《实变函数》试卷B题目 2006 夏(060522)

《实变函数》试卷

： 级——————————————————班密

———— 封

———— 线

———— 内

： 名姓———— 答

———— 题

———— 无

———— 效

：号学———————————

石家庄铁道学院2005-2006学年第二学期

级本科班期末考试试卷B

课程名称： 实变函数 考试时间： 120 分钟

考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）

一、

填空题（每小题4分，共48分）

1． 设A12n 1 [0,2

2n 1

],n 0,1,2,

，A2n [0,1

12n

]

,n =1,2,…

－

则：limn

An= An= 。

n

2． 设E Rn, 则包含于E的最小开集是 ,包含E的最小闭集是

E

3． 设

I (x,y)|0 x 1,0 y 1 ,R

2

(x1,x2)| x1,x2

给出使I到R2对等的映射的解析表达式

(x,y) f(x,y) (tan( x

2

),tan( y

2

))

1

《实变函数》试卷

4． 给出三角函数系的一个无穷序列形式，说明其为可数集

1,sinx,cosx,sin2x,cos2x, ,sinnx,cosnx,

5． 设a表示可数集的基数，

c表示连续基数，则

a a=a, c c=c

6． 2a=c

7． 设A (x1,x2)|a x1 b,x2 0 ，则A0= ；

/

A={(x1,x2)|a x1 b,x2 0}。

8

9．设G1,G2是Rq中互不相交的开集，则G1 G2=

10．康托尔集的基数是c

11．设G Rn,若 E Rn,都有G E G E,

则G为 开集 （开或闭集）

12．设f(x)是[a,b]上的严格增函数，记 E x [a,b]|Df(x) ，

则mE= 0

2

《实变函数》试卷

——————————————————————————————————————————————————————————

二、 简答题（每小题5分，共10分）

1、设m*E=0,证明mE=0。

证：设F是Rn中的任一点集，由外测度的单调性，有

m(F E) m(F CE) mE mF mF

……2分

再由外测度的次可加性，

mF m(F E) m(F CE)…………………….4

密

分

封

故m F m (F E) m (F CE)，

从而E可测,故mE=0………………………………….5分

2、任一有理数r,集E[f r]都可测，讨论f(x)在E上的可测性。

解：对任一实数a，

可取单调递减趋于a的有理数列{rn}……………….2分

因E[f a]

线

内

答

E[f

n 1

rn]…………………………….4

分

故E[f a]可测,即f(x)在E上可测………………...5分

题

三、 （每小题7分，共14分）

sin,x 0

f(x) x

0,x 0

无

1、设，求f(x)在x 0处的列导数。

效

解: a R,取hn

12n

a2n

,………………………………..3分

3

《实变函数》试卷

sin

hn

a…………………………………………....6

则lim

n

hn

分

即Df(0) a…………………………… …………………..7分

2、讨论Dirichlet函数D(x)是否有界变差和绝对连续。

四、 ———— 密

五、————封

————

线

解:由于有界变差函数的不连续点有至多可数个,…………2分

而D(x)的不连续点不是至多可数个,…………………..4分 所以D(x)不是有界变差函数,…………………………..5分

从而也不是绝对连续函数…………………………………7分

（本题6分）在D: 1 x 1, 1 y 1 上定义

x y f(x,y) (x2 y2)2,x2 y2

0, 讨论f(x,y)在D上的可积性。 0,x y 0

解:如果f(x,y)在D上可积,则f(x,y)在D/:0 x 1,0 y 1上也可

积,………………………………………………………………2分

从而二次积分

1

1

x y0

(x2

y2

)2

存在……………………….4分

但当x 0时， 1

x y

1x0

(x2 y2

)

2

2x

2(x2

1)

勒贝格不可积…6分

故上述二次积分不存在,即f(x,y)在D上不可积……………7分

（本题8分）已知

123

1 x (1 x) (x x) ...,0 x 1，

计算1

1 1

12

3

4

...

4

《实变函数》试卷

解:令 n(x) x2n 2 x2n 1则 n(x)在[0,1]上非负可测…………………2分 由勒贝格逐项积分定理,有: 又因为

11 x

i

(0,1)

i 1

(x)dx

i 1

(0,1)

i(x)dx………4分

与 n(x)在[0,1]上非负可测且黎曼可积,从而勒贝格可积,

1

且有相同的积分值,故

(0,1)

i(x)dx

i 1

11 x

12

dx ln2

…………...6分

而

i 1

(0,1)

i(x)dx

12

13

14

i 1

1

(x

2n 2

x

2n 1

)dx 1

13

14

……….7分

所以 1

...=ln2…………………………………………..8分

六、（本题6分）设在E上fn(x) f(x)，并且fn(x) fn 1(x)几乎处处

成立， n 1,2,... ，则几乎处处有fn(x)收敛于f(x) 证明: 由于fn(x) f(x),故存在子列 fn(x) fn(x) ,使得

k

fn(x) f(x)a.e.于E………………………………………1分

k

E[fnk(x)不收敛于f(x)],则mA 0E[f f]令A nn 1

n 1

………………3分 在E0 E A上,fn(x) fn 1(x)且fn(x) f(x),所以

k

n nk时,fn(x) fn(x) f(x)……………………….…….5分

k

故fn(x) f(x)a.e.于E ……………………………………6分 七、（本题8分）设f(x)是[a,b]上一有限实函数，则f(x)是[a,b]上某

个有界可积函数的不定积分的充要条件是f(x)在[a,b]上满足

5

《实变函数》试卷

Lipschitz条件。 证明:

充分性:若f(x)满足Lipschitz条件,则f(x)绝对连续,在[a,b]上几乎处

处存在有限导数f (x),且f (x)勒贝格可积,有

f(x)

x

a

f (t)dt f(a) 成立…………………………………2分

同时,存在常数K, x1,x2 [a,b],f(x2) f(x1) Kx2 x1 故f (x) Ka.e.于[a,b],即f(x)是[a,b]上某个有界可积函数的不定积分……………………………………………………………4分

必要性:若f(x)是[a,b]上某个有界可积函数g(x)的不定积分,即

f(x)

x

a

g(t)dt C, 且g(x) K,x [a,b] …………… ..6分

则 x1,x2 [a,b],有f(x2) f(x1)

x2

x1

g(t)dt Kx2 x1

即f(x)在[a,b]上满足Lipschitz条件…………………………8分

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mp51.html