《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、 晶体的结构

习 题 1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，

?3; （2）体心立方, ?; 6822?; （4）六角密积，?; 663?; 16（3）面心立方，

（5）金刚石结构，

[解答]

设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，

设 n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体

4n?r3积，则致密度?=3

V（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，

如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为

3a?4r,V?a3,

面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以

?=

433?(a2)a3??6

（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如

图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为3a?4r,V?a3,晶胞内包含2个原子，所以

?=

2*43?(a33a34)?3? 8

图1.3 体心立方晶胞

（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为

2a?4r,V?a3，1个晶胞内包含4个原子，所以

?=

4*43?(a32a34)?2?. 6

图1.4面心立方晶胞

（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，

图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体

晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高

c2a?2r? h=2 332晶胞体积 V= ca2sin60??32ca, 2一个晶胞内包含两个原子，所以

ρ=

a32*43?(2)32ca2?2?. 6（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为

3a?8r,

晶胞体积 V?a3,

图1.7金刚石结构

一个晶胞内包含8个原子，所以

8*43?(33a)3?8?. 316a

ρ=

2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122），和（210）晶面。 [解答]

??

图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。

3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为

a1a2a3c,,,在C轴上的截距为

lhkm证明：h?k??m求出 O,A1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5 和A1A3A5 四个面的面指数。

图1.9六角晶胞对称画法

[解答]

设 d是晶面族（hkml）的面间距， n是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最靠近原点的晶面在a1a2a3,c 轴上的截距分别为 a1/h,a2/k,a3/m,c/l 所以有

a1?n=hd, a2?n=kd,

a3?n=md.

因为

a3??(a2?a3), 所以

a3?n??(a2?a3)?n。 由上式得到

md=?(hd?kd).

即

m??(h?k),

由图可得到： O'A1A3 晶面的面指数为(1121) A1A3B3B1面的面指数为(1120)

??A2B2B5A5晶面的面指数为(1100)

?A1A3A5晶面的面指数为(0001)

4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 a1,a2,a3的末端分别落在离原点的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上，试用反证法证明：h1,h2,h3是互质的。 [解答]

设该晶面族的单位法量为 a1,a2,a3 由已知条件可得

a1?n?h1d,a2?n?h2d,a3?n?h3d,

假定h1,h2,h3 不是互质数，且公约数 p?1 即

h1?pk1,h2?pk2,h3?pk3

k1,k2,k3是互质的整数，则有 a1?n?pk1d,a2?n?pk2d,a3?n?pk3d

今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为

r?l1a1?l2a2?l3a3, 由于 心定是整数，而且

r?n?d?l1a1?n?l2a2?n?l3a3?n 于是得到

pk1l1?pk2l2?pk3l3?1 由上式可得

k1l1?k2l2?k3l3?1 p上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p为不等于1的整数的假定。也就是说，p只能等于1，即h1,h2,h3 一定是互质数。

5．证明在立方晶体中，晶列[hkl]与晶面（hkl）正交，并求晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2)的夹角。

[解答]

设d 是为晶面族（hkl）的面间距 ，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl）将 a,b, c分别截为h,k,l 等份，即

a?n=acos(a,n)=hd, b?n=bcos(b,n)=kd, c?n=ccos(c,n)=ld 于是有

ddd n=hi+kj+lk

aaad=(hi+kj+lk) a

其,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl]

的方向矢量为

R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk) 由（1），（2）两式得

dn=2R a即n与R 平行，因此晶列[hkl]与晶面（hkl）正交。

对于立方晶系，晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2) 的夹角，就是晶列 R与晶列

R2=h2a+k2b+l2c

的夹角，设晶面 (h1k1l1)与晶面 (h2k2l1) 的夹角为 ? 由

2222?k2?l2acos? R1?R2=R1R2cos??h1?k12?l12h221=h1a+k1b+l1c

=h1h2a2?k1k2a2?l1l2a2 得

??cos?1{h1h2?k1k2?l1l2(h?k?l)(h?k?l212121222222}

6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数；

（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。

[解答]

图1.10 面心立方晶胞

??（1） 矢量BA与矢量BC的叉乘即是 ABC 面的法矢量

???11BA=OA?OB?(a?b)?(b?c)?(2a?b?c),

22???111BC?OC?OB?[c?(a?b)]?(b?c)?(a?c),

222?1?1a BA?BC?(2a?b?c)?(a?c)?(a?3b?c).

