经典的微积分习题库

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

1（1）y?；

2x?9（4）y?32．求函数

?1?siny??x??0(x?0)(x?0)（2）y?logaarcsinx；

（3）y?2； sin?x1x?1?loga(2x?3)；（5）y?arccos?loga(4?x2) x?22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

2

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)??2；

x?1,g(x)?x?1； x?14．设f(x)?sinx证明：

（3）f(x)?x,g(x)?x0。 xf(x??x)?f(x)?2sin?x?x??cos?x?? 22??5．设f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1?x22223（1）y?x(1?x) （2）y?3x?x； （3）y?；

1?x2ax?a?x（4）y?x(x?1)(x?1)； （5）y?sinx?cosx?1 （6）y?。

27．设f(x)为定义在(??,??)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x) 偶函数； （2）F2(x)?f(x)?f(?x)为奇函数。

8．证明：定义在(??,??)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设f(x) 定义在(?L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(?L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）y?cos(x?2) （2）y?cos4x； （3）y?1?sin?x；

（4）y?xcosx； （5）y?sin2x （6）y?sin3x?tanx。

11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2； （3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?u,u?sinx?2 （5）y?u,u?x3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）y?3(1?x)2?1

（2）y?3(x?1)；

1

2

（3）y?sin2(3x?1)

（4）y?3logacos2x。

2x（3）y?x。

2?113．求下列函数的反函数： （1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limun?A，则lim|un|?|A|，并举例说明反之不然。

n??n??

习题1—4

?x2(x?1)1．设f(x)??

?x?1(x?1)f(x)与limf(x)； （1）作函数y?f(x)的图形； （2）根据图形求极限lim??x?1x?1（3）当x?1时，f(x)有极限吗？

2．求下列函数极限：

xxlim（1）lim； （2）； 2x?0?x?|x|x?0?|x|3．下列极限是否存在？为什么？ （1）limsinx；

x???（3）lim?x?0x。

x2?|x|（2）limarctanx；

x??

1（3）limcos；

x?0x（6）lime?x。

x???（4）lim(1?e?x)；

x??（5）lim|x?1|；

x?1x?1

习题1—5

求下列极限

?12n?11??1?lim????????1．lim?； 2. ； ?22??x???n2x???1?22?3n(n?1)nn???x2?2x?14．lim；

x?1x2?1

x2?53. lim； x?2x?33

(x?h)2?x25. lim； h?0h 6. limx?1x?1。 x?1习题1—6

1．求下列极限：

sinax（1）lim(b?0)；

x?0sinbx（2）limtanx?sinx； 3x?0x

（3）lim1?cosx；

x?0xsinxx2x?tanx（4）lim；

x?0sinx?1?（7）lim?1??；

t???t?

t

arcsinx（5）lim；

x?0x?1?（8）lim?1??x???x?2

x?3?2?（6）lim?1??；

x???x? ；

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?（10）lim??；

x???x?a?x

?x?2??（11）lim?x???x2?1???2x2?11??； （12）lim?1?2?。

x???n?n2．利用极限存在准则证明：

11?1??2???2（1）limn?2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）数列2,2?2,2?2?2，?的极限存在； （3）lim

x2?1?1。 x?1x???习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(?1)n2n?11?cosn?1（1）2； （2）； （3）； （4）。

n?1nnn2．已知函数

11xsinx,2,,ln(1?x),ex,e?x

xx（1）当x?0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当x???时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x3．函数y?xcosx在(??,??)是是否有界？又当x???地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

1?a?a2???ann2?n!000n(|a|?1,|b|?1) （1）lim2； （2）lim； （3）lim ；

x??1?b?b2???bnx??n?2x??n?1x3(?2)n?2n4x2?1（4）lim； （5）lim； （6）lim2；

x??1x?116x?5x?1x??(?2)n?1?3n?1x?25．求下列极限：

sinx??（1）lim?ex??；

x????x?1（2）limx?cos；

x?0x（3）lim?nn??sinn?；

e?xarctanx（4）lim； （5）lim； （6）lime?xarctanx。

x??arctanxx???x??x6．下列各题的做法是否正确？为什么？

(x2?9)x2?9lim?x?9?? （1）limx?9x?9lim(x?9)x?91111?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1cosx1（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x（2）lim(

