理科数学总复习（三）

漯河高中理科数学试题（三）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集U＝R，集合A＝{x｜1＜x≤3}，B＝{x｜x＞2}，则A∩

CB＝

U

A．{x｜1＜x≤2} B．{x｜1≤x＜2} C．{x｜1≤x≤2} D．{x｜1≤x≤3} 2．复数z满足（1－2i）z＝7＋i，则复数z的共轭复数z＝

A．1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i 3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn），

则不正确的说法是

?＝0．9x－0．3,则变量y和x之间具有正的线性相关关系 A．若求得的回归方程为yB．若这组样本数据分别是（1，1），（2，1．5），（4，3），（5，4．5），则其回归方程

?＝bx＋a必过点（3，2．5） yC．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1＝0．8，同学乙根据这

组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2＝2．1，则模型1的拟合效果更好

D．若用相关指数R2（R2＝1－

?)?(y－yiin2?(y－y)iii=1i=1n）来刻画回归效果，回归模型3的相关指数

22＝0．91，则模型3的拟合效果更好 R32＝0．32，回归模型4的相关指数R44．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝

1x，则tanα＝ 54334A． B． C．－ D．－

34435．如图所示：若输出的S为1525，则判断框内应填

A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4

?x≥0,?6．若不等式组?x＋y≥2,所表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相

?3x＋y≤5?等的两部分，则k＝

A．4 B．1 C．2 D．3

y21的离心率是 7．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x＋＝m2A．

3335 B．5 C．或5 D．或 22221

x2y21（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程 8．已知双曲线2－2＝ab是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上， 则双曲线的方程为

x2y2x2y2＝1 B．－＝1 A．－36108927x2y2x2y2－＝1 D．－＝1 C．

108362799．一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图所示，则该多面体的表面积是

A．12＋43 B．8＋23 C．12＋23 D．8＋43 10．某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号．已知一排有8个指示灯，若每次显示其中的4个，并且恰有3个相邻，则可显示的不同信号共有 A．80种 B．160种 C．320种 D．640种 11．函数f（x）＝Asin（ωx＋?）（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，

下列结论：①最小正周期为π； ②将f（x）的图象向左平移数是偶函数；

③f（0）＝1；④f（ ⑤f（x）＝－f（

?个单位，所得到的函 612?14?）＜f（）； 11135?－x）． 3 其中正确的是

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．②③⑤

12．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的

距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是

A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．二项式(x＋225)展开式中的常数项是___________． x14．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，AC＝λAE＋μAF，其

中λ，μ∈R，则λ＋μ＝___________．

2

15．设数列{an}满足an＋1＝3an＋2，（n∈N﹡），且a1＝1，则数列{an}的通项公式为

_________．

n?x2－6x＋6,x≥016．设函数f（x）＝?，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）

3x＋4,x＜0?＝f（x3），则x1·x2·x3的取值范围是___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosB＝ （Ⅰ）当A＝

4，b＝2． 5?时，求a的值； 6 （Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a＋c的值． 18．（本小题满分12分）

商丘市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试， 且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90 分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500 人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图所 示． （Ⅰ）求获得参赛资格的人数，并根据频率分布直

方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

（Ⅱ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最

多有5次选题答题的机会，累计答对3题或 答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，

已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连

续两次答错的概率为

1，求甲在初赛中答题个数x的分布列及数学期望． 9 19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD底面是平行四边形，

面PAB上面ABCD，PA＝PB＝AB＝

1AD， 2

∠BAD＝60°，E，F分别为AD，PC的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥面PBD；

（Ⅱ）求二面角D－PA－B的余弦值．

3

20．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，设点F（0，p） （p＞0），直线l：y＝－p，点P在直线l上移动， R是线段PF与x轴的交点，过R、P分别作直线 l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l，l1∩l2＝Q． （Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；

（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切

线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过 一定点；

（Ⅲ）对（Ⅱ），当直线MA，MF，MB的斜率存在时，求证：直线MA，MF，MB的斜

率的倒数成等差数列．

21．（本小题满分12分） 已知函数f（x）＝a－lna＋x (a＞0，a≠1)．

（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）单调递增区间；

（Ⅲ）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥e－1（e是自然对数的底数），

求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，

且AD＝

xx212AC，AE＝AB，BD，CE相交于点F． 33 （Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆

的半径．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

?，以原点O为极点， 3?x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为（4，）．

2已知在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，－5），且倾斜角为

（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； （Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜x－3｜＋｜ x－a｜，a∈R． （Ⅰ）当a＝0时，解关于x的不等式f（x）＞4；

