+2 （B） （C） （D） 444π4π京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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（8）抛物线y=x(-2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是 （A）1 （B）2 （C）22 （D）4 二、填空题

（9）函数f()的最小正周期是 x?sincxosx（10）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为双曲线的方程是 23，实轴长为4，则2????????????（11）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，则(AE+AF) AC等于

．

禳镲118（12）已知数列{an},an+1=an+2，a1=1，数列镲的前n项和为，则n= . 睚镲aa37镲铪nn+1?2?x?1x?0?（13）已知函数f(x)??1 在区间[-1,m]上的最大值是1，则m的取值范围是 ． 2x?0??x（14）已知函数f(x)是定义在(0,+ )上的单调递增函数，且x?N*时，f(x)?N*，若f[f(n)]=3n，则

f(2)= ；f(4)+f(5)= 三、解答题 （15）（本小题满分13分） 在?中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=ABC(Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求sinC及?的面积． ABC

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π3，B=，b=452． 京翰高考网：http://gaokao.zgjhjy.com/

（16）（本小题满分13分）

一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表： 学生 数学 物理 A1 A2 A3 A4 A5 89 87 91 89 93 89 95 92 97 93 (Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定； (Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

（17）（本小题满分13分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，DABC是等边三角形，D是BC的中点. （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

（18）（本小题满分14分） 已知函数f(x)=(ax+1)ex．

（I）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a>0时，求函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值．

19.（本小题满分14分） 已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为?，点P的轨迹为曲线C。 (Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

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(20)（本小题满分13分）

已知数列{an}的各项均为正整数，且a1?a2???an， 设集合Ak?{x|x???a，?iii?1ni??1，或?i?0，或?i?1（}1≤k≤n）。

k性质1 若对于?x?Ak，存在唯一一组?i（i?1,2,???，k）使x???iai成立，则称数列{an}为完备数列，当

i?1k取最大值时称数列{an}为k阶完备数列。

（性质2 若记mk??a，且对于任意x≤mk，x?Z，都有x?Ak成立，则称数列{an}为完整数i1≤k≤n）i?1k列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完整数列。 性质3 若数列{an}同时具有性质1及性质2，则称此数列{an}为完美数列，当k取最大值时{an}称为k阶完美数列； （Ⅰ）若数列{an}的通项公式为an?2n?1，求集合A2，并指出{an}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列； （Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an?10n?1，求证：数列{an}为n阶完备数列，并求出集合An中所有元素的和Sn。 （Ⅲ）若数列{an}为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列{an}通项公式。

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2013年高三统一练习

高三数学（文科）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

(9)

22xyπ (10)??1(11)15 (12)18 (13)245 ??1,1? (14)3,15 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（本小题共13分） 解:（Ⅰ）因为cosA?43,A是?ABC内角 ,所以sinA?, 55 由正弦定理:a2ab8? 知? 得: a? 4πsinAsinB5sin54 （Ⅱ）在?ABC 中, sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B) ?sinAcosB?cosAsinB?423272 ????525210187228 ?ABC 的面积为:s?absinC???2? ?2251025 （16）（本小题共13分） 解：

（I) 5名学生数学成绩的平均分为:(89?91?93?95?97)?93 5名学生数学成绩的方差为: 1151[(89?93)2?(91?93)2?(93?93)2?(95?93)2?(97?93)2]?8 51 5名学生物理成绩的平均分为:(87?89?89?92?93)?90

5

5名学生物理成绩的方差为:

124[(87?90)2?(89?90)2?(89?90)2?(92?90)2?(93?90)2]? 55 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

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(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A

5名学生中选2人包含基本事件有：

A1A2, A1A3,A1A4,A1A5, A2A3,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5, 共10个.

事件A包含基本事件有：A1A4,A1A5,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共7个. 则 P(A)?7

10 所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为(17)（本小题共13分）

解: (Ⅰ)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?面ABC，所以AA1?BC, 在等边?ABC 中，D是BC中点，所以AD?BC

因为 在平面A1AD中，A1A?AD?A，所以 BC?面A1AD 又因为A1D?面A1AD，所以，A1D?BC

7. 10 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1//BC 所以，A1D?B1C1

(Ⅱ) 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形， 在平行四边形ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,联结DO. 故O为A1C中点.