224因为对立方晶系，晶列[hkl]与晶面族（hkl）正交，所以ABC 面的密勒指数为

(131).

???11（2）AC?OC?OA?[c?(a?b)]?(a?b)??(a?b?2c).

22??可见 AC 与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[112].

?由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系

a??a1?a2?a3, b?a1?a2?a3, c?a1?a2?a3

晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(a1?a2?2a3) 由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]

7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 [解答]

设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为

aa1?(j?k),

2a(k?j),2

aa3?(i?j).2a2??由倒格矢公式

b1?2?[a2?a3]2?[a3?a1]2?[a1?a2],b2?,b3?, ???可得其倒格矢为

2?(?i?j?k),a2?b2?(i?j?k),

a2?b3?(i?j?k).ab1?设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为

a(?i?j?k),2aa2?(i?j?k),

2aa3?(i?j?k).2a1?以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。

将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 b1?2?[a2?a3]2?[a3?a1]2?[a1?a2],b2?,b3?. ???则得其倒格子基矢为

2?(i?k),a2? b2?(k?i),

a2?b3?(i?j).ab1?可见体心立方的倒格子是面心立方。 8．六角晶胞的基矢

3aai?j,223ab??ai?j,

22C?cka? 求其倒格基矢。 [解答]

晶胞体积为 ??a?[b?c]

3a3aai?j)?[?(ai?j)?(ck)]2222

32?ac.2?(其倒格矢为

2?[b?c]?3a2?2?[(?ai?j)?(ck)]?223a2ca??2?3(i?j).a32?[c?a]b???3a2?2?[(ck)?(ai?j)]?223a2c?2?3(?i?j).a32?[a?b]c???3a3a2?2?[(ai?j)?(?ai?j)]?22223a2c 2?

?kc9．证明以下结构晶面族的面间距：

?（1） 立方晶系:dhkl?a[h?k?l],

hkl?1（2） 正交晶系:dhkl?[()2?()2?()2]2

abc2212?2（3） 六角晶系:dhkl4h2?k2?hkl2?1?[()?()]2 23ca（4） 简单单斜:dhkl1h2l22hlcos?k2?1?[2(2?2?)?2]2.

acsin?acb[解答]

（1）设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k,则正格子基矢为

a?ai,b?bj,c?ak,

图1.11立方晶胞

倒格子晶矢为

2?2?2?a??i,b??j,c??k.

aaa与晶面族(hkl)正交的倒格为

Khkl?ha??kb??lc?.

由晶面间距 dhkl与倒格矢Khkl的关系式

dhkl?得，

2?Khklah?k?l222

dhkl?.（2）对于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但晶格常数a?b?c.设沿晶轴

a,b,c的单位矢量分别为i,j,k 则正格子基矢为 a?ai,b?bj,c?ck,

倒格子基矢为

2?2?2?a??i,b??j,c??k.

abc与晶面族 (hkl) 正交的倒格为

图1.12正交晶胞倒

Khkl?ha??kb??lc?.

由晶面间距 dhkl 与倒格矢Khkl的关系式

dhkl?得

dhkl2? Khklh2k2l2?1?[()?()?()]2 abc（2） 对于六角晶系，a?b?c,????90?,??120?,晶面族 (hkl) 的面间距

''\\12．证明晶面 ?h1h2h3?,h1'h2h3 及 h1\h2h3 属于同一晶带的条件

????h1h2'h2\h2h3h3'?0

\h3 h1'h1\[解答]

''\\设原胞坐标系中的倒格子基矢为b1,b2,b3, 则晶面?h1h2h3?，h1'h2h3及 h1\h2h3

????的倒格矢分别为

Kh?h1b1?h2b2?h3b3,'Kh'?h1'b1?h2b2?h3'b3, \\Kh\?h1\b1?h2b2?h3b3.

