因式分解的概念及因式分解方法

因式分解的概念及因式分解方法（一）

教学目的：

使学生能够掌握因式分解的概念以及初步学会因式分解。

教学重点：

1. 应用定义区别因式分解与多项式相乘 2. 提公因式法的正确掌握与灵活应用

教学难点：

能够正确找出公因式

教学过程： 计算

（1）5a(b?3c)?________________

1???s?t??2? （2）?________________

（3）(5m?3n)(5m?3n)?_____________ （4）(x?3)(x?5)?___________________ 答案：（1）5ab?15ac

21s2?st?t24 （2）

（3）25m?9n （4）x?2x?15

1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分

解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意：

（1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。

（2）因式分解是一种恒等的变形

（3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。

例1. 判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解。

222?x2?x?x2?1?? （1）

1??x?

29x?3x?5?3x(3x?1)?5 （2）

（3）(a?b)(a?b)?a?b

2. 因式分解的方法，提公因式法。

多项式ma?mb?mc，各项都含有一个公因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式的公因式。

正确找出多项式各项的公因式是提公因式的关键，找多项式各项公因式的方法是： 当多项式的各项系数都是整数，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项中相同的字母，而且各相同字母的指数取次数最低的。

322232256xyz?14xyz?21xyz 例2.

22 各项系数的最大公约数是7，各项都含有的字母是x，y，z，x的指数最低的是1，y的指数最低的是1，z的指数最低的是2，因式公因式是7xyz

2a(a?b)?a(a?b)?ab(b?a) 例3.

2 对于含有括号的多项式，因式分解时不要急于将括号展开，要观察式子的特点，有些多

项式不去掉括号，直接分解因式更方便些，找出公因式的方法，与前面的一致，系数是各项的最大公约数，字母取最低次数，相同的式子可以看做是相同字母，同样取最低的。所以公因式是a(a?b)

提取公因式的方法是： 提公因式看起来容易，实际上仍存在着发生错误的地方。在运用提公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，找出公因式后，用原多项式除以公因式，所得的商即是除公因式外的另一个因式。

例4. 把9a?6ab?3a分解因式

分析：公因式为3a，9a?6ab?3a除以3a的商为3a?2b?1， ?9a?6ab?3a?3a(3a?2b?1)

例5. 把(2a?b)(2a?3b)?2a(2a?b)分解因式

分析：公因式为2a?b，(2a?b)(2a?3b)?2a(2a?b)除以2a?b的商为4a?3b，所以

222(2a?b)(2a?3b)?2a(2a?b)?(2a?b)(2a?3b?2a) ?(2a?b)(4a?3b)

3. 提公因式法是因式分解的开头篇

刚刚开始学习，学生经常会遇到易混淆，易糊涂的地方，所以注意以下事项。 （1）勿分解后再还原

2n2n?1(a?b)?(b?a) 例如：

?(a?b)2n?(a?b)2n?12n?(a?b)(1?a?b)

?(a?b) ?2n?a(a?b)2n?b(a?b)2n2n?

正确答案：(a?b)(1?a?b) （2）勿公因式提不“全”提不“净” 例如：?10xyz?35xyz?15xyz ??5xy(2xyz?7yz?3xz) 正确答案：?5xyz(2xyz?7yz?3x) （3）勿分解不彻底

例如：(2x?y)(2x?3y)?x(2x?y)

2222322323322?(2x?y)(2x?3y?x) ?(2x?y)(3x?3y)

正确的答案：3(2x?y)(x?y)

（4）勿把含有相同字母的整式作为公因式提出来时，弄错符号。

2n2n?1(a?b)?(b?a) 例如：

?(a?b)(1?a?b)

正确的答案：(a?b)(1?a?b)

（5）勿因为在多项式的第一项出现负号，而使提出“－”号及其他公因式后，括号内

的符号出现错误。 例如：?3an?12n2n?6an?12an?1

?3an?1(?1?2a?4a2)n?12或??3a(1?2a?4a)

正确的答案是：?3an?1(1?2a?4a2)

【模拟试题】

一. 填空题：

1. 把一个多项式化为_________________________，叫做因式分解。因式分解和______________运算是相反方向的变形。

2. 在确立公因式时，系数应取__________________，字母应取___________________，指数应取___________________。

3. ax、ay、?az的公因式是_________________。

4.

2x3、x2、x的公因式是___________________。 5. x4y、?x2y3、x3y2的公因式是___________。 6. 6mn2、?2m2n3、4mn的公因式是________。

二. 选择题：

1. 下列各式变形中，是因式分解的是（ ）

A.

a2?2ab?b2?1?(a?b)2?1 2x2?2x?2x2?1? B.

??1?x??

C.

(x?2)(x?2)?x2?4 D.

x4?1?(x2?1)(x?1)(x?1) 2. 将多项式?6x3y2?3x2y2?12x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ A. ?3xy

B. ?3x2y

C.

?3x2y2

D.

?3x3y3 3. 将2(x?2)2?4(x?2)分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. 2

B. (x?2) C. 2(x?2)

D. 4(x?2)

4. 将?axy?ax2y2?2axz提公因式后，另一因式是（ ） A. xy?x2y2?2xz

B.

?y?x2y?2z ） C. y?xy?2z D. y?xy?2z

三. 把下列各式分解因式： 1. x?xy 2. 12ab?6b

3. 5xy?10xy?15xy

22y(2x?1)?y(2x?1) 4.

222243 5. 3(x?3)?6(3?x) 6. 计算：201?201

22

【试题答案】

一. 填空题 1. 略 4. x

二. 选择题

1. D 2. C

三. 把下列各式分解因式：

3x(x?y) 1.

2. 略

3. a 6. 2mn

2xy 5.

3. C 4. D

2. 6b(2a?1) 3. 5xy(x?2y?3) 4. y(2x?1)(y?2x?1) 5. 3(3?x)(1?x) 6. 40200

【励志故事】

责人与责己

晚饭后，母亲和女儿一块儿洗碗盘，父亲和儿子在客厅看电视。突然，厨房里传来打破盘子的响声，然后一片沉寂。是儿子望着他父亲，说道：“一定是妈妈打破的。”“你怎么知道？”“她没有骂人。”

提示：我们习惯以不同的标准来看人看己，以致往往是责人以严，待己以宽。

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