在三角形A1CB中,D 为BC中点,O为A1C中点,故DO//A1B. 因为DO?平面DAC1,A1B ?平面DAC1,所以,A1B//面 ADC1 故,A1B与面 ADC1平行 （18）（本小题共14分） 解：定义域为R

f'(x)?(ax?1)'ex?(ax?1)(ex)'?ex(ax?a?1)

'x(Ⅰ)①当a?0时，f(x)?e?0,则f(x)的单调增区间为(??,??) ' ②当a?0时，解f(x)?0得, x??a?1a?1',解f(x)?0得, x??,

aa京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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a?1a?1,??),f(x)的单调减区间为(??,?) aaa?1a?1 ③当a?0时，解f'(x)?0得, x??,解f'(x)?0得, x??,

aaa?1a?1),f(x)的单调减区间为(?,??) 则f(x)的单调增区间为(??,?aa 则f(x)的单调增区间为(??a?0?(Ⅱ) ①当?a?1???2??a时, 即 当a?1时, f(x)在(?2,?a?1a?1)上是减函数,在(?,0)上是增函数,aa?a?1f(?)??ae则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为 aa?1a ?a?0? ②当?a?1时, 即 当0?a?1时, f(x)在[?2,0]上是增函数, ???2??a 则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为f(?2)?1?2a 2e?a?1a综上: 当a?1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为?ae 当0?a?1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）设P(x,y)，由题意知 kAP?kBP??1?2a 2eyy11???(x??2) ，即4x?2x?24x2?y2?1 (x??2) 化简得曲线C方程为：4（Ⅱ）思路一 满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y?k(x?2)，

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?1?1(x?2)， ，所以，设直线QB方程为y?44k?1)，易求M点坐标为M(4,6k) 当x?4时得N点坐标为N(4,2k由（Ⅰ）知kQB?k?所以|MN|?6k?111=|6k|??2|6k|??23，

|2k|2k|2k|当且仅当k??3时，线段MN的长度有最小值23. 6思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y?k(x?2)， ?x2??y2?1联立方程：?4 ?y?k(x?2)?2222消元得(4k?1)x?16kx?16k?4?0， 设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2)， 16k2?4由韦达定理得：?2?x0?， 4k2?14k?8k2?2y?所以x0?，代入直线方程得， 0224k?14k?12?8k24k所以Q(,)，又B(2,0) 21?4k1?4k24k?0211?4k所以直线BQ的斜率为, ??4k2?8k2?21?4k2以下同思路一 思路三：设Q(x0,y0)，则直线AQ方程为y?y0(x?2) x0?2直线BQ的方程为y?y0(x?2) x0?2当x?4，得yM?当x?4，得yN?6y06y0，即M(4,) x0?2x0?22y02y0，即N(4,) x0?2x0?2京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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则MN?6y02y02x?8 ??2y0?20x0?2x0?2x0?42x0?82) x02?4MN?4y02?(2又x02?4y02?4

4(x0?4)2所以MN?

4?x022利用导数，或变形为二次函数求其最小值。 （20）（本题满分13分）

解：（Ⅰ）A2?{?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4}；

{an}为2阶完备数列，n阶完整数列，2阶完美数列；

（Ⅱ）若对于?x?An，假设存在2组?i及?i（i?1,2?,n）使x???aii?1ni成立，则有

?1100??2102????n10n?1??1100??2102????n10n?1，即

(?1??1)100?(?2??2)101???(?n??n)10n?1?0，其中?i,?i?{?1,0,1}，

必有?1??1,?2??2??n??n， 所以仅存在唯一一组?i（i?1,2?,n）使x???aii?1ni成立，

即数列{an}为n阶完备数列；

Sn?0，对?x?An，x???iai，则?x????iai??(??i)ai，因为?i?{?1,0,1}，则??i?{?1,0,1}，

i?1nnni?1i?1所以?x?An，即Sn?0

（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知An中必有3个元素，由（Ⅱ）知An中元素成对出现（互为相反数），且0?An，又{an}具有性质2，则An中3个元素必为

nn3n?13n?33n?33n?1An?{?,?,??1,0,1,?,}。

2222an?3n?1

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