概率论和数理统计 - 复旦大学 - 课后题答案(全)
更新时间:2023-11-30 21:08:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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1 概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C(1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C (3) A,B,C都发生; (4) A,B,C (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C
(7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生. 【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC
(4) A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A
BC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.
.
4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求P(AB). 【解】 P(AB)=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1) 在什么条件下P(AB (2) 在什么条件下P(AB 【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,
P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
1
=
7.
11113++?= 44312452张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
533213【解】 p=C13C13C13C13/C52 8.
(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A1)=
115
=()(亦可用独立性求解,下同) 577(2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
6565
P(A2)=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A3)=1?P(A1)=1?(
15
) 79..见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n mn?mn【解】(1) P(A)=CMCN?M/CN (2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有PN种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有PM种,从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种,故 mn?mCmPPP(A)=nMnN?M PNmn?mmn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP(A)= CnN可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种,对于固定的一种正、次品的抽取次序, 2 m m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n?m次取得次品,每次都有N?M种取法,共有(N?M)n?m种取法,故 mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M,则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??N??N??mn?m 11..见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆 钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C1C/C10350?1 196013. 7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥. 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A214. A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2) (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215. A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 1131C1()()45212131224?2 【解】(1) p1?C5()() (2) p2??222325/32516. 数相等的概率. 0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球 3 【解】 设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 P(3i?0212AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? 222233 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) 17 =0.32076 5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 41111C5C2CCC22213【解】 p?1? ?4C102118. 0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨},B={下雪}. (1) p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5(2) p(A19. B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男 为女是等可能的). 【解】 设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7. P(BA)?20. 6 75%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式 P(AB)? ?21. P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.0025219∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率. 4 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30. 如图阴影部分所示. 3021P?2? 60422. 0,1)中随机地取两个数,求: 6的概率; 51(2) 两个数之积小于的概率. 4(1) 两个数之和小于【解】 设两数为x,y,则0 6. 514417 p1?1?255??0.68 1251(2) xy=<. 4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123. P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|A∪B) 【解】 P(BAB)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB) 5
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