误差理论与测量平差基础习题集3

第七章间接平差

§7-1间接平差原理

7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？

7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么？

7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？

7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（HA=10.OOOm)，P1，P2

为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：

h1= 1.352m,S1=2km，h2 =-0.531m，S2 = 2km,h3 = - 0.826m,S3 = lkm。 试用间接平差法求各髙差的平差值。

7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得 α=78o23′12\，Pα=1; β= 85o30 '06 \，P? =2; γ=16o06'32\，Pγ=1; δ=343o53'24\δ=1；

试用间接平差法求各内角的平差值。

7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为HA，HB，路线长为

S1，S2，观测高差为h1 h2，试用间接平差法写出P点高程平差值的公式。 7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L1=32o25'18\2 =61o14'36\L3=94o09'40\4 172010'17\L5=93o39'48\6=155o24'20\

已知A方向方位角αA =21o10'15\，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。

§7-2误差方程

7.2.08在间接平差中，为什么所选参数的个数应等于必要观测数，而且参数之间要函 数独立?

7.2.09能否说选取了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数? 7.2. 10在平面控制网中，应如何选取参数? 7.2. 11条件方程和误差方程有何异同? 7.2.12误差方程有哪些特点?

7.2. 13图7-5中,A,B为已知点，P1~ P5为待定点，P1, P5两点间的边长为已知，

L1～ L6为角度观测值，S1~S6为边长观测值，试确定图中独立参数的个数。 7.2.14在图7-6中， A,B已知点，P1 ~P3为未知点，观测角度L1～ L11，若设角度观

测值为参数独立参数有哪些角？

7.2.15s试列出图7-7中各图形的误差方程式(常数项用字母表示) (I)A,B,C,D为已知点，P1 、P5为未知点.观测高差h1~h5，设h2，h4为参数; (2)A,B为已知点，P1~ P3为未知点，观侧高差h1~h7，设P1点高程、高差h3，h5为参 数;

(3) P1~ P4为未知点，观测高差h1~h6，设P1~ P3点的高程为参数

7.2.16在直角三角形(图7-8)中，测得三边之长为L1 L2和L3 ，试列出该图形的误差方程式。 若设参数 7.2. 17为确定某一直线方 ，在Xi(i=1,2,…,5)处 (设xi无误差)观侧了5个观侧值yi xi/cm yi/cm 1 3.30 2 4.56 3 5.90 4 7.10 5 8.40 试列出确定该直线的误差方程。

7. 2. 18。在待定点P上,向已知点A,B,C进

行方向观测。如图7-9所示,设 为零方向定向角平差值, Li( i=1，2，3)为方向观测值，A,B,C

点的坐标及P点的近似坐标均列于表中，试观侧值的误差方程。 点号 X/m Y/m 观测值（o′\） A 826.823 393.245 ZP 21 03 42 B 695.741 445.678 L1 25 18 38 C 633.226 371.062 L2 71 28 54 P 703.800 264.180 L3 102 22 36 7. 2. 19在图7-10中,A ,B ,C为已知点，今在其间加测一点P，其近似坐标为

=771.365m, 465. 844m.

列出全部

已知起算数据和观测值列十表中，试列出全部观测

点号坐标 X/m 867.106 734. 058 598.943 Y/m 338.796 279.305 372.070 A B C 角号 观测值 7.2.20图7-ll中，A,B,C为已知点，P为待定点，网中观测了3条边长L1~L3，

1 79o2 53o3 66o4 63o51'20\35'50\50'10\00'43\起算

数据及观测数据均列于表中，现选待定点的坐标平差值为参数，其坐标近似值为

=

57 578.93m, =70 998. 26m，试列出各观测边长的误差方程式

点号坐标 X/m Y/m A B C

7.2.21有边角网如图7-12所示，A，B，C为已知点，P1P2为待定点，角度观测值为

L1~L7，边长观测值为S，已知点坐标和观测数据均列于表中，若设待定点坐标为参数，试列 出全部误差方程。

角号 60509.596 69902.525 58 238.935 74 300. 086 51 946.286 73 416.515 编号 观测值/m L1 3128.86 L2 3367.20 L3 6129.88 点号A B C 坐标 X/m Y/m 760.274 619.109 703.808 208.722 318.629 491.110 观测值 角号 观测值 点号P1 P2 近似坐标 X0/m 870.180 841.950 Y0/m 294.430 450.720

