最新有理数(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；

（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；

（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），

①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；

当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；

②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________

【答案】（1）-2

；4

（2）3

；2

；5

；2

；能.

理由：

当0＜t≤2时，t+2=4-2t

解之：

当t＞2时，t+2=2t-4

解之：t=6

∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.

【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，

∴a+2=0且b-4=0

解之：a=-2且b=4，

∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，

∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.

故答案为：-2，4.

（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；

当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长

度；

①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；

故答案为：3，2；

5，2

【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B 所表示的数。

（2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t 的值。

2．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数.

（1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示；

（2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________；

（3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________.

【答案】（1）解：距离A 点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求.

（2）；5；9

（3）；或1

【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 .

故答案为9.

（ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点，

得点表示的数是 .

到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1.

故答案为，或1.

【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。

（2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。

（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。

3．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒

（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；

（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.

【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB，

故2PB+PB＝AB，

代数可得PB＝8，

故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；

当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，

所以2PB﹣PB＝AB，

故PB＝AB＝24，

故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.

（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；

第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，

3t2﹣(t2+AB)＝4，

故3t2﹣(t2+24)＝4，

则t2＝14；

第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，

3t3+t3+4+AB＝2AC，

故3t3+t3+4+24＝2×48，

则t3＝17；

第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，

3t4+t4+AB＝2AC+4，

故3t4+t4+24＝2×48+4，

则t4＝19.

【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.

4．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点，数b的点与原点的距离相等。

（1）用“>”“<”或”=”填空：b________0，a+b________0，a-c________0 ，b-c________0 （2）|b-1|+|a-1|=________；

（3）化简：|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|。

【答案】（1）<；=；>；<

（2）a-b

（3）解：∵a+b=0，a＞c，b＜c，

∴原式=0+a-c-（-b）+c-b

=a.

【解析】【解答】解：（1）b＜0

∵表示数a的点，数b的点与原点的距离相等，

∴a+b=0；

∵a＞c，

∴a-c＞0；

∵b＜c，

∴b-c＜0.

故答案为：＜、=、＞、＜.

（2）∵b＜1，a＞1

∴b-1＜0，a-1＞0，

∴|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b；

故答案为：a-b；

【分析】（1）观察数轴可知b＜0，a与b互为相反数，a＞c，b＜c，由此可得答案。（2）观察数轴可知b＜1，a＞1，从而可判断出b-1，a-1的符号，然后化简绝对值，合并即可。

（3）由a+b=0，a＞c，b＜c，再化简绝对值，然后合并同类项。

5．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B 两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b；线段AB的中点M表示的数为

．

[问题情境]

已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10

，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

[综合运用]

（1）运动开始前，A 、B两点的距离为________；线段AB的中点M所表示的数________．

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B 运动t秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t的代数式表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B 两点重合，则中点M也与A，B两点重合）

【答案】（1）18；-1

（2）﹣10+3t；8﹣2t

（3）解：设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，根据题意得﹣10+3x=8﹣2x，

解得x= ，

﹣10+3x= ．

答：A、B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；

（4）解：由题意得， =0，

解得t=2，

答：经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒

个单位长度．

故答案为18，﹣1；﹣10+3t，8﹣2t．

【解析】【解答】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）=18；线段AB

的中点M所表示的数为 =﹣1；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；

【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b及线

段AB的中点M表示的数为即可求解；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程；（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，等量关系为：点A运动的路程+点B运动的路程=18，依此列出方程，解方程即可；（4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可．

6．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点

P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A ，B

，O，C，D的位

置如图所示，则；；

．请探索下列问题：

（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________

（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．

（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．

【答案】（1）5；A与C

（2）x+2

；-4或0

；1

（3）1019090

【解析】【解答】解：（1）|1?（?4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1?（?4）|表示点A与C之间的距离，