当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢KhKh'Kh\ 即KhKh'Kh\ 位于同一平面上,于是有

Kh?Kh'?Kh\?0 利用正倒格子的关系

a`?2??b3?b1?2??b1?b2?2??b1?b2?,b?,b?23????????得

\'\'\\?b2?b3??h3'h1\?h1'h3\?b3?b1Kh'?Kh\???h1'h2?h2h1?b1?b2??h2h3?h3'h2??h1'?[\2?h1''h2h2a?\\3h2h2h3'h3'a?\\1h3h3h1'a],\2h1

式中??为倒格原胞体积,于是得到

h1'1Kh??Kh'?Kh\??h3\??h1h1? h1'h1\h2'h2\h2h3h3'.\h3''h2h2?h1\\h2h2h3'h3'?h2\\h3h3h1'h1\

代入(1)式,得

h1h1'h1\h2'h2\h2h3h3'?0 \h3

''13.晶面 ?h1h2h3?,h1'h2h3 的交线与晶列

??Rl?l1a1?l2a2?l3a3, 平行,证明

l1?h2'h2h3h3',l2?h3h3'h1h1,l3?'h1h1'h2'h2.

[解答]

''与晶面?h1h2h3?,h1'h2h3垂直的倒格矢分别为

??Kh?h1b1?h2b2?h3b3,Kh'?hb?hb?hb,'11'22'33

晶面的交线应同时与Kh和Kh'垂直,即与Kh?Kh'平行,而

h1Kh?Kh'?'h1??2??h2h2b?b2?''1h2h2a3?h2'h2h3h3b2?b3?'h3'h3h1?a2?,h1?h1b3?b1h1?h1?'?h1h2'h2h3h3a?1h3'h3'

式中 ???b1??b2?b3? 为倒格原胞体积 ,a1,a2,a3 为正格原胞基矢

''已知晶面?h1h2h3?,h1'h2h3的交线与晶列Rl?l1a1?l2a2?l3a3平行,即Rl和

??Kh'?Kh\平行,因此l1,l2,l3 可取为 l1?h2h'2h3h'3,l2?h3h'3h1h'1,l3?h1h'1h2h'2.

14．今有正格矢 u?la1?ma2?na3,v?l'a1?m'a2?n'a3, w?l\a1?m\a2?n\a3.其中l,m,n; l',m',n'及l\,m\,n\均为整数,试证u,v,w 可选作基矢的充分条件是

lnl'n'l\m\??1. n\mm'[解答] 解法一:

固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个无同的特点,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。因此 u,v,w 可选作基矢的充分条件是，由基矢

u,v,w 构成的原胞体积一定等于由基矢a1,a2,a3 构成的原胞体积，即

u??v?w??a1??a2?a3??? 将

u?la1?ma2?na3,v?l'a1?m'a2?n'a3, w?l\a1?m\a2?n\a3代入u??v?w?得

u??v?w?

?u?l'm\?m'l\?a1?a2??m'n\?n'm\?a2?a3??n'l\?l'n\?a2?a3??nl'm\?m'l\??lm'n\ll'?mm'nn'l\m\?.n\????????nm???m?nl'\?'\?l'n\?????

将上式代入（1）得

lnl'n'l\m\??1. n\mm'

解法二：

设a1?xu?yv?zw，当u,v,w为基矢时，x,y,z应取整数值，将

u?la1?ma2?na3,v?l'a1?m'a2?n'a3, w?l\a1?m\a2?n\a3.代入a1?xu?yv?zw 得

a1?xu?yv?zw?xl?yl'?zl\a1?xm?ym'?zm\a2?xn?yn'?zn\a3. ?xl?yl'?zl\?1?由此得方程组?xm?ym'?zm\?0

?xn?yn'?zn\?0?解方程得

??????1l'1x?0m'?0n'l\m\,n\l1l\1y?m0m\,?n0n\ll1z?mm'?nn'll'??mm'nn''10,0l\m\.n\

由于x,y,z的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，x,y,z为整数，因此

u,v,w可选作基矢的充分条件是

lnl'n'l\m\??1 n\mm'15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为?hkl?，求对应的原胞坐标中的面指数?h1h2h3? 若已知?h1h2h3?求对应的密勒指数?hkl?。

[解答]