L1 33o24′L5 10\34o04′45\64o30′22\31o49′18\ L2 70o44′L6 46\L3 32o23′L7 52\L4 36o09′ 48\ 7.2.22有一中心在原点的椭圆，为了确定其方程，观测了10组数据(xi，yi)(i=1，2，…，10)，已知xi无误差、试列出该椭圆的误差方程。

7.2.23为确定某一抛物线方程y2 =ax，观测了6组数据(xi，yi) (i=1,2,..，6)，已知

xi无误差，yi为互相独立的等精度观测值，试列出该抛物线的误差方程。 7.2.24某一平差问题列有以下条件方程:

V1-V2+V3 +5=0, V3-V4-V5 -2=0, V5-V6-V7 +3=0, V1+V4+V7 +4=0,

试将其改写成误差方程。

7.2.25某一平差问题列有以下误差方程:

V1 =-X1+3， V1 =-X2-1， V1 =-X1+2， V1 =-X2+1， V1 =-X1+ X2-5，

试将其改写成条件方程。

§7-3精度评定

7.3.26对控制网进行间接平差，可否在观侧前根据布设的网形和拟定的观

测方案来

估算网中待定点的精度，为什么?

7.3.27在间谈平差中，计算VTPV有哪几种途径?简述其推导过程。 7.3.28为什么要求参数函数 的协因数 ? 如何求 ？ 7. 3. 29已知某平差问题的误差方程为

V1 =- , V2 =- , V3 = -1, V4 =- , V5 = 3,

观测值的权阵为：

?2???2??? ， P??3??2???4??? 试求参数及协因数阵。

7. 3.30已知某平差问题的误差方程为:

V1 = +2, V2 = + 3, V3 = - 1, V4 = + 6, V5 = + 5,

观测值的权阵为单位阵，试根据误差方程求单位权中误差估值。 7.3.31如图7-13所示的水准网中，A,B为已知点P1~ P3为待定点，观测高差h1 ~

h5，相应的路线长度分别为4km,2km,2km,2km,4km，若已知平差后每千米观测高差中误差

的估值认 =3mm.试P2点平差后高程的中误差。

7.3.32对某水准网列出如下误差方程x

?10???1?1??V??0?1?x????21?10???10???0????0?, ?6?????8???2??已知QLL =I,试按间接平差法求: 的协因数阵; (1)未知参数

(2)未知数函数 的权

7.3.33设由同精度独立观测值列出的误差方程为

?01???1-1??????-11?x21??0??1?-2????4? ?1????-3?V41试按间接平差法求 ， ， ， 。

、 与V是否相关?试证明之。 7.3. 34在间接平差中， 与

7.3.35 如图7.14所示的水准网中，A为已知水准点，B,C,D为待定高程点，观测了6

段高差h1~h6,,线路长度S1 =S2 =S3 =S4=1km, S5 =S6=2km，如果在平差中舍去第6段线

路的高差h,，问平差后D点高程的权较平差时不舍去h6时所得的权缩小了百分之几?

7. 3.36如图7-15所示的水准网中，A，B为已知点，P1~P3为待定点，独立观测了8段

路线的高差h1~h8，路线长度S1 =S2 =S3 =S4=S5 =S6 =S7

=1km,S8=2km,试问平差后哪一点高程精度最高，相对于精度

最低的点的精度之比是多少?

7.3.37在图7-16所示的三角形中，A,B为已知点，C为待定点。A,B点的已知坐标,C点的近似坐标及AC和BC边的近似边长列于图中(均以km为单位)，试按间接平整法求C点坐标的权倒数和相关权倒数(设 =2x105,参数以m为单位)。

7.3.38某一平差问题按间接平差法求解，已列出法方程为

- 2.4=0， + 3.2=0，

试计算函数的 权。

7.3.39在三角网(如图7.17所示)中，A,B,C为已知点，D为待定点，观测了6个角度

参数，L1 –L6,设D点坐标为 已列出其至已知点同的方位角误差方程:

= - 4. 22 + 1. 04 ,

=0.30 -5.96 , = 2.88 + 2.28 ,

试写出角?BDC平差后的权函数式。

7. 3.40 有水准网如图7-18所示，A,B,C,D为已知点，P1、P2为未知点，观测高差h1- h5

，路线长度为S1 =S2 =S5 =6km,S3 =8km,S4 =4km，若要求平差后网中最弱点平差后高程中误差 5mm，试估算该网每千米观测高差中误差应为多少。