3

7．证明：当x?0时，arcsinx~x，arctanx~x。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

sin2xsin2x（1）lim； （2）lim；

x?0sin3xx?0arctanxxsinxnlim（3）lim（为正整数）；（4）。 m,nx?0(sinx)mx?0?1?cosx9．当x?1时，x3?3x?2是x?1是多少阶无穷小？

x?1110．当x???时，4是是多少阶无穷小？

x?1x11111．当x??时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

x（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)（2）f(x)??；

2?x(1?x?2)??x2(|x|?1)?|x|(x?0)（3）f(x)??； （4）?(x)??。

1(x?0)??x(|x|?1)2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

nx2?121（1）y?2； （2）y?； （3）y?cos。 tanxxx?3x?2?ex(0?x?1)3．a为何值时函数f(x)??在[0，2]上连续？

?a?x(1?x?2)1?x2nx的连续性，若有间断点，判断共类型。 4．讨论函数f(x)?limn??1?x2n

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：连续。

3．求下列极限：

（1）limx?2x?5； （2）lim(sin2x)； （3）limx?0x?1在[a,b]上迹f(x)23?4sin5x?sin3x；

x?0sinx 4

sinx?sinaax?ab(a?0)； （4）lim； （5）limx?ax?bx?bx?asinx（7）lim2； （8）limthx；

x???x?0x?x（10）lim?x?2（6）limln(1?3x)；

x?0x3（9）lim(x?2x?1)；

x???x?2?x?22；

x?4ln(a?x)?lna（12）lim。

x?0x

（11）limx?x?xx?1x???

习题1—10

1．证明：方程x?3x?1在区间（1，2）上至少有一个根。

2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，x1,x2,?,xn是[a，b]内的n个点，证明：

5???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n习题2—1

1．用导数定义求下列函数的导数： （1）y?ax?b （a,b是常数）；

（2）f(x)?cosx；

（3）y?1。 x2．下列各题中假定f?(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么？ （1）lim（3）lim?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?A； （2）lim?A，其中，f(0)?0；

x?0x?xf(x0?h)?f(x0?h)?A。

h?0h3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：

（1）y?x2?x； （3）y?xx2

（2）y?x1.6?3x2； （4）y?；

x2?3xx5。

1，求f?(1),f?(?2)。 x5．已知函数f(x)?x，求f?(2),f?(4)。

16．自由落体运动s?gt2（g=9.8米/秒2）。

2（1）求在从t?5秒到（t??t）秒时间区间内运动的平均速度，设?t?1秒，?0.1秒，0.001秒；

（2）求落体在5秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻t的瞬时速度。

4．已知函数f(x)?

5

7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。

?x2(x?1)8．设函数f(x)??为了使函数f(x)在x?1处连续可导，a，b应取什

?ax?b(x?1)么值？

29．求曲线y?sinx在x??及x??处的切线斜率。

310．求曲线y?x3上取横坐标为x1?1及x2?3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

1??xsin(x?0)x?012．证明函数数f(x)??在处连续，但不可导。 x?(x?0)?013．函数y?|sinx|在x?0处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：

1?2?xsin(x?0)（1）f(x)??在点x?0处； x?(x?0)?0x?1（2）y?在点x?1处；

x?1（3）y?|x?2|在点x??2处。

习题2—2

1．求下列函数的导数： （1）y?ax2?bx?c； （4）y?x2cosx； （7）y?