由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1,b2,b3 与晶胞坐标系中的倒格基矢a?,b?,c?的关系为

2???i?j?k????a??b??c??,a2??i?j?k???a??b??c??, b2?a2??i?j?k???a??b??c??.b3?ab1?也即

2?1i??b2?b3?,a22?1b??j??b3?b1?,

a22?1c??k??b1?b2?.a2a??与晶面族?hkl? 垂直的倒格矢

Khkl?ha??kb??lc??1??k?l?b1??l?h?b2??h?k?b3?211?pKh1h2h3?p?h1b1?h2b2?h3b3?,22

Kh1h2h3与晶面族 ?h1h2h3? 正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl)则原胞坐标系中的面指数

?h1h2h3??1?(k?l)?l?h??h?k??

p其中 p是(k?l),?l?h?,?h?k?的公约数 同样

Kh1h2h3?h1b1?h2b2?h3b3???h1?h2?h3?a???h1?h2?h3?b???h1?h2?h3?c??pKhkl?pha?kb?lc.''?????

Khkl与晶面族 (hkl) 正交，因此，若已知晶面族的面指数 ?h1h2h3? 则晶胞坐标系中的面指数 (hkl)?1???h1?h2?h3??h1?h2?h3??h1?h2?h3??, 'p其中 p' 是 ??h1?h2?h3?,?h1?h2?h3?,?h1?h2?h3? 的公约数。 16．证明不存在5度旋转对称轴。 [解答]

已知钽金属为体心结构，求

（1） 衍射晶面族的晶面指数； （2） 晶格常数a [解答]

（1） 对于立方晶体，晶面族 （hkl） 的面间距

dhkl?ah?k?l222,

布拉格反射公式

2dhklsin??n?

相应化为

??nh?2??nk?2??nl?2. sin??2a可见 sin?与衍射面指数的平方和的开根成正比，由已知条件可知

sin19.611?: sin28.136?:sin35.156?:sin41.156?:sin47.769??1:1.405:1.7156:1.9608:2.2061.

对于体心立方晶系，衍射面指数的和n（h+k+l） 为偶数出现衍射极大，因此，对应衍射角由小到大排列的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310），而

12?12?0:22?0?0:12?22?12:22?22?0:32?12?0 ?1:4.414:1.732:2.00:2.236..从各衍射角的正弦之比与衍射面指数的平方和的开根之比可以看出，二者比值是十分接近的，存在的小小偏差，可能是测量误差所致，因此，对应布拉格角大小为序的五条衍射线的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310）。 （2）将??1.5405??,??19.611?,?nhnknl???110? 代入sin???2a?nh?2??nk?2??nl?2

?得到钽金属的晶格常数a?3.246?

21．铁在20?C 时，得到最小三个衍射角分别为 8?12',11?38',14?18'; 当在 1000?C 时，最小三个衍射角分别变成7?55',9?9',12?59'. 已知在上述温度范围，铁金属为立方结构。

（1）试分析在20?C和1000?C下，铁各属于何种立方结构？ （2） 在 20?C 下，铁的密度为7860kgm3求其晶格常数。

[解答]

（1）对于立方晶体，晶面族（hkl）的面间距为

dhkl?ah?k?l222

布拉格反射公式 2dhks??n? lin相应化为

sin??nh?2??nk???nl?22??2a.

可见 sin? 与

?nh?2??nk?2??nl?2 成正比

对于体心立方元素晶体，衍射面指数和 n（h+k+l） 为奇数时，衍射消光；衍射面指数和 n（h+k+l） 为偶数时，衍射极大，因此，对应最小的三个衍射面指数依次为（110），（200），（211）.这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比为

12?12?0:22?0?0:22?12?12 ?1:4.414:1.73205.铁在 20?C 时，最小的三个衍射角的正弦值之比 sin8?12':sin11?38':sin14?18'

=0.142628:0.201519:0.246999?1:1.41421:1.731777

可见，铁在20?C 时最小的三个衍射角的正弦值之比，与体心立方元素晶体最小的三个衍射面指数的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近（存在偏差一般是实验误差所致）。由此可以推断，铁在 20?C 时为体心立方结构。

