2001年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题

2001年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷

《数学三》试题

一、填空题

(1) 设生产函数为Q?AL?K?, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而 A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为 (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以Wt表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是___

?k?1(3) 设矩阵A???1??11k1111k11?1??,且秩(A)=3,则k = 1??k?(4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式P?X-Y?6?? . (5) 设总体X服从正态分布N(0,0.22),而X1,X2,则随 X15是来自总体X的简单随机样本，

2X12??X10机变量Y?服从___分布，参数为_______ 222?X11??X15?

二、选择题

(1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续,又limx?af'(x)??1,则( ) x?a(A) x = a 是f (x)的极小值点. (B) x = a 是f (x)的极大值点. (C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.

(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.

?12(x?1),0?x?1??2,则g(x)在区间(0,2) 内f(u)du,其中f(x)???1(x?1),1?x?2??3第 1 页 共 25 页

(2) 设函数g(x)??x0

( )

(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续

?a11?a21(3) 设A???a31??a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14??a14?aa24??,B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11??0?0a21??,P??a31?1?0??a41??1001?100??, 010??000??1?0P2???0??0001001000?0??,其中A 可逆,则B?1等于( ) 0??1??1?1?1(A)A?1PP12 (B)P1AP2 (C)PP12A (D)P2AP1.

?A(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若秩?T??????秩(A)，则线性方程组( ) 0?(A)AX =α必有无穷多解 (B)AX =α 必有惟一解.

?A(C)?T?????X??A????0仅有零解 (D)?T0??y??????X?????0必有非零解.

0??y?(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )

(A) -1 (B) 0 (C)

三 、(本题满分5 分)

设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:

1 (D) 1 2exy?xy?2和ex??

x?z0sintdudt,求 tdx第 2 页 共 25 页

四 、(本题满分6 分)

已知f (x)在(?∞,+∞)内可导,且limf'(x)?e,lim(x??x??x?cx)?lim[f(x)?f(x?1)], 求c的

x??x?c值.

五 、(本题满分6 分)

求二重积分??y[1?xeD122(x?y)2y= ?1及x =1围成的平面]dxdy的值,其中D 是由直线y=x,

区域

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六、(本题满分7 分)

已知抛物线y?px2?qx(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.

(1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值.

七、(本题满分6 分)

设f (x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)?k?xe1?xf(x)dx,(k?1). 证明：存在ξ∈(0,1), 使得f'(?) ? 2(1???1)f(?).

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130八、(本题满分7 分)

已知fn(x)满足fn'(x)?fn(x)?xn?1ex(n为正整数)且fn(1)?e,求函数项级数 n?fi?1?n(x)之和.

九、(本题满分9 分)

?11a??1??,???1?.已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: 1a1设矩阵A?????????a11????2??(1) a的值;

(2) 正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.

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