数学建模训练题1--火车上餐饮问题

列车售餐价格问题

摘要

列车要的就餐问题一直是一个棘手的问题，服务方依靠得天独厚的优势以高出市场几倍价格出售食品，简直就是暴力垄断。而乘客往往有一个价格承受上限，随着价格的继续增加，超过这个上限，乘客将会放弃购买，往往会自己自带食物如方便面、面包等。所以，服务方的销售效益会随着乘客的购买量以及销售价格而变化。对于这个问题，我们建立一个数学模型，在这个模型中，我们将售价、需求量、成本作为数学决策变量，将利润作为目标函数，在约束条件下，求出利润的最大值。

在问题中我们利用微分方程，先找出早餐、盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系，设?,?,?分别为价格上涨时，早餐、盒饭和方便面的销售量减少率。q0,q1,q2分别为早餐、盒饭和方便面的成本价。根据微分方程模型，得到早餐、盒饭和方便面的销售量与其相应价格之间的函数关系为：x(c)?500ea(q0?c)?(q1?c1)?(q2?c2)y(c)?200ez(c)?100e12，，。同

时，我们假设q0=5;q1=10;q2=3;均为市场价格。此时餐饮均是需求大于供给，所以此时为

最大需求量x0=500;y0=200;z0=100。

可得利润：w3?w?(q0x0?q1x1?q2x2)?w?(5*500?10*200?3*100)

?500ce?(5?c)?400c1e?(10?c1)?200c2e?(3?c2)?4800

由于我们不知道销售量减少率，因此，我们可以通过市场调查得出减少率的稳定值。最后可以算出最大利润。 关键词：微分函数 matlab

一、问题重述

长途列车由于时间漫长，列车需要为乘客提供基本一日三餐服务。由于列车上各方面的成本高，因此提供车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格为15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食物如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食物，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。且列车容量有限，只能提供有限的餐量，适当提高价格是可以的，但不能高的过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可以提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

二、问题分析

根据我们的认知，商品价格越低，人们买的欲望越高，人们的需求量越大。因此，价格与需求量之间存在着反向变动的关系，也就是在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少。火车上快餐的供给量有限，火车上乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了供给量，从而出现了供不应求的现象。如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获得利润。因此，他们要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客慢慢减少了对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量就越小，直到达到两者的平衡点。而选择火车快餐的群体一般是那些收入较高的群体。

三、问题假设

1、列车上早餐可以供给500份；

2、列车上除早餐外，午餐和晚餐只提供方便面与盒饭两种食物； 3、列车上食物的成本价为市场价格；

4、每位乘客早餐只需要早餐、午餐及晚餐只需要一盒盒饭或一袋方便面；

四、符号说明

C C1 C2 ? 一份早餐的销售价格 一份盒饭的销售价格 一袋方便面的销售价格 早餐上涨时，销售量减少率 盒饭上涨时，销售量销售量减少率 方便面价格上涨时，销售量减少率 早餐价格为c时，早餐销售量 盒饭价格为c1每餐盒饭销售量 方便面价格为c2时，每餐方便面销售量 早餐成本价 盒饭成本价 方便面成本价 总收入 纯利润 ? ? X(c) Y(c1) Z(c2) q0 q1 q2 W W3 五、模型建立与求解

因为在火车上，餐饮量不会受到外界多大干扰，所以每餐的销售量不会有太多偏差。因此，我们可以对一顿饭做相应研究，从而得到最大收益。

1.销售量与销售价格之间的函数关系：

当早餐价格由c上涨到c+?c时，销售量的减少量为：

x(c??c)?x(c)???x(c)?c

整理得：

x(c??c)?x(c)???x(c)

?c进一步推导得：

dx???x dc当c=q0时销售量x(c)=x0,于是可以建立如下方程：

dx???xdc x(q0)?x0则该初值问题的解为：

x(c)?x0e?(q0?c)

当c为早餐成本价时，需求量大于供给量，因此所有的早餐都卖光，此时x(c)=500,则函数方程为：

x(c)?500ea(q0?c)

X(c)大体图像如下：

假设当c1?q1时，y(c1)?y0;c2?q2时，z(c2)?z0;于是有；dy???ydc1y(c1)?y0解得：y(c1)?y0同理得：y(c1)?200e?(q1?c1)上式的图像大致为：

dz???zdc2z(c2)?z0解得：z(c2)?z0e?(q2?c2)同理可得：z(c2)?100e?(q2?c2)图像如下：

因为：收入=销售价格*销售量,所以，

对于早餐收入：w0?x0cea(q0?c)对于盒饭收入：w1?y0c1e?(q1?c1)对于方便面收入：w3?z0c2er(q2?c2)一天总收入：w?w0?2(w1?w3)利润：w3?w?(q0x0?q1x1?q2x2)

在此假设q0=5;q1=10;q2=3;均为市场价格。此时餐饮均是需求大于供给，所以此时为最大需求量x0=500;y0=200;z0=100;可得：

w0?500ce?(q0?c)w1?200ce?(q1?c1)w2?100ce?(q2?c2)w?w0?2(w1?w2)w3w3?w?(q0x0?q1x1?q2x2)?w?(5*500?10*200?3*100)

?500ce?(5?c)?400c1e?(10?c1)?200c2e?(3?c2)?4800

要求w3的最大值，即是求w0,w1,w2的最大值，则分别对上述方程一次求导，得：

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