故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为?2，

∴PB＝|x?（?2）|＝|x＋2|，

当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝?4，

当x≤?4时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝?x?4＋1?x＋3?x＝?x≥4；

当?4＜x＜1时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋1?x＋3?x＝8?x，

当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋x?1＋3?x＝6＋x，

当x＞3时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋x?1＋x?3＝3x＞9，

∴当x＝1时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|有最小值；

故答案为：|x＋2|；?4或0；1（3）|x?1|＋|x?2019|≥|1?2019|＝2018，

当且仅当1≤x≤2019时，|x?1|＋|x?2019|＝2018，

当且仅当2≤x≤2018时，|x?2|＋|x?2018|≥|2?2018|＝2016，

…

同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x?1009|＋|x?1011|≥|1009?1011|＝2，

|x?1010|≥0，当x＝1010时，|x?1010|＝0，

∴|x?1|＋|x?2|＋|x?3|＋…＋|x?2018|＋|x?2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，

∴|x?1|＋|x?2|＋|x?3|＋…＋|x?2018|＋|x?2019|的最小值为1019090；

故答案为1019090．

【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．

7．观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB= ．根据以上信息回答下列问题：已知多项式

的次数是b

，3a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，

点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为 .

（1）A，B两点之间的距离是________.

（2）若满足AM = BM，则 ________.

（3）若A，M两点之间的距离为3，则B，M两点之间的距离是________.

（4）若满足AM + BM =12，则 ________.

（5）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，则点M所对应的数 ________.

【答案】（1）8

（2）2

（3）5或11

（4）-4或8

（5）-1012

【解析】【分析】（1）先根据多项式的次数的定义求出b，进而利用3a与b互为相反数的关系求出a，然后根据数轴上两点间的距离公式列式计算即可；

（2）利用两点之间的距离公式分别列出表示线段AM和BM的代数式，然后根据AM=BM 建立方程求解即可；

（3）根据两点间的距离公式，分点M在点A的左侧和右侧两种情况分别列出表示线段AM的代数式，然后由已知条件AM=3建立方程，从而求出m的值，进而根据两点间的距离公式求出BM；

（4）根据两点间的距离公式，分点M在点A的左侧和B的右侧两种情况分别列出表示线段AM和BM 的代数式，然后利用AM + BM =12列方程求解；

（5）可知点A连续运动两次实质上是向右移动1个单位长度，当运动了2018次时，实际上向右移动了1009个单位长度，则当运动第2019次时，则点M所对应的数为-2+1009-2019，得解。

8．观察下列两个等式：2﹣＝2× +1，5﹣＝5× +1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a ，b），如：数对（2，

），（5，），都是“共生有理数对”．

（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是________；

（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；

（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）

（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．

【答案】（1）

（2）是

（3）（0.-1）等

（4）解：∵（a，3）是“共生有理数对”，

∴a-3=3a+1

解之：a=-2.

【解析】【解答】（1）数对（﹣2，1）

∴-2×1+1=-1，-2-1=-3

-1≠-3

∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；

数对（3，）

∴，

∴数对（3，）是“共生有理数对”；

故答案为：（3，）；

（2）∵（m，n）是“共生有理数对”

∴m-n=mn+1

∴-n-（-m）=m-n

-n（-m）+1=mn+1

∴-n-（-m）=-n（-m）+1，

∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”

故答案为：是.

（3）∵0×（-1）+1=1

0-（-1）=1

∴（0，-1）是“共生有理数对”.

【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义：若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（2）若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（3）利用“共生有理数对”的定义，写出符合题意的“共生有理数对”即可。

（4）根据（a，3）是“共生有理数对”，建立关于a的方程，解方程求出a的值。

9．阅读材料，回答下列问题：

数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题。例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3?1|=2；

在数轴上,有理数5与?2对应的两点之间的距离为|5?(?2)|=7；

在数轴上，有理数?2与3对应的两点之间的距离为|?2?3|=5；

在数轴上,有理数?8与?5对应的两点之间的距离为

|?8?(?5)|=3；……

如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a?b|或|b?a|，记为|AB|=|a?b|=|b?a|.

（1）数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与?1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于________；

（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为?2，动点P表示的数为x.