（2）y?x2(2?x)； （5）?(?)??sin?； （8）s?（3）f(v)?(v?1)2(v?1)；

2（6）y?3ax?；

x（9）y?(2?sect)sint。

121?x?x2．求下列函数在指定点处的导数：

（1）f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0，求f?(0)，f?(1)；

；

1?sint；

1?sint

（2）y?x2sin(x?2)，求y?(2)。

3．求下列函数的导数（其中x，t是自变量，a,b是大于零的常数）： （1）y?1a2?x2； 11?x2（2）y?x2x2?a2；

（3）y?1?ln2x； （6）y?cosx2；

（4）y?tanx； 2（5）y?1?ex； ；（8）y?sin2（7）y?1?2x?xxcot； （9）y?sin2(2x?1)； 32（12）y?sinex2（10）y?sin1?x2； （11）y?cot31?x2；

?x?2；

6

1（13）y?cos2(cos2x)； （14）y?x2sin；

x（16）y?2x/lnx；

31??（15）y?1?tan?x??；

x??

（17）y?t3?3t （18）y?ln(1?x?2x?x2)；

（21）y?ln[ln(lnt)]；

（19）y?esinx；

1（22）y?arccos；

x（20）y?ln3(x2)；

（23）y?arccos1?3x； （24）y?xarctanx；

2（25）y?xarccosx?1?x （26）y?（28）y?arcsinarcsinx1?x2；

1??（27）y??arccos?e?x；

x??21?xarcsinx； （29）y?ln(arctan1?x2)；（30）y?； 1?xarccosxxxb?1??a??b??x?arcsinxx?y?（31）y?cos?；（32）；（33） arccosy?e?arctane??????；??bxa??????x??（34）y?e?sin21x； （35）y?ch(shx)； （38）y?arctan(thx)

（36）y?th(lnx)； （39）y?ln(chx)?（37）y?shxechx；

12ch2x。

4．求与曲线y?x2?5相切且通过点（1，2）的直线方程。 5．求曲线y?xlnx的平行于直线2x?2y?3?0的法线方程。 6．抛物线y?x2上哪一点的切线与直线3x?y?1?0交成45°角。

7．求过曲线y?e2x?x2上横坐标x?0的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。

dy8．设f(x)对x可导，求：

dx（1）y?f(x2)； （2）y?f(ex)ef(x)；

（3）y?f[f(x)]

（4）y?f(sin2x)?f(cos2x)。

习题2—3

1．求下列函数的二阶导数： （1）y?xcosx； （4）y?tanx； （7）y?lnsinx；

（2）y?a?x；

222x3?x?4（3）y?；

xx（5）y?(1?x2)arctanx； （6）y?e；

（8）y?sinx?sin2x?sin3x；（9）y?ln(x?x2?a2)。

2．验证函数y?C1e?x?C2e??x(?,C1,C2是常数）满足关系式y????2y?0。 3．验证函数y?exsinx满足关系式y???2y??2y?0。

4．求下列函数的高阶导数： （1）y?x2e2x，求y(20)；

（2）y?x2sin2x，求y(50)。

7

5．若f??(x)存在，求下列函数y的二阶导数（1）y?f(x2)

d2ydx2：

（3）y?ln[f(x)]。

（2）y?f(sin2x)；

dx1d2xy?????6．试从导出。 23dyy??dy(y)

习题2—4

dy： dx（1）x2?y2?R2； （2）x2?xy?y2?a2； 1．求下列方程所确定的隐函数y的导数（4）xy?yx

（5）xcosy?sin(x?y)；

（3）xy?ex?y；

y（6）arctan?lnx2?y2。

x（3）y?1xx2．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）y?2xx；

cosx（2）y?(lnx)；

x ；

（4）y?(sinx)3x?2； （5）y?；

(5?2x)(x?1)（6）y?3x(x2?1)(x?1)2。

3．求圆(x?1)2?(y?3)2?17过点（2，1）的切线方程。 4．设y?sin(x?y)，求y??。 5．设s?1?tes，求st??。

?x?t2dyd2y,6．已知?， 求 。 2dxdxy?4t?3?dyd2y?x?acost,7．已知星形线?， 求 。 23dxdx??y?asint?x?a(??sin?)dyd2y,8．已知摆线?，求 。 2dxy?a(1?cos?)dx?9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：

3at?x???x?acos???1?t2（1）?，在??处； （2）?，在t?2处。 2y?bsin?4??y?3at?1?t2?2??x?1?2t?t10．已知质点运动方程为?

