近世代数复习

第一章

集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系； 集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章

群的定义

a. 设G是一个非空集合，“?”是其上一个二元运算，若满足

1.“?”满足结合律；2.{G，?}中有单位元；3.{G，?}每个元都与逆元 则称{G，?}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是 一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。 群的性质

1.单位元唯一； 2.逆元唯一；

3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解 4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1

?1?1?1?1?1?a,a,...,a,?G?(aa...a)?aa...a12m12mmm?12a1 注：可以推广到无限：

5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）

证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则ak = e n|k。 8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。

交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。 元素的阶：G的一个元素a，能够使am = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。

有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b §5变换群

定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。 定理2：一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。 定理3：任何一个群都同一个变换群同构。（凯莱定理） §6置换群

置换：一个有限集合的一个一一变换；

置换群：一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群； n次对称群：一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。 定理1 ：n次对称群Sn的阶是n!

k-阶循环置换可用符号（i1i2?ik）表示。

定理2：每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的（不相连的）

循环置换的乘积。

定理3：每一个有限群都与一个置换群同构。 §7循环群

定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；也说，G是由元a所生成的，并且用符号G=(a)表示，a叫做生成元。 定理：假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构完全可以由a的阶来决定：1.a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；2.a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。 §8子群

定义:一个群G的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。

定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集?a,b?H?ab?H； a?H?a-1?H 推论：H?G,且H不空，eh = eg, ah= ag

定理2：一个群G的不空子集H做成G的一个子群?a,b?H?ab-1?H 定理3：一个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是： a,b?H?ab?H 生成子群： p64 §9子群的陪集

定义：设G为一个群，H是G的一个子群。而?a?G那么

① 形如Ha = {ha | h ?H}的子集，叫做子群H的一个右陪集，a称为Ha的代表元。

② 形如aH= {ah | h ?H}的子集，叫做子群H的一个左陪集，a称为aH的代表元。

指数：一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为[G:H].

定理1：一个子群H的左右陪集个数相同，或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。

定理2（Lagrange定理）：假定H是一个有限群G的一个子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,且N = nj;

注：子群H的陪集Ha(aH)所含元素个数与H的元素个数相同

-1

-1

推论：G是有限群，?a?G,若o(a)?m，那么m必是|G|的因子 定理3：一个有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。 陪集的性质

定理1：设H是G的一个子群，?a,b?G，于是有a?Hb?Ha?Hb?ab-1?H

-1 推论：设H是G的一个子群，?a,b?G, 于是有a?Hb?b?Ha?Ha?Hb?ab?H?ba-1?H

定理1’设H是G的一个子群，?a,b?G,于是有:i.a?bH?aH?bH?b-

b?H 1

a?H;ii.b?aH?aH?bH?a-1

定理2：设H是G的一个子群，设a,b?G,那么

群的陪集分解

定理3：设H是G的子群，在G中定义关系“~”：?a,b?G,a~b?ab-1?H，那么“~”必是等价关系 证：

?e?H?a~a1) ?a?G,aa-1 2) 若a~b?ab-1

?H?ba-1?(ab-1

?H?b~a)-1

-1?H且bc-1?H?ac-1?H?a~c3) 若a~b且b~c?ab 由（1）、（2）、（3）知关系“~”是一个等价关系

由a～b?a-1b?H定义的关系决定的G中的分类，每个子类就 是左陪集.G表示这些左陪集的并?aH叫做G的一个左陪集分解。 a?Hb?Ha?Hb?ab-1?H a?bH?aH?bH?b-1a?H

注：若Ha = Hb ,那么代表两个集合相等，但并不代表hia = hib(i = 1, 2, 3?)

