2010年中考数学试题分类大全46 - 综合型问题 - 图文

一、选择题 1．（2010江苏苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标

为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 A．2 B．1 C．2?2 D．2?2 2

【答案】C 2．（2010湖北十堰）如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、

F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）

C E D

A

F

（第10题） y 4 4 y 4 B

A

D

B F P

（第10题分析图） y 4 y C E

O A． 【答案】C

4 x O B．

4 x O C．

4 x O D．

4 x

3．（2010 重庆江津）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90o）的直角边与正方形DEFG的边

长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

【答案】A 二、填空题

12 1．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P的半径为 2，圆心P在抛物线y?x?1上运动，当

2⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ▲ .

【答案】(6,2)或(?6,2)(对一个得2分)

三、解答题

1．（2010安徽芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，

其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E43

（－3，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、

3C′．

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

【答案】

2．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平APB上任一点（与端点A、B不重合）分线段OP，点D是?，DE⊥AB于点E，以点D为圆

心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若

S＝43，求△ABC的周长. DE2C P D A O E B

【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

C G P A

F O

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝

D H E B

11OP＝，AF＝BF． 2231在Rt△OAF中，∵AF＝OA2?OF2＝12?()2＝，∴AB＝2AF＝3．

22（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°， 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝

1∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； 2（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴S?S?ABD?S?ACD?S?BCD

＝

11111AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE． 222221l?DES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE. DE2DE2∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝

1∠ACB＝30°， 2DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．

tan30?33又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝，

3∴△ABC的周长为83． 3 3．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

【答案】

4．（2010江苏南通）（本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y?A F 12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ mD

B E

（第27题）

C

【答案】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，

又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED

BFBEy8?x8x?x2?∴即?∴y? CECDxmm

18x?x22⑵当m=8时， y?，化成顶点式: y???x?4??2，

88∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.

8x?x122⑶由y?，及y?得x的方程: x?8x?12?0，得， x1?2;x2?6，

mm∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED， 此时， Rt△BFE≌Rt△CED， ∴当EC=2时，m=CD=BE=6; 当EC=6时，m=CD=BE=2.

即m的值应为6或2时， △DEF是等腰三角形. 5．（2010江苏南通）（本小题满分14分）

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理

由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动

点，当

△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

2y 4 3 2 1 －4 －3 －2 －1 O －1 －2 －3 －4 1 2 3 4 x （第28题）

【答案】（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得

1?a?,?16a?c?3,? 解得4 ???4a?c?0.??c??1.∴这条抛物线的解析式为y＝

12

x-1. 4设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得

1???4k?b?3,?k??, 解得?2 ??2k?b?0.??b?1.∴这条直线的解析式为y＝-

1x+1. 2（2）依题意，OA=32?42?5.即⊙A的半径为5. 而圆心到直线l的距离为3+2=5. 即圆心到直线l的距离=⊙A的半径， ∴直线l与⊙A相切.

（3）由题意，把x=-1代入y=-

133x+1，得y=，即D（-1，）.

222由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH

317）此时四边形PDOC为梯形，面积为. 486．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB

⊥BC，∠DCB=75o，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； 是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-

（2）求证：AB=BC；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30o． 求

DF

的值． FC

【答案】

7．（2010山东烟台）（本题满分14分）

如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，

求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】

8．（2010四川凉山）已知：抛物线y?ax2?bx?c(a?0)，顶点C(1,?4)，与x轴交于A、

B两点，A(?1,0)。

（1） 求这条抛物线的解析式；

（2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依

（3） 【答案】次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF?AE于F，QG?DB于G，请判断QFBE?QGAD是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；

在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN?EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），

请判断

QAQB?EMEN是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 y E MF H N Q A O B x G D C 第26题图

9．（2010四川眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正

半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（?3，0）、（0，4），抛物线y?经过B点，且顶点在直线x?22x?bx?c35上． 2（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断

点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交

CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标． y

B C

N M AODEx

【答案】

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y?(x?)2?m …（1分） ∴4??(?)2?m

∴m?? ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：y?(x?)2? （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB?OA2?OB2?5

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分） ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）