2??y?4t（1）求质点出发时所在的位置；

（2）t?2秒时的水平与铅直方向的速度； （3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。

8

t??x?esint11．验证参量方程?，

t??y?ecost所确定的函数y满足关系式

?dy?2(x?y)?2x?y??。 dx2?dx?12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？

13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？

d2y14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：

（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？ （2）它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？ （3）何时它的上端下滑的速率为4米/秒？

习题2—5

1．求下列函数的微分 （1）y?5x2?3x?1；

（2）y?(x2?2x)(x?4)；

（3）y?arcsin(2x2?1)；

（4）y?2ln2x?x； （5）y?ln(sect?tant)；

2．求下列函数在指定点的微分：

?21（1）y?arcsinx，在x?和x?时(|?|?2)；

22x（2）y?，在x?0和x?1处。 21?x3．求下列函数在指定条件下的微分：

1?61?（1）y?x2?x,x?10,?x?0.1； （2）y?，当从变到时。 x23606(tanx?1)4．若函数y?x2?1，

（1）在x?1处，?x?0.01，试计算dy,?y及?y?dy；

（2）将点x处的微分dy，增量?y和?y?dy在函数图形上标出。 5．填空：

11)?2xdx； （1）d(（2）d(（3）d()?dx )?2dx；

xxdx)?)?sin2xdx； （4）d(（6）d( )?e?xdx； （5）d(2x（7）d(

)?exdx2?(2（8）d(sinx?cosx)?d()dx；)?d(cosx)?()dx。

9

习题3—1

??5????5??1．验证F(x)?lnsinx在?,上满足Rolle定理的条件，并在?,?上，找出使??66??66?f?(?)?0的?。

2．以定义在[1，3]上的函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)为例，说明Rolle定理是正确的。

3．已知函数f(x)?1?3x2,f(?1)?f(1)，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与Rolle定理是否矛盾？为什么？

4．验证函数f(x)?arctanx在[0，1]上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间（0，1）内找出使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立的?。

15．当ab?0时，对于函数f(x)?在（a，b）上能否找到满足有限增量公式的?点？

x这与Lagrange中值定理是否矛盾？

6．不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根？并指出它们所在的区间。

7．证明恒等式：arcsinx?arccosx??28．若方程anxn?an?1xn?1???a1x?0有一个正根x?x0，证明：方程annxn?1?an?1(n?1)xn?2???a1?0必有一个小于x0的正根。

9．若函数f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)其中，a?x1?x2?x3?b，证明：在（x1,x3）上至少有一点?，使得f??(?)?0。

12．证明下列不等式：

（1）|sinx2?sinx1|?|x2?x1|； （2）|arctanx2?arctanx1|?|x2?x1|；

（3）当x?1时，ex?ex。

(?1?x?1)。

习题3—2

1．求下列各题的极限：

3x?3aln(1?x)(a?0)； （1）lim； （2）limx?ax?ax?0x2ex?e?x（4）lim； （5）limx2e1/x；

x?0sinxx?01??xlim?（7）lim；（8）lnx?ln(x?1)??； x?1?x?1lnx?x?1?（3）lim?x?0lnsin3x；

lnsinx1??ln?1??x?（6）lim?；

x???arccotxxsinx； （9）lim?x?0xn?sinx??1?lim(a?1,n?0)（10）lim； （11）； （12）lim????。 x???axx?0?x?x?0??x?x?sinx2．验证lim存在，但不能用L?Hospital法则计算。

x???x?cosx

10

tanxx3

习题3—3

1．将x的多项式x4?5x3?x2?3x?4表为（x?4）的多项式。 2．应用Maclaurin公式，将函数f(x)?(x3?3x?1)3表示为x的多项式。 3．当x0?4时，求函数y?x的三阶Taylor公式。