§10不变子群、商群

不变子群：N?G,对?a?G,都有Na?aN

不变子群的中心：N?G,对?a?G,n?N,有an?na，则称N为G的中心 商群：一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群，记为：G/N。

|G|?|G/N| |N|定理：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是: 1.?a?G,aNa-1?N2.a?G,n?N?ana-1?N

§11同态和不变子群

同态核：假定Φ是一个群G到另一个群G’的同态满射。G’的单位元e’在Φ之下的所有的逆象所作成G的子集叫做同态满射Φ的核，记为Ker(Φ)。 即：Ker(Φ)?{a?G|Φ(a)?e'} 定理1：一个群G同它的每一个商群|G/N|同态（自然同态）。

定理2：设Φ:G?G'是群同态映射，K，并 且 那e(么rΦ)是G的不变子群G/Ker(Φ)?G'

定理3：假定G和G’是两个群，并且G与G’同态。那么在这个同态满射之下的：1.G的一个子群H的象H’是G’的一个子群

2.G的一个不变子群N的象是G’的一个不变子群

定理4：假定G和G’是两个群，并且G与G’同态。那么在这个同态满射之下的：1.G’的一个其群H’的逆象H是G的一个子群

2.G’的一个不变子群N’的象是G的一个不变子群

第三章

§1加群、环的定义 加群：封闭、结合律

环：1.R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。

2.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；

3.这个乘法适合结合律a(bc)?(ab)c，不管a,b,c是R的那三个元 4.两个分配率都成立：a(b?c)?ab?ac，(b?c)a?ba?ca §2交换律、单位元、零因子、整环 交换环：R为一个环，?a,b?R,ab?ba

a?0,b?0但ab?0，则称a为左零因子，b为右零因子。零因子：在一个环里， 剩余类环：R={所有模n的剩余类}，乘法适合结合律，并且两个分配律都成立，

则R做成一个环，叫做模n的剩余类环。 整环：R为一个整环，若： 1.乘法适合交换律，ab?ba； 2.R有单位元1；

3.R没有零因子，即：ab?0?a?0或b?0 定理：环中无零因子?环中左右消去律都成立

推论：在一个环里若有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立 §3除环、域

除环：R为除环，若：

1.R中至少包含一个不等于零的元； 2.R有一个单位元；

3.R的每一个不等于零的元有一个逆元； 域：交换除环。

交换环

整环

环 有单位元环 域

除环 无零因子环 §4无零因子环的特征

特征：一个无零因子环R非零元的相同的（对加法来说）阶叫做环R的特征 定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

定理2：如果无零因子环R的特征是有限整数，那么n是个素数 推论：整环、除环以及域的特征或是无限大、或是一个素数p §5.子环、环的同态 子环：一个环R的子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个环。即：?a,b?S?a?b?S,ab?S

子除环：一个除环R的子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个除环。即：

1.S包含一个不等于0的元； 2.a,b?S,b?0,a?b?S,ab-1

?S

定理1：若是存在一个R到R’的满射，使得R与R’对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R’也是一个环

定理2：假定R和R’是两个环，并且R与R’同态。那么，R的零元的象是R’的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如R是交换环，那么R’也是交换环；假如R有单位元1，那么R’也有单位元1’，而且1’是1的象。 定理3：假定R同R’是两个环，并且R?R’。那么，若R是整环，R’也是整环；R是除环，R’也是除环；R是域，R’也是域。

定理4：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元做成的集合）与另一个环S’没有共同元，并且S?S’。那么存在一个与R同构的环R’，而且S’是R’的子环。 即: (R?S)?S'?Φ §7理想

理想：环R的非空子集H叫做一个理想子环，简称理想，满足： 1.a,b?H?a?b?H 2.a?H,r?R?ra,ar?H

零理想：只包含零元 单位理想：该理想本身

主理想：由一个元素生成的理想

1.(x1ay1 + ? +xmaym) + sa + at + na(xi, yi, s, t?R, N是整数) 2.若R是交换环：ra?na(r?R,n是整数) 3.当R有单位元时?xiayi(xi, yi?R)4.当R既是交换环又有单位元时：ra(r?R)