7.3.41在图7-19的大地四边形中，A,B为已知点，C,D为未知点，L1～ L8为角度观测

值，若设未知点的坐标为参数，试写出求CD边长平差值中误差的权函数式。

§7-4水准网平差示例

7. 4. 42 在水准网平差中，定权式为 ， 以km为单位，当令c=2时，

经平差计

算求得的单位权中误差 代表什么量的中误差?在 ， 令c=1和c=2两种情况下，经平差分别求得的V, 以及 相同吗”

7.4.43在图7-20所示的水准网中，A,B为已知 点HA=10. 210m,HB=12.283m,观测各点间的高差 为:

h1 =1.215m, h2=0.852m, h3=0. 235m, h4=-2. 311 m, h5=0. 150m, h6 =1.062m, h7 = 1.931m, h8 =-2. 166m

设观测值的权阵为单位阵(各路线长度相同)，试按间接平差法求待定点C,D,E最或

是高程及其中误差。

编号 角观测值 编o ′ \号 边观测值 /m 1 128 07 02. 1 1 49.745 2 233 13 24.6 2 61.883 3 100 09 33.7 3 70.694 4 212 00 16.4 4 61.048 5 138 15 09.6 5 101.356 6 110 30 46. 3 6 77.970 7 210 04 42.5 8 226 08 55.6 9 149 19 42.8 设待定点坐标为参数，试按间接平差法求: (l误差方程; (2)单位权方差;

(3)待定点坐标平差值、协因数阵及点位中误差。

7. 8.62有导线网如图7-38所示，A,B,C,D为已知点，P1~P6为待定点，观测了14个

角度和9条边长。已知测角中误差， =10\测边中误差 = (mm)(i= 1,2, ..,9),

以m为单位，已知点数据和待定点近似坐标为：

图 7-38 点号 A B C D 坐标 X/m Y/m 871.1893 220.8223 632.2173 179.4811 840.9400 533.4018 663.4752 570.7100 点号 P 1 2 3 4 5 6 角度观测值 °′″ 145 58 18.1 125 09 37.5 118 35 26.3 131 18 15.2 68 22 31.6 146 19 37.1 139 09 15.9 近似坐标 X/m Y/m 825.810 272.250 740.107 312.579 (2)392.230 732.041 470.885 681.630 279.300 674.567 506.117 编号 边长观测值/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 68.582 94.740 84.523 86.668 125.651 111.449 67.289 67.456 65.484 观测数据为： 编号 1 2 3 4 5 6 7 角度观测值 °′″ 301 36 31.0 203 22 35.2 94 41 09.1 224 17 27.4 95 05 02.1 318 16 06.5 53 51 08.7 编号 8 9 10 11 12 13 14 设待定点坐标为参数，试按间接平差法求： （1）误差方程；

（2）待定点坐标平差值及点位中误差。

§7-9 GPS 网平差

7.9.36 图7-39为一个GPS网，G01、G02为已知点，G03、G04为待定点，已知点的三维坐标为： X/m Y/m Z/m 1 -2 411 745.121 0 -4 733 176.763 7 3 519 160.340 0 2 -2 411 356.691 4 -4 733 839.084 5 3 518 496.438 7 待定点的三维坐标为： X0/m Y/m 0Z0/m 3 -2 486 372.766 5 -4 731 446.576 5 3 518 275.019 6 4 -2 418 456.552 6 -4 732 709.8813 3 515 198.767 8 用GPS接收机测得5条基线，每一条基线向量中3个坐标差观测值相关，各基线向量互相独立，观测数据为：

基线号 ΔX/m ΔY/m ΔZ/m 基线方差阵

3130.0502008806794?0.0328144563391?0.0470324707? 对0.09218776881308-0.0469678724634????称0.0562339822882???1 -4627.5876 1730.2583 -885.4004 ?0.02473143808922 -6711.4497 466.8445 -3961.5828 ?????对0.02876859054860.0665508758432称?0.0150977357429?

?-0.0285111124368?0.0309438987792??0.04070099839163 -5016.0719 2392.4410 -221.3953 ?????对0.04414530070700.0847437135132称?0.0274864940544?

?-0.0413990340052?0.0488698420477??0.02779443835224 -7099.8788 1129.2431 -3297.7530 ?????对0.03152263836880.0692051980483称?0.0177584958203?? -0.0310603246537?0.0347083205959???0.0245280045335?