14．当x0??1时，求函数f(x)?的n阶Taylor公式，并写出拉格朗日型余项。

x

习题3—4

1．判定函数f(x)?x?cosx(0?x?2?)的单调性。 2．证明：y?x3?x单调增加。

3．判定函数f(x)?arctanx?x的单调性。

x2?14．证明：y?在不含点x?0的任何区间都是单调增加的。

x5．求下列函数的单调区间：

（1）y?2x3?6x2?18x?7；

10（3）y?3；

4x?9x2?6x（2）y?(x?2)5(2x?1)4； （4）y?3(2x?a)(a?x)2(a?0)；

（5）y?2x2?lnx； （6）y?ln(x?1?x2)。 6．证明下列不等式：

1（1）1?x?1?x (x?0)； （2） 1?xln(x?1?x2)?1?x2(x?0)；

2???（3）sinx?tanx?2x?0?x??； （4）arctanx?x(x?0)。

2??7．试证方程sinx?x只有一个实根。

8．试确定方程x3?3x2?9x?2?0的实根个数，并指出这些根所在范围。 9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究：f(x)?x?sinx）

习题3—5

1．求下列函数的极值： （1）y?2x3?3x2；

1xx（2）y?1?3x4?5x2；

（3）y?x?ln(1?x2)； （6）y?x?tanx。

（4）y?； （5）y?2ex?e?x；

2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：

[?1,2]； （1）y?x5?5x4?5x3?1， （2）y?

11

1?x?x21?x?x2, [0,1]；

a2b2?（3）y?， x1?x

(0,1),(a?b?0)； [?5,1]；

（4）y?x?1?x， （5）y?sin2x?x， （6）y?arctan??????2,2?； ??[0,1]； [?10,10]。

1?x， 1?x（7）f(x)?|x2?3x?2|，

3．将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？ 4．设一球的半径为R，内接于此球的圆柱体的最高为h，问h为多大时圆柱的体积最大？

5．过平面上一已知点P(1,4)引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。

6．对某个量x进行n次测量，得到n个测量值x1,x2,?,xn，试证：当x取这n上数的算术平均值

x1?x2???xn时，所产生的误差的平方和：

n(x?x1)2?(x?x2)2???(x?xn)2为最小。

7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg，求最省力的杆长？

8．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图3.5.4）。问留下的扇形的中心角?为多大时，做成的漏斗的容积最大？

习题3—6

1．求下列各函数的凹凸区间及拐点： （1）y?x?5x?3x?5； （3）y?x5；

32

（2）y?x3x2?3a2 （a为任意正数）；

（4）y?(x?1)4?ex； （6）y?ln(x2?1)； （8）y?xe?x。

（5）y?earctanx；

（7）y?x4(12lnx?7)；

2??x?t3．求曲线?的拐点。

3??y?3t?t

2．问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y?ax3?bx2的拐点？

12

4．试确定y?k(x2?3)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

习题3—7

求下列曲线的渐近线：

11．y?2；

x?4x?5x2．y?；

(1?x)(1?x)23．y?4．y?x4(1?x)3； ；

x2x?125．y?2x?arctan

x。 2习题3—8

描绘下列函数的图形：

11．y?(x4?6x2?8x?7)。

512．y??4x2。

x3．y?e?(x?1)。 4．y?ln(x2?1)。 5．y?9a3x2?a2(a?0)。

26．y?e?xsinx(x?0)。

习题3—9

1．求抛物线y?x2?4x?3在顶点处的曲率及曲率半径。 2．计算曲线y?chx上点（0，1）处的曲率。

3??x?acost3．求曲线?在t?t0处的曲率。

3??y?asint?x?a(cost?tsint)?4．求曲线?在t?处的曲率。

2?y?a(sint?tcost)y2x5．证明曲线y?ach在任何一点处的曲率半径为。

aa

13

习题3—10

1．试证明方程x5?5x?1?0在区间（?1,0）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。

2．求方程xlgx?1的近似根，使误差不超过0.01。

习题4—1

1．定积分

?ba介于曲线y?f(x)，x轴与x?a,x?b之f(x)dx的几何意义可否解释为：

间的曲边梯形的面积？

2．设物体沿x轴，在变力F?F(x)的作用上，由点a移到点b(a?b)，试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力F所作的功W