2352235216235212210?x?x?4 …………（4分） 633210?5?4?4

33210当x?2时，y??22??2?4?0

33当x?5时，y??52?∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）

（3）设直线CD对应的函数关系式为y?kx?b，则

?5k?b?4 ?2k?b?0?y48解得：k?,b??．

3348∴y?x? ………（9分）

33∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t． 则yM?t2?BNMAODCEx231048t?4， yN?t?，……………………（10分） 33348?21021420273???(t?)2? ∴l?yN?yM?t???t2?t?4???t2?t?33?33333322?∵??0， ∴当t?此时点M的坐标为（

2373时，l最大?， 2271，）． ………………………………（12分） 2210．（2010浙江杭州） (本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =

12x+1， 4点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

【答案】

(本小题满分12分)

(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4， ∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，

（第24题）

（第24题）

12代入y =x+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，

4∴M ---2分

(2) ① 过点Q作QH ? x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ， 由△HQP∽△OMC，得： ∵ ---2分

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1?5,

Q(x,y)

在

(0

，

2)

，

yx?t?, 即： t = x – 2y , 241212x+1上， ∴ t = –x+ x –2. y = 42

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ? 2 ∴x---2分

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，

∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(∴t --- 2分

2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上， ∵CM∥PQ，CM =

=

–

的取值范围是

x ? 1?

5, 且

x?? 2的所有实数.

12x+1)，解得x = 0 ， 4–2

=

–2

1202+ 0 .

1PQ， 2∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即

12x+1=2?2，解得： x = ?23. 4---2分

当x = –23时，得t = –

1(23)2–23–2 = –8 –23, 2当x=23时， 得t =23–8. ---2分 11．（2010浙江宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点

D的坐标为 (0，23)，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直 线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G. (1)求∠DCB的度数；

(2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；

(3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标.

（图2）

（图1）

【答案】

解：(1) 在Rt△AOD中，

∵tan∠DAO=

DOAO?232?3， ∴ ∠DAB=60°. ∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠DCB=∠DAB=60° (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CD∥AB

∴∠DGE=∠AFE

又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE

∴△DEG≌△AEF ∴DG=AF

∵AF=OF-OA=4-2=2 ∴DG=2 ∴点G的坐标为(2，23) (3)①∵CD∥AB

∴∠DGE=∠OFE

∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’

∴∠OFE=∠OF’E ∴∠DGE=∠OF’E 在Rt△AOD中，∵E是AD的中点 ∴OE=

12AD=AE 又∵∠EAO=60°

∴∠EOA=60°， ∠AEO=60° 又∵∠EOF’=∠EOA=60° ∴∠EOF’=∠OEA

∴AD∥OF’ 8∴∠OF′E=∠DEH ∴∠DEH=∠DGE 又∵∠HDE=∠EDG

∴△DHE∽△DEG 2分

3分 4分 6分

7分 分 9分

②点F的坐标是F1(?13?1，0)，F2(?13?5，0). 12分

(给出一个得2分)

对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求. 过点E作EM⊥直线CD于点M，

∵CD∥AB

∴∠EDM=∠DAB=60°

3 ∴EM?DE?sin60??2??3 211 ∵S△EGH??GH?ME??GH?3?33 22∴GH?6

∵△DHE∽△DEG

M DEDH2? 即DE?DG?DH DGDE当点H在点G的右侧时，设DG?x，DH?x?6

∴4?x(x?6)

∴

解得：x1??3?13,x2??3?13（舍）

∵△DEG≌△AEF

∴AF=DG=?3?13

∵OF=AO+AF=?3?13?2?13?1

∴点F的坐标为(?13?1，0)

当点H在点G的左侧时，设DG?x，DH?x?6

∴4?x(x?6)

解得：x1?3?13,x2?3?13（舍）

∵△DEG≌△AEF

∴AF=DG=3?13

∵OF=AO+AF=3?13?2?13?5 ∴点F的坐标为(?13?5，0)

综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1(?13?1，0)，F2(?13?5，0).

12．（2010浙江绍兴）如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与

C2的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2. （1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为 (1, 2)，求点N的横坐标；

② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.

【答案】

22解：（1）∵ 点A(2,4)在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入y?a?x?1??5得 a=1.