?-0.0380286407799?0.0446940784891??0.0373160099279 5 -2083.8123 -1263.3628 -3076.2452 ?????对0.04074495554830.0800162721033称????????XT设待定点坐标平差值参数X,X=[3 Y3 Z3 X4 Y4 Z4] 。

试按间接平差的法求： （1）误差方程及法方程； （2）参数改正数；

（3）待定点坐标平差值及精度。

§7-10 综合练习题

现观测高差h1 ~h8，相应的路线长度为：

S1= S2 =S3=S4=S5= S6=2km，S7=S8=1km，若设2km观测高差为单位权观测值，经平差计算后的[PVV]=78.62(mm),试计算网中3个待定点平差后高程的中误差。

1、P2为待定点，7.10.65 有大地四边形如图7-41所示，A,B为已知点，P观测了8个内角L1~度为

δSiL8，观测精度为

δβ=10″；又观测了2条边S1、S2，观测精

=

Si(cm)，Si以m为单位。

已知点坐标为：

XA=662,.467m，YA=198.639m； XB=626.167m，YB=416.436m。

待定点近似坐标为：

00XP1=870.181m，YP1=278.296m； 00

YXP=831.865m；P2=436.603m。 2角度和边长的观测值为：

编号 角观测值 °′″ 44 54 27.1 51 01 21.6 35 06 51.2 48 57 17.0 编号 角观测值 °′″ 49 03 07.5 46 52 45.0 50 29 48.1 33 34 22.8 编号 S1 S2 边观测值 /m 280.468 292.100 1 2 3 4 5 6 7 8 ?设以待定点坐标平差值为参数X，按间接平差法求：

（1）误差方差及法方程；

（2）待定点坐标平差值、协因数阵及点位中误差； （3）观测值改正数及平差值。

7.10．66 如图7-42所示为一边角网，A、B、C、D、E是已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了9个角度L1~

L9，测角中误差为2.5″；观测了5条边长

L10~L14，观测结果及中误差列于表中，试按间接平差法求P1~P2点的坐标值及其点位中误差。 点 A B C D

角 编号 1 2 3 4 5 观测值L °′″ 44 05 44.8 93 10 43.1 42 43 27.2 76 51 40.7 28 45 20.9 观测值 编号 °′″ 6 7 8 9 74 22 55.1 127 25 56.1 201 57 34.0 168 01 45.2 边 编观测值L/m 中误差/m 号 10 11 12 13 14 2185.070 1522.853 3082.621 1500.017 1009.021 3.3 2.3 4.6 2.2 1.5 X 坐标 Y 至点 B C D E 边长/m 坐标方位角 350 54 27.0 0 52 06.0 109 31 44.9 3143.237 4609.361 7657.661 4157.197 5260.334 5025.696 5071.897 8853.254 1484.781 3048.650

图7-42

2y7.10.67 为某一抛物线方程=ax，观

序号 1 2 3 4 5 x/m 1 2 3 4 5 y/m 测了5组数据（见右表），且xi无误差，yi 为互相独立的等精度观测值，试求： （1）该抛物线方程；

1.90 2.70 3.35 3.80 4.32 ?a（2）待定系数的中误差。

7.10.68 在某地形图上有一矩形稻田（图7-43），为确定其面积，测量了该矩形的长L1、宽L2，并用求积仪测量了该矩形的面积L3。

观测值及观测精度如下：

序号 1 2 Li 70cm δ2 i1cm2 1cm2 30cm 3 2cm4 22115cm 图 7-43

试按间接平差法求该矩形面积的平差

序号 1 2 3 4 5 6 Xi/cm 1 2 3 4 5 6 Yi/cm 3.30 4.56 5.90 7.10 8.40 9.60 值及中误差。

7.10.69 为确定某一直线方程y=ax+b，观测了6组数据（见右表），Xi，Yi均为互相独立的等精度观测值，试按间接平差法求：

（1）该直线方程；

??（2）直线方程的参数a，b的中误差。

7.10.70已知圆弧上4个点的正射影像片坐标X，Y的值如下：

点 X/m Y/m 1 0 120 2 50 110 3 90 80 4 120 0 0B0=0，观测值中误差均为1m，坐标原点的近似值A=0，试按间接平差法求：

（1）平差后圆的方程；

（2）平差后圆的面积及其中误差； （3）平差后圆心的点位中误差。

7.10.71 对某待定点坐标X，Y分别进行了n次独立观测（i，i）（i=1，2，…，n），已知Xi、Yi是相关观测值，其协因数阵为

?QXiXi?Qii=??QYiXiQXiYi??QYiYi??，

XY试按间接平差法求待定点坐标的平差值及其协因数阵。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mopa.html