3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：

（1）（3）

?102xdx?1；

（2）（4）

?101?x2dx??4；

???sinxdx?0；

?????cosxdx?2?2?220cosxdx。

4．把下列定积分写成积分和式的极限：

1?1（1）； （2）dxsinxdx。

001?x25．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？

????（1）（3）

1021x2dx与

?10x3dx；

22 （2）（4）

??21x2dx与

x?21x2dx；

lnxdx与

y02?1(lnx)dx；

x??dx与?2?3??1?1???1?23xdx。 dy。 dx6．求由

?e?tdt??0cos(t2)dt?0 确定的隐函数y对x的导数

7．计算下列各导数：

dxsint（1） dt；

dx1td01?x4dx； （3）

dyy8．计算下列各定积分：

?

?ddxd（4）

dx（2）（2）（4）（6）

?lnx1etdt；

22?x2xe?tdt。

（1）（3）（5）

?31x3dx；

??943x(1?x)dx； dx1?x2??121?210dx1?x2；

1/3；

?e?xdx

?40tan2?d?；

14

（7）

?2?0|sinx|dx；

?2x（8）设f(x)??2?3x(x?1)(x?1)，求

?20f(x)dx。

9．求下列极限 （1）lim1x?0x?0sinxcos(t2)dt；

?（2）limx???2x0(arctant)2dtx?12

?x210．设f(x)???x求?(x)?(0?x?1)，

(1?x?2)?x0f(t)dt在[0，2]上的表达式，并讨论?(x)在（0，2）内的连续性。

3211．求极限

n??lim(1?2?3???n)n?。

习题4—2

1．求下列不定积分（其中，a，m，n，g为常数）：

dx（1）xxdx； （2）；

x2x???（3）（6）

?mxndx；

2（4）（7）

??0.611??3?u????du； （5）uu??2?dh2gh；

3?(x?2)?xdx； dx；

?(x??1)dx；

dx；

2（8）

?(?（9）x?1)(x?1)dx；

10x3?34（10）（13）（16）（19）

(1?x)2xx??（11）

3x4?3x2?1x2?1tt?32dx；（12）???1?x21?x2????dx； ???e?x?e?1?2??dx； （14）x???a??edt； （15）

?2?3x?5?2x3xdx；

??（17）secx(secx?tanx)dx；

?tan2xdx； （18）

?cos2xdx； 2（20）

cos2xdx； （21）

cosx?sinx?dx；

1?cos2xcos2xcosx?sinx22dx。

12．e2x,exshx和exchx是否都是e2x的原函数？

23．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。

4．一物体由静止开始运动，经t和后的速度是3t2（米/秒），问： （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360米需要多少时间？

15

习题4—3

1．计算下列不定积分： （1）e5tdt； （4）（7）

? （2）（5）（8）

???(1?2x)5dx； sinttdt；

（3）

??dx； 3?2xx?8?2xdx；

（6）ex?edx； （9）tan10xsec2xdx； ?a?xdx； dx；

?a?x（10）

?dxsinx?cosx；

?x2（13）4?x6dx； （16）?ex(1?ex)