定理：除环只有零理想和单位理想. §8 剩余类环、同态与理想

定理1：假定R是一个环，H是它的一个理想，R’是所有模H的剩余类做成的集合，那么R’本身也是一个环，并且R与R’同态

定理2：假定R同R’是两个环，并且R与R’同态，那么这个同态满射的核H是R的一个理想，并且R/H?R' §9极大（最大）理想

极大理想：一个环R的一个不等于R的理想H叫做一个极大理想，假如，除了R同H自己之外，没有包含H 的理想。

引理1：假定H?R是环R的理想。剩余类环R/H除了零理想和单位理想之外不再有其他理想?H是极大理想

引理2：有单位元(?0)的交换环R除了零理想同单位理想之外没有其他理想，那么R一定是一个域。

定理：假定R是一个有单位元的交换环，H是R的一个理想，R/H是一个域，当而且仅当H是一个极大理想的时候。

对于整数环R来说，由一个素数p所生成的主理想（p）是一个极大理想 §10商域

a商域：假如Q包含R，并且Q刚好是由所有元,(a,b?R,b?0)所作成的，那么

b域Q叫做环R的一个商域

定理1：每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环

aa定理2：Q刚好是由所有元,(a,b?R,b?0)所作成的，这里?ab-1=b-1a

bb定理3：假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

定理4：同构的环的商域也同构，这样，抽象的看来，一个环最多只有一个商域。

第四章

§1.素元、唯一分解

因子：整环I的一个元a可以被I 的元b整除，假如在I中找得出元c来，使得a = bc.则称b是a的因子。

单位：整环里的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。即：每个可逆元称为单位。

相伴元：元b叫元a的相伴元，假如b是a 和一个单位ε的乘积b??a

平凡/真因子：单位及元的相伴元叫做该元的平凡因子，其余的因子叫做该元的真因子。

素元：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子 唯一分解：一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，假如一下条件都能被满足： 1.a?p1p2?pr(pi是I的素元)

2.若同时a?q1q2?qs(qi是I的素元),那么r = s, 并且我们可以把qi的次序调换一下，使得qi=εipi(εi是I的单位)

定理1：两个单位的乘积仍是单位，单位的逆元也是单位。 定理2：单位同素元的乘积也是一个素元

定理3：整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：a?bc，b,c都不是单位。

推论：假定a?0，且a有真因子b。即： a = bc.那么c也是a的真因子。 §2.唯一分解环

唯一分解环：假如整环I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。 公因子：元c叫做元a1，a2，?，an的公因子，假如c同时能够整除a1,a2,?，an.

最大公因子：元a1，a2，?，an的一个公因子d叫做a1，a2，?，an的最大公因子，假如d能够被a1，a2，?，an的每一个公因子c整除

互素：一个唯一分解环I的元a1，a2，?，an互素，假如它们的最大公因子是单位

定理1：一个唯一分解环有一下性质：3.若一个素元p能够整除ab，那么p能够整除a或b。

定理2：假定一个整环I有一下性质：

1.I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解：a?p1p2?pr(pi是I的素元)

2.I的一个素元p若能整除ab，那么p能整除a或b，这则I一定是一个唯一分解环

定理3：一个唯一分解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。a和b的两个最大公因子d和d’只能差一个单位因子.即：d’=εd.（ε是单位）

推论：一个唯一分解环I的n个元a1，a2，?，an在I里一定有最大公因子。a1，a2，?，an的两个最大公因子只能差一个单位因子 §3主理想环

主理想环：一个环的每一个理想都是主理想

引理1：假定I是一个主理想环，若在序列a1,a2,a3,?(ai?I)里的每一个元是前面一个的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列

引理2：假定I是一个主理想环，那么I的每一个素元p生成一个极（最）大理想。

定理：一个主理想环I是一个唯一分解环。 §4欧式环

欧式环：一个整环I叫做一个欧式环，假如

1.有一个从I的非零元所作成的集合到>=0的整数集合的映射?存在；

b?qa?r(q,r?I)的2.给定了I的一个不等于零的元a,I的任何元b都可以写成：

形式，这里或是r=0或是?(r)??(a)

定理1：任何欧式环I一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。

定理2：整数环是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。

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