①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=________；若|x+2|+|x?4|═10，则x=________；

②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值等于________ .【答案】（1）5；x+5；1或?3

（2）6；6或?4；8

【解析】【解答】(1)根据绝对值的定义：

数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于5；

数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；

A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或?3，(2)①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=6；

若|x+2|+|x?4|═10，则x=6或?4；

②|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值，

即x与4,2,0,?4之间距离和最小,这个最小值=4?(?4)=8.

故答案为：5，|x+5|，1或?3；6，6或?4，8.

【分析】（1）根据绝对值的定义：数轴上有理数-10与-5对应的两点之间的距离等于5；数轴上有理数x与-5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；若数轴上有理数x

与-1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或-3；（2）①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x-4|=6；若|x+2|+|x-4|═10，则x=6或-4；

②|x+2|+|x|+|x-2|+|x-4|的最小值，这个最小值=4-（-2）=6．

10．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值,即：点A、B表示的数分别为a、b,这两点之间的距离为AB= ，如:表示数1与5的两点之间的距离可表示为，表示数-2与3的两点之间的距离可表示为 .

（借助数轴，画出图形，写出过程）

（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是________,数轴上表示3和-6的两点之间的距离是________；

（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是________,如果|MN|，则x为________；

（3）当式子： |x+2|+|x-3|+|x-4| 取最小值时，x的值为________,最小值为________.

【答案】（1）｜2-7｜＝5；｜3-（-6）｜＝9

（2）｜x+2｜；-8或4

（3）3；6

【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是：|2-7|=5；

数轴上表示-3和-6的两点之间的距离是：|3-（-6）| =9；

故答案为：5，9；

（2）数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是：|x+2|，

如果|MN|=6，则|x+2|=6，

∴x+2=±6，

解得：x=4或x=-8，

故答案为：|x+2|，4或-8；

（3）|x+2|+|x-3|+|x-4|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示-2、3、4的三

点的距离之和，

显然只有当x=3时，取到最小值；

∴当x=3时，

最小值为：；

【分析】（1）和（2）主要是根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算；（3）结合数轴和两点间的距离进行分析.

11．已知：是最大的负整数，且、b、c满足（c﹣5）2+| +b|=0，请回答问题.

（1）请直接写出、b、c的值： =________，b=________，c=________.

（2）、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|（请写出化简过程）. （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）-1；1；5

（2）解：当0≤x≤1时x+1＞0，x﹣1≤0，x-5 0

则|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|

=x+1﹣(1﹣x）+2(5-x）

=x+1﹣1+x+10-2x

=10

（3）解：BC﹣AB的值不随的变化而改变，总为2

秒时，点A表示的数为，点B 表示的数为，点C 表示的数为，

此时，BC=（）-（）= ，

AB=（）-（）= ，

所以BC-AB=（）-（）=2

∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，总为2.

【解析】【解答】解：（1）∵是最大的负整数，

∴ =﹣1

∵（c﹣5）2+| +b|=0

∴c-5=0;a+b=0

∴b=1；c=5

【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性求值即可；（2）由0≤x≤1得出x+1＞0；x﹣1≤0；x-5 0，然后根据绝对值的意义进行化简；（3）分别表示出t秒后，点A,B,C 所表示的数，然后根据两点间的距离求得BC,AB的长度，然后进行计算并化简.

12．如图，点、、是数轴上三点，点表示的数为，，

.

（2）动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为秒.

①求数轴上点，表示的数（用含的式子表示）；

② 为何值时，点，相距个单位长度.

【答案】（1）2

；-10

（2）解：①根据题意得，点表示的数为，点表示的数为 .

②当点、相距个单位长度时，

若P 在Q的左侧，则，解得；

若P 在Q的右侧，则，解得，

所以的值为或

【解析】【解答】（）因为，所以表示的数为，

因为，所以表示的数为 .

【分析】（1）根据BC，AB的长和点B，A在数轴上的位置，可得到点B，A表示的数；（2）①点P表示的数比-10大4t，点Q表示的数比C小2t；②需要分两种情况讨论：若P在Q的左侧，PQ=6；若P在Q的右侧，PQ=6.

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