1?e2xdx；（19）?2x?11?x2dx；

（22）

?dx4?x2；

（25）?cos2xdx；

（28）?102arccosxdx； 1?x2（31）

?x2dx；

a2?x2?2（34）

x?9xdx； 2．计算下列定积分

（1）?1dx?sin2x；

?21?（4）?4dx01?sin2x；

（7）

?22?28?2ydy；（10）

?3dx； 1x21?x2t2（13）

?1tt0e?dt； xlnxlnlnx（11）

?dxex?e?x；

（14）?x21?x3dx；

（17）?cos4x?sin3xdx；（20）?x39?x2dx； （23）

?dx2x2?1；

（26）?cos2(wt??)dt；（29）?cos3x?cos5xdx；（32）

?dx； xx2?1（35）?dx1?2x； （2）?0dx?2x2?2x?2； （5）

??/22?/6cosudu； （8）

?a2a2?x20xdx （11）

?3dx0x(1?x)； （14）?e2dx11?lnx； 16

12）?xcos(x2)dx； 15）

?2x1?4xdx；

18）?cosx?sinx1?cos2xdx； 21）

?xx4?2x2?5dx；

24）?dx(x?1)(x?2)；

27）?tan3x?secxdx；

30）?dx；(arcsinx)21?x233）

?dx；

(x2?1)336）

?dx。

1?1?x23）?4dx11?x；

6）?10x1?xdx；

9）

?21?x21/2x2dx； 12）

?2axdx； 03a2?x2?15）

?2??cosxcos2xdx；

2（（ （（（ （ （

（（（（（ （

（

?（16）

??2?（17）cosx?cosxdx；

32??0（18）1?cos2xdx；

?10dxex?1。

3．利用函数的奇偶性计算下列积分 （1）

?????xsinxdx； (arcsinx)224 （2）

??4cos2?24?d?；

dx。

（3）

1?x4．设f(x)为连续函数，证明：

?121?2dx；

（4）

?5?5x3sin2xx?2x?1421xf(x)dx?025．设f(x)在[?b,b]上连续，证明：

?a32?a20xf(x)dxb?b(a?0)。

??7．证明：8．证明：9．证明：

1x1b?bf(x)dx??0f(?x)dx。

6．对于任意常数a，证明：

a0f(x)dx??af(a?x)dx。

?1dxx2x1???dx1?x2(x?0)。

1??10xm(1?x)ndx???0xn(1?x)mdx。

?0sinxdz?2n?20sinnxdx。

10．设f(x)是以2l为周期的连续函数，证明：11．若f(x)是连续函数且为奇函数，证明： 若f(x)连续函数且为偶函数，证明：

?a?la?lf(x)dx的值与a无关。

?xx0f(t)dt是偶函数；

?0f(t)dt是奇函数。

习题4—4

1．计算下列不定积分：

?（4）?xln(x?1)dx； （7）?xtanxdx；

（1）xcosmxdx；

2?2t（2）tedt；

?（5）?x（8）?x?