对于面心立方元素晶体，衍射面指数 nh,nk,nl 全为奇数或全为偶数时，衍射极大，对应闻小三个衍射角的衍射面指数依次为 (111),(200),(220) 这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比为

12?12?12:22?02?02:22?22?02?1:1.15470:1.63299 铁在 1000?C 时最小的三个衍射角的正弦值之比

sin7?55':sin9?9':sin12?59' =0.137733:0.159020:.224668 =1:1.15455:1.63118

?C 时最小的三个衍射角的正弦值之比，与面心立方元素晶体可见，铁在1000最小的三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近，由此可以推断，铁在 时为面立方结构

（2）铁在时为体立心结构，一个晶胞内有两个原子，设原子的质量为m，晶格常数为a，则质密度

2m??3

a晶格常数则为

a?32m?.

55.847?10?3kg, 一个铁原子的质量 m?236.022?10最后得铁在20?C时的晶格常数

a?2.855?

?

???22．对面心立方晶体，密勒指数为 ?121? 的晶面族是否出现一级衍射斑点，

??从光的干射说明之。

[解答]

由本章第10题可知，对于面心立方晶体，晶面族?h1h2h3? 的面间距

dh1h2h3?a??h1?h2?h3?2??h1?h2?h3???h1?h2?h3?22.

由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数?h1h2h3? 与晶面指数（hkl）的转换关系为 ?h1h2h3??将上式代入前式得 dh1h2h3?1??k?l??l?h??h?k??. p'p'a2h?k?kah?k?k222222,

因为立方晶系密勒指数晶面族的面间距 dhkl?,

所以对于立方晶系，两套晶面指数对应的晶面族的面间距的关系为

dh1h2h3p'?dhk.l 2将上式代入两套坐标中的布拉格反射公式 得到

2dh1h2h3sin??n'?,2dhks??nlin

2n' n?'

p???将密勒指数?121?代入（1）式，得

?? ?h1h2h3???30?1.

???由上式可知，p?1,n?2n这说明，对于密勒指数 ?121? 的晶面族，衍射极大

??''???的最小级数是2，或者说，对于密勒指数?121?的晶面族，它的一级衍射是消光

?????的，对于密勒指数?121?的晶面族，它一级衍射产生的原因可从光的干涉来解释。

?????图1.18示出了?121?晶面族的1级衍射情况，1与3晶面的面间距为dhkl 对于该

??晶面族的1级衍射，有

2dhks??? lin对照衍射示意图1。18上式恰好是1与3晶面产生的光程差，也就是说1与3

晶面产生的光程差为1个波长，由此推论，1与3晶面的反射光的相位差为2?， 它们的确是相互加强的，但实际（对于非复式格子）的面间距为 dh1h2h3?dhkl 2即1与3晶面中间实际还有1个原子层，在这种情况下，相邻原子层的反射光的相位差为 ? 衍射光是相互抵消的，这就是密勒指

??? 图1.18?121?面的一级衍射

?????数?121?的晶面族一级衍射产生消光的原因. ??23．设有一面心立方结构的晶体，晶格常数为a.在转动单晶衍射中，已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为?hkl? 求证

?m? sinmp?ah?k?l222,

其中p是一整数，?m是第m个衍射圆锥母线与?hkl?晶面的夹角。参见图1.19所示反射球，

图1.19反射球

[解答]

转动单晶衍射法，晶体正格子转动，倒格子也转动，倒格点可以看成分布在与转轴垂直的，等间距的一个个倒格晶面上，由于倒格晶面旋转，落在反射面球面上的倒格点的迹线形成一个个圆，反射球心到迹线上任一点的边线即是 衍射极大的方向反射球心到任一迹线连线构成一个个圆锥面。

设本题晶体一与转轴垂直的倒格面面指数为(l1l2l3) 则倒格面的面间距 d??2?Rl1l2l3?2?.

l1a?l2a?l3a其中正格矢 与倒格面 垂直，即与转轴平行，由图1。19得

md??m?, sin2??其中 是 的光的波矢，即反射球的半径，现在已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为（hkl） 由题5可知，晶列 Rhkl?ha?kb?lc

与转轴平行，利用面心立方结构晶胞基矢与原胞基矢的关系

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