（Ⅱ）若?x∈R，使得不等式｜x－3｜＋｜x－a｜＜4成立，求实数a的取值范围．

4

漯河高中理科数学试题（三）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） ABDD BBCA ACCD 二、填空题（每小题5分）（13）80; （14）三、（17）解（Ⅰ）?cosB?4; （15）an?3n?2n,n?N; （16）(?21,0). 343,?sinB?.??????????????????2分 55aba10由正弦定理得?,可得?. ????????????? 4分

?3sinAsinBsin65?a?.??????????????????????????????6分

313（Ⅱ）??ABC的面积S?acsinB,sinB?，

253?ac?3,ac?10.????????????????????????8分 10由余弦定理b?a?c?2accosB，??????????????????9分

22得4=a?c?2228ac?a2?c2?16 ,即a2?c2?20.???????????10分 5∴(a?c)2?2ac?20,(a?c)2?40，??????????????????11分 ∴a?c?210.???????????????????????????12分 （18）解：(Ⅰ)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为

500×(0.0050?0.0043?0.0032)?20?125人．??????????????2分

设500名学生的平均成绩为x，

30?5050?7070?9090?110?0.0065＋?0.0140＋?0.0170＋?0.0050＋2222110?130130?150?0.0043＋?0.0032）?20?78.48分．???????????5分 22212(Ⅱ)设学生甲每道题答对的概率为p，则(1?p)?，∴p?????6分

39则x＝（

学生甲答题个数X的可能值为3,4,5???????????????????7分 则P(X?3)?()?()?23131；

33312221110P(X?4)?C32?()2??C32?()2??，

333333275

18222P(X?5)?C4()?()2?

3327所以X服从分布列 X P 3 1 34 10 275 8 27?????????????????????????????????10分 1108107??????????????????12分

E(X)?3??4??5??3272727

（19）解：(Ⅰ)取PB的中点G，连FG,由题设FG//BC,FG?1BC ???????1分 2AE//BC,AE?1BC,?FG//AE, ?AEFG是平行四边形,? EF//AG??2分 2PF?PAB是等边三角形，AG?PB①

?ABD中，AD?2AB,?BAD?60,由余弦定理，

BD2?AB2?AD2?2AB?AD?cos600?AD2?AB2A0G BCED??ABD?900，BD?AB，??????????3分

面PAB?面ABCD,BD?AB?DB?面PAB ?DB?AG②??????4分

由①②可知，AG?PB,AG?BD,?AG?面PBD,

又EF//AG,?EF?面PBD????????????????????????6分

P（Ⅱ）取PA的中点N,连BN,DN,

F?PAB是等边三角形,?BN?PA，

由（Ⅰ）知BD?面PAB，?ND?PA，

AN BCED?DNB??是二面角D?PA?B的平面角.??????????????????9分

由（Ⅰ）知BD?面PAB,BD?BN,在Rt?DBN中，BD?3AB?2BN，

tan??

5BD5，即二面角D?PA?B的余弦值为.???????12分 ?2,cos??5BN56

（20）（本小题满分12分）解：(Ⅰ)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ?FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线???????????????????1分

?PQ?QF． 故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为： x2?4py?p?0?．??????????????????????????3分

（Ⅱ）设M?m,?p?，两切点为A?x1,y1?，B?x2,y2? 由x?4py得y?2，

121x.． x，求导得y??2p4p1x1(x?x1)① 2p∴两条切线方程为y?y1?y?y2?1x2(x?x2)② ???????????????4分 2p对于方程①，代入点M?m,?p?得，?p?y1?121x1 x1?m?x1?，又y1?4p,2p∴?p?121x1?x1?m?x1?,整理得：x12?2mx1?4p2?0. 4p2p

即x1,x2为方程x2?2mx?4p2?0的两根.