2∴ 抛物线C1的解析式为y?x2?2x?4,

第24题图

设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图1，

∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. 过点G作GE⊥DH,垂足为E,

由△DHG是正三角形,可得EG=3, EH=1， ∴ ME＝4. 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,

MEEG?, MHHN5433?1, ∴ ?, ∴ x?45x?153?1． ∴ 点N的横坐标为4由△MEG∽△MHN,得

② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，

直线l与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0）， ∵ A (2, 4), ∴ G (2?23, 2),

∴ NQ=x?2?23，ＮF =x?1, GQ=2, MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF，

第24题图1

NQGQ?, NFMFx?2?232∴ ?,

x?15103?8∴ x?.

3∴

当点D移到与点B重合时,如图3， 直线l与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小.

∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4), 设N（x，0），

第24题图2

NHBH?， FNMFx?242?, ∴ x??. ∴

31?x5∵ △BHN∽△MFN， ∴ ∴ 点N横坐标的范围为 ?第24题图3

图4

2103?8≤x≤. 3313．（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线

经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点P的坐标．

E

【答案】解：（1）∵抛物线经过点C（0，－3）∴C＝－3，∴y＝ax2+bx-3，又抛物线

?a?b?3?0，?a?1，?　解得　经过点A（－1，0），对称轴为x=1，所以?b ???1.　?b??2.??2a∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x-3

（2）∵点A（－1,0），对称轴为x=1，∴点B（2，0）．

??k?b?0，?k??3，设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得 ? 　解得??b??3??b??3?∴直线BC的函数关系式为y=－3x－3，当x=1时，y＝－6，∴点P的坐标为（1，－6）．

（3）如图，过点P作PD⊥OC，设P（1，y），则PE＝|y|，DC＝｜－3－y｜，

在Rt△PEB中，PB2＝22+|y|2＝4+y2，在Rt△PCD中PC2＝12+|－3－y|2＝10+6y+y2,在Rt△OBC中，BC2＝32+32＝18，∵∠PCD＝90o，∴PB2+PC2＝BC2，∴4+y2+10+6y+y2＝18，整理得y2+3y-2＝0解得y1＝

14．（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC?3，

BC?2，取AB的中点M，连结MC，把?MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到?DAO.

(1)试直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ?x轴于点Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与?DAO相似，试求出点P的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO?TB的值最大.

－3?172，y2＝

－3－172．

y A M B O C x

【答案】

解

y ：

(1)

依

题

意

得

：

?3?D??,2?；…………………………………?2?P ………………（3分）

(2) ① ∵OC?3，BC?2，∴B?3,2?. ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y?ax?bx?a?0?

2D A M B O T E C Q x 又抛物线经过点B?3,2?与点D???3?,2? 2??4?a?,?9a?3b?2,???9∴?9 解得：? 32a?b?2?b???2?4?3?422x?x.…………………（5分） 93∴抛物线的解析式为y?∵点P在抛物线上， ∴设点P?x,??422?x?x?. 93?422x?xPQQO513?x，?1)若?PQO∽?DAO，则， 9解得：x1?0(舍去)或x2?，

3DAAO1622∴点P??51153?,?.………………………………………………………………（7分） ?1664?422x?xOQPQ9x3，?2)若?OQP∽?DAO，则， 解得：x1?0(舍去)或x2?， ?932DAAO22∴点P??9?,6?.……………………………………………………………………（9分） ?2?②存在点T，使得TO?TB的值最大. 抛物线y?3422x?x的对称轴为直线x?，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点

493?3?E?,0?.………………………………………………………………………（10分） ?2?∵点O、点E关于直线x?3对称， 4∴TO?TE……………………………………………………………………（11分） 要使得TO?TB的值最大，即是使得TE?TB的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，TE?TB的值最大. ……………………………………………………………………………（12分） 设过B、E两点的直线解析式为Ay?kx?b?k?0?， 4??3k?b?2,k?,??∴?3 解得：?3 k?b?0???2?b??2∴直线BE的解析式为y?当x?DBMPEHQC4x?2. 3343时，y???2??1. 434∴存在一点T??3?,?1?使得TO?TB最?4?大.………………………（13分）

15．（2010 四川南充）已知抛物线y??F(?k?1,?k?1)．

212x?bx?4上有不同的两点E(k?3,?k2?1)和2（1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线y??12x?bx?4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB2的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式． （3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

y B M C A P O D x Q 【答案】

11. 解：（1）抛物线y??