22lnxdx； cosxdx；

?（6）?xarctanxdx； （9）?(lnx)dx；

（3）arcsintdt；

22（10）

lnx?(1?x)2dx；

2（11）(x?1)sin2xdx；（12）xsinx?cosxdx；

?17

(lnx2)dx； （13）?x2（14）e??2xsinxdx； （15）?eaxsinnxdx； 22（18）(arcsinx)dx；

?ln(x?1)（19）?dx；

x?1（16）e2x?1dx；

2（17）xcosxdx；

??（20）x?2x2?a2dx；（21）?arctan?0xdx。

2．计算下列定积分： （1）

?e11xlnxdx；

（2）（5）（8）

x??4sin2xdx；

3?（3）

?(xsinx)2dx；

?ln(1?x)（4）?dx；

0(2?x)2（7）

?212x（6）?2ecosxdx； arctanx?1dx；

20?e1sin(lnx)dx；

?40exdx；

（9）

?ee?1|lnx|dx。

习题4—5

1．求下列不定积分：

x5?x4?82x?3dx； （1）dx； （2）32x?xx?3x?10xdxx2?1dx； （4）；（5）

(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)2(x?1)dxdx（7）； （8）

(x2?1)(x2?x)x4?1???（3）

???（10）（13）（16）

???dx；

1?tanx(x)3?1x?1 （11）（14）（17）

???dx；

1?sinx?cosxx?1?1x?1?11x(1?x)dx； dx；

?1dx（6）；

x(x2?1)1（9）dx；

x4?1dx（12）； 31?x?1?x?33dx

??dx； （15）

?21x?4xdx；

1?xdx； 1?x（18）

?x1x?2x?2dx。

2．用学过的方法求下列不定积分

xx11dx； dx； （1）（2）363(1?x)(6?x)lnlnxdx（4）（5）； dx；

x(a2?x2)5/2????（7）

?xsinxdx；

（8）ln(1?x2)dx； （11）

?（10）

?1?cosxdx；

sinx?(1?xx382)dx；

1?cosxdx；

x?sinx1dx； （6）

42x1?xxcosx（9）dx；

sin3xx11dx； （12）8x?3x4?2（3）

???? 18

（13）

?1?xx24dx； （14）

（16）esinsin2xdx； （19）

?2x?xlnxdx； （17）[ln(x?1?x2)]2dx；（18）

(1?x2)3/2?xcos4?（15）

2dx； sin3x?x(3x3dx；

??1?x212?sinx（22）； （23）dxdx； 442?cosxsinxcosx

?1?xarcsinxdx；（20）

2?x2arccosxdx； （21）

??1?tanxdx；

sin2xsinxcosxdx。

sinx?cosx??（24）

习题5—2

1．求由下列各曲线所围图形的面积： （1）y?lnx,y?e?1?x及直线y?0；

（2）y?ex,y?e?x及直线x?1；

（3）y?lnx,y轴与直线y?lna,y?lnb(0?a?b)；（4）y?x2与直线y?x及y?2x。 2．求由下列曲线所围图形的面积：

（1）r?2acos?； （2）x?acos3t,y?asin3t； （3）r?2a(2?cos?)。 3．求下列各曲线所围图形的公共部分的面积： （1）r?1及r?1?sin?； （2）r?2sin?及r2?cos2?。

习题5—3

1．设D曲线y?1?sinx与三角直线x?0,x??,y?0围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所成的旋转体积。

2．求y?x2与y?x3围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体体积。

12x2x,y??1与直线y?10围成的图形绕y轴旋转而3．有一铸件，系由抛物线y?1010成的旋转体。试算出其质量（长度单位是10-2m，铸件密度7.8×103kg/m3）。

4．求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积：

（1）y?x2，x?y2，绕y轴；

（2）

x2?(y?5)2?16，绕x轴。

5．设有截锥体，高为h上、下底为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求截锥体的体积。

6．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积（图5.3.5）。

习题5—4

1．计算曲线y?lnx上相应于3?x?8的一段弧的长度。

19

2．计算曲线y?3．求曲线y?x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧的长度。 3x???cosxdx的弧长。

24．计算星形线x?acos3t,y?asin3t的全长。 5．计算渐伸线x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)上相应于t从0到?的一段弧的长度。

6．求对数螺线r?ea?自??0到???的一段弧长。

34到??的一段弧长。 438．求心形线r?a(1?cos?)的全长。

19．计算曲线x?arctant,y?ln(1?t2)从t?0到t?1的弧长。

2

7．求曲线r??1自??

习题5—6

1．直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为10Newton/厘米2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气体积缩小一半，问需要做多少功?

2．一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体在由x?0移至x?a时，克服媒质阻力所做的功。

3．洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体，尺寸如图5.6.5所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。

4．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。

5．一高为5米的圆柱形贮水桶，其底半径为3米，桶内装满了水，问把桶内的水全部吸收需要做多少功?

6．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力。

7．边长为a和b(a?b)的矩形薄板，与液面成?角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深ｈ处，试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为?重力加速度为ｇ)。

8．设有长为l，线密度为?的均匀细棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求细棒对质点M的吸引力。

9．设有一半径为R，中心角为?的圆弧形细棒，其线密度为常数?，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力F。

20

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