2同理对方程②x2?2mx2?4p2?0∴x1?x2?2m,x1?x2??4p2③ ??????????????????6分

2y2?y1x2?x121??设直线AB的斜率为k，k??x1?x2?

x2?x14p?x2?x1?4p,

x121??直线AB的方程为y??x1?x2?(x?x1)，展开得： 4p4py?xxm1?x1?x2?x?12，代入③得：y?x?p2p4p4p,

∴直线恒过定点F?0,p?.?????????????????????????8分

7

(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)的结论,设M?m,?p?,A?x1,y1?，B?x2,y2? 且有

2， x1?x2?2m,1x?x?p2?4∴kMA?y1?py?p ?????????????????????? 9分 ,kMB?2x1?mx2?mx?mx2?mx1?mx?m4p?x1?m?4p?x2?m?11??1??2?2?2?222x2kMAkMBy1?py2?px1x1?4px2?4p2∴?11分 ?p?p4p4p4p?x1?m?4p?x2?m?4p?x1?m?x2?4p?x2?m?x14pmm?2?2????x1?x1x2x2?x1x2x1x2?x1?x2?x1x2p又∵kMF?112mm，∴ ????kMAkMBkMF，?p?p2p即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列. ????????????????12分

函数f(x)?ax?xlna+x2(a?0,a?1)，

（21）解：（Ⅰ）

?f?(x)?axlna+2x?lna，f?(0)?0，??????????????????2分

又

f(0)?1，?函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1． ???????3分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，f?(x)?axlna+2x?lna?2x+(ax?1)lna．

f??(x)?2?ax(lna)2?0，?当a?0,a?1时，总有f?(x)在R上是增函数，??4分

又f?(0)?0，?不等式f?(x)?0的解集为(0,+?)，

故函数f(x)的单调增区间为(0,+?)．????????????????????6分 （Ⅲ）因为存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)≥e?1成立， 而当x?[?1,1]时，f(x1)?f(x2)≤f(x)max?f(x)min，

?只要f(x)max?f(x)min≥e?1即可．???????????????????7分

又因为x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x (??,0) (0,+?) 0 f?(x) f(x)

? 减函数 8 0 极小值 + 增函数

?f(x)在[?1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，

?当x?[?1,1]时，f(x)的最小值f(x)min?f?0??1，f(x)的最大值f(x)max为f(?1)和

f(1)中的最大值．????????????????????????????8分

11f(1)?f(?1)?(a+1?lna)?(+1+lna)?a??2lna，

aa1121令g(a)?a??2lna(a?0)，g?(a)?1+2??(1?)2?0，

aaaa1?g(a)?a??2lna在a??0,???上是增函数．而g(1)?0，

a故当a?1时，g?a??0，即f(1)?f(?1)；

当0?a?1时，g?a??0，即f(1)?f(?1)．???????????????10分

?①当a?1时，f(1)?f(0)≥e?1，即a?lna≥e?1，

函数y?a?lna在a?(1,??)上是增函数，解得a≥e；

1?lna≥e?1， a11函数y??lna在a?(0,1)上是减函数，解得0?a≤．

ae1综上可知，所求a的取值范围为a?(0,][e,+?)??????????????12分

e②当0?a?1时，f(?1)?f(0)≥e?1，即（22）（Ⅰ）证明：∵AE?21AB，∴BE?AB. 331∵在正△ABC中，AD?AC，∴AD?BE，

3又AB?BC，?BAD??CBE，∴△BAD≌△CBE， ?????????????3分

∴?ADB??BEC，即?ADF??AEF?π，所以A，E，F，D四点共圆. ???5分 （Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连结GD，则AG?GE?∵AE?212AB，∴AG?GE?AB?， 3331AE. 212∵AD?AC?，?DAE?60?，∴△AGD为正三角形，

3322∴GD?AG?AD?，即GA?GE?GD?，???????????8分

33

9

?点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为.

由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为

2. ?10分 3231?x?1?t?2?（23）解：（Ⅰ）直线l的参数方程是，?（t为参数）, ????2分

3?y??5?t??22圆心C直角坐标为?0,4?, 圆C的直角坐标方程为x??y?4??16,???????3分

2?x2?y2??2由?,代入直角坐标方程，可得圆C的极坐标方程是??8sin?.????5分 ?y??sin?(Ⅱ）圆心的直角坐标是?0,4?，直线l的普通方程是3x?y?5?3?0，?????6分

圆心到直线的距离d?0?4?5?33?1?9?3?4，?????????????8分 2 所以直线l和圆C相离. ????????????????????????10分 （24）解：（Ⅰ）由a?0知原不等式为x?3?x?4

???x?3?0?x?3?x?0或?或????????????????3分

2x?3?43?4?2x?3?4??? ?x?17或x??或x???????????????????????4分

2217?不等式的解集为(??,?)?(,??)?????????????????5分

22 （Ⅱ）由?x?R使得不等式x?3?x?a?4成立，

可得x?3?x?a??min?4.?????????????????????6分

又x?3?x?a?x?3??x?a??a?3, 即x?3?x?a??min?a?3?4.???????????????????8分

解得?1?a?7. ?????????????????????????10分

10

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