12x?bx?4的对称轴为x??2b?b． ……..（1分）

?1?2?????2?∵ 抛物线上不同两个点E(k?3,?k2?1)和F(?k?1,?k2?1)的纵坐标相同， ∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 b?∴ 抛物线的解析式为y??（2）抛物线y??(k?3)?(?k?1)?1，且k≠－2．

212x?x?4． ……..（2分） 212x?x?4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）， 2∴ AB＝42，AM＝BM＝22． ……..（3分） 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴ ∠BCM＝∠AMD．

故 △BCM∽△AMD． ……..（4分） ∴

8BCBMn22?，即 ，n?． ?mAMADm228（m＞0）． ……..（5分） m122（3）∵ F(?k?1,?k?1)在y??x?x?4上，

2故n和m之间的函数关系式为n? ∴ ?1(?k?1)2?(?k?1)?4??k2?1， 22 化简得，k?4k?3?0，∴ k1＝1，k2＝3．

即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分） ①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为y?kx?b，

1?k?，?2k?b?2，1?y?x?1． 则 ? 解得，? ∴ 直线MF的解析式为22??2k?b?0.??b?1. 直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝

8； 34． ……..（7分） 3 若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝

②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为y?kx?b，

5?k?，??2k?b?2，54?3 则 ? 解得，? ∴ 直线MF的解析式为y?x?．

33??4k?b??8.?b??4.?3?44，0），与y轴交点为（0，?）． 533416 若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（?）＝，m＝；

2334165 若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝． ……..（8分）

525 直线MF与x轴交点为（

8??m1?, 故当?3

??n1?3,

?m2?6,??4 n2?,?3?316??m?,m?,???32?45或?时，∠PMQ的边过点F． ?165?n??n?34??3??21BC． 216．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝

（1）求∠BAC的度数．

（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形． （3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

A A G B O F E D H C

G B O F E D H C

【答案】（1）解：连结OB和OC．

A G B O F E D H C ∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE． ∵ OE＝

1BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． 2（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，

∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．

∴ 四边形AFHG是正方形． （3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．

∴ AD＝12． 17．（2010 山东济南）如图,已知直线y?且点A的横坐标为4.

（1）求k的值； （2）若双曲线y?1kx与双曲线y?(k?0)交于A，B两点，2xk(k?0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积； xk(k?0)于P，Q两点（P点在第一象限），x（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y?

若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

【答案】(1）∵点A横坐标为4 ，

∴当 x = 4时，y = 2

∴ 点A的坐标为（4，2 ） …………2’ ∵点A是直线y?18

x与双曲线y?（k>0）的交点， 2x

∴ k = 432 = 8 ………….3’ (2)解法一：

∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1

∴ 点C的坐标为（1，8）………..4’ 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON

S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 S△AOC= S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM

= 32－4－9－4 = 15 ………..6’ 解法二：

过点 C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点C在双曲线y?8上，当y = 8时，x = 1。 x8上， x∴ 点C的坐标为（1，8） ∵ 点C、A都在双曲线y?∴ S△COE = S△AOF = 4 ∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S△COA = S梯形CEFA ∵ S梯形CEFA =

13（2+8）33 = 15， 2∴ S△COA = 15

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ，

∴ OP=OQ，OA=OB

∴ 四边形APBQ是平行四边形 ∴ S△POA =

11S平行四边形APBQ =324 = 6 44设点P的横坐标为m（m > 0且m?4），

得P（m，

8） …………..7’ m过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 若0＜m＜4，

∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF， ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ∴

18(2?)?(4?m)?6 2m解得m= 2，m= － 8（舍去）

∴ P（2，4） ……………8’ 若 m＞ 4，

∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE， ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ∴

18(2?)?(m?4)?6， 2m解得m= 8，m =－2 （舍去） ∴ P（8，1）

∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）………….9’

18．（2010江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线y?kx?b（k为常数且k≠0）分别交x

轴、y轴于点A、B，⊙O半径为5个单位长度．

⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB． ①求k的值；

②若b=4，点P为直线y?kx?b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别

为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标． ⑵若k??选用）

1，直线y?kx?b将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供2

【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.

②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD. ∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=

1∠CPD=45°， 2∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°， ∴OD＝PD＝5，OP=10. ∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4， ∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2， ∴ m2＋ (－m＋4)2＝（10）2， 全品中考网

解得m=1或3，

∴P的坐标为（1，3）或（3，1）

⑵分两种情形，y＝－

1515x＋，或y＝－x－。 2424直线y?kx?b将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，

画出弦心距OC，可得弦心距OC=

15，又∵直线y?kx?b中k??∴直线与x轴交角的

221OC155?，，即∴AC=5，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所

2AC22255以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．

445当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为?．

455综合以上得：b的值为或?．

44正切值为

19．（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝?12x?x?3与x轴交于点A、B，与y轴4相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。 （1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y?2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

y E D C F O A B x

（第24题图）

【答案】解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c经过点A(2,0)，B(6,0)，C(0，23)．

?3?a??4a?2b?c?06?4∴??36a?6b?c?0， 解得?b??3. ?3??c?23??c?23??∴抛物线的解析式为：y?324x?3x?23. 63（2）易知抛物线的对称轴是x?4.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙

D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=

1． 2∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． ∴劣弧EF的长为：

12016???8??． 1803y P E N M C F O A D G B x

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点A(2,0),C(0,23).

∴??2k?b?0?b?23，解得???k??3.∴直线AC的解析式为：y??3x?23.

??b?23设点P(m,324m?3m?23)(m?0)，PG交直线AC于N， 63则点N坐标为(m,?3m?23).∵S?PNA:S?GNA?PN:GN. ∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=

3GN. 2即

3324m?3m?23=（?3m?23）.

263153243. m?3m?23=263解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，∴此时点P的坐标为(?3,153). ……………………………102分

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即

324m?3m?23=（. 3?3m?23）63324m?3m?23=423. 63解得：m1??12，m2?2（舍去）.当m1??12时，∴此时点P的坐标为(?12,423). 综上所述，当点P坐标为(?3,153)或(?12,423)时， 2△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

24．（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.

(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y?ax2?bx?c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；

(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。

【答案】解：（1）∠ABE＝∠CBD=30° 在△ABE中，AB＝6 BC=BE=

AB?43

cos30?CD=BCtan30°=4 ∴OD=OC-CD=2

∴B(43，6) D(0,2)

设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b

43k?b?6b?2k? ∴ 33 b?2所以BD所在直线的函数解析式是y?3x?2 3(2)∵EF=EA=ABtan30°=23 ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60° 又∵FG⊥OA

∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°=3 OG=OA-AE-GE=3 又H为FG中点 ∴H（3，

3） …………4分 2∵B(43，6) 、 D(0,2)、 H（3，

3）在抛物线y?ax2?bx?c图象上 21a?648a?43b?c?63 ∴ b?? c?233c?23a?3b?c?2∴抛物线的解析式是y?123x?x?2 63(2)∵MP=(313123x?2)?(x2?x?2)??x2?x 36363MN=6-(33x?2)?4?x 33122331x?x)?(4?x)??x2?3x?4 6336H=MP-MN=(?由?12x?3x?4?0得x1?23,x2?43 6该函数简图如图所示： 当00，即HP>MN

25．（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x

轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时

S最小，并求出这个最小值.

．

【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线

2?a???3?c?2?4??的解析式为y?ax2?bx?c，则?4a?2b?c?2，解得：?b?，所以

3??9a?3b?c?0??c?2??24y??x2?x?2．

338224282（2）由y??x?x?2＝?(x?1)?，所以顶点坐标为G（1，），过G作GH⊥AB，

3333382垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是

334△BEA的中位线，∴EA＝3GH＝，过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB，∵∠EBF

3＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴R t△EBA≌R t△FBM，∴FM＝EA＝

47，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝． 33（3）设CF＝a，则FM＝ a－1或1－ a，∴BF2＝FM2＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF，

11111BE?BF?BF2?(a2?2a?5)，又s?BFC?FC?MB??a?2?a， 2222212125112∴S＝ (a?2a?5)?a?a?2a?，即S＝(a?2)?，∴当a＝2（在2＜a＜3）

222221时，S最小值?．

2则S?BEF?26．（2010 湖南株洲）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：

① 量得OA?3cm；

② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．

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