2005级信息安全数学基础试卷-A

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ???????????????密??????????????????封???????????????线?????????????? 学院 专业 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

《信息安全数学基础》试卷A

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 四大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 一 得 分 评卷人 二 三 四 总分 一． 选择题：（每题2分，共20分）

1．设a, b, c?0是三个整数，c?a，c?b，如果存在整数s, t，使得sa＋tb＝1，则 ( ) 。

(1) (a, b)= c，(2) c＝? 1，(3) c＝s，(4) c＝t 。 2．大于20且小于70的素数有 ( ) 个 。

(1) 9，(2) 10，(3) 11，(4) 15 。

3．模7的最小正完全剩余系是 ( ) 。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7， (2) －6, －5, －4, －3, －2, －1, 0， (3) －3, －2, －1, 0, 1, 2, 3， (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。 4．模30的简化剩余系是 ( ) 。

(1) －1, 2, 5, 7, 9, 19, 20, 29， (2) －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29， (3) 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29， (4) 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 。 5．设n是整数，则

_____________ ________ 姓名 学号 ??(d)?( ) 。

d|n(1) d，(2) n，(3) nd，(4) 2n 。 6．下面的集合和运算是群的是 ( ) 。

(1) （运算“＋”是自然数集N上的普通加法） (2) （R是实数集，“×”是普通乘法） (3) （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）

(4) （P（S）是集合S的幂集，“∪”为集合的并）

《信息安全数学基础》试卷第 1 页 共 6 页

7．模17的平方剩余是 ( )。

(1) 3，(2) 10，(3) 12，(4) 15

8．整数5模17的指数ord17(5)＝( )。

(1) 3，(2) 8，(3) 16，(4) 32

9． Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有 ( )。

(1) a p＝1 (mod p)， (2) a ? (p)＝1 (mod a)， (3) a ? (p)＝a (mod p)， (4) a p ＝a (mod p) 10．设a是整数，

A．a≡0（mod 9），B．a≡2004（mod 9） C．a的十进位表示的各位数字之和可被9整除

D．去掉a的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除 以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（ ）。

(1) 1个， (2) 2个， (3) 3个， (4) 4个。

二． 填空题：（每题2分，共20分）

1．设m是正整数，a是满足a ? m的整数，则一次同余式：ax ? b (mod m)有解的充分必要条件是 。当同余式ax ? b (mod m) 有解时，其解数为 。

2．设m是正整数，则m个数0, 1, 2, ? , m－1中 叫做m的欧拉(Euler)函数，记做? (m)。

3．设m是正整数，若同余式 有解，则a叫模m的平方剩余。

?s?1?2p2?ps,?i?0,i?1,2,?,s，4．设a, b是正整数，且有素因数分解 a?p1?2b?p1?1p2?ps?s,?i?0,i?1,2,?,s，则(a, b)＝ ，

[a, b]＝ 。

5．如果a对模m的指数是 ，则a叫做模m的原根。

6．设m是一个正整数，若 r1, r2, ?, r? (m)是? (m)个 ，则r1, r2, ?, r? (m)是模m的一个简化剩余系。

《信息安全数学基础》试卷第 2 页 共 6 页

7．Wilson定理：设p是一个素数，则 。 8．2007年1月18日是星期四，第220070118天是星期 。 9．(中国剩余定理) 设m1, ?, mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b1, ?, bk 同余式组 x ? b1 (mod m1)

? ? ? ?

x ? bk (mod mk)

有唯一解。令m＝m1?mk，m＝miMi，i＝1,?,k，则同余式组的解为： ， 其中 。

?k?1?pk10．正整数n有标准因数分解式为 n?p1，则n的欧拉函数

? (n)＝ 。

三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）

1．设m是一个正整数，a≡b（mod m），如果整数d∣(a, b, m)证明：abm?(mod)。 （6分） ddd

《信息安全数学基础》试卷第 3 页 共 6 页

3．设m是一个正整数，a满足(a, m)＝1，则存在整数a?，1 ? a? < m使得 aa??1 (mod m)。 （6分）

3．证明Euler定理：设m是大于1的正整数，如果a是满足(a, m)＝1的整数。则a? (m) ? 1 (mod m)。 （12分）

《信息安全数学基础》试卷第 4 页 共 6 页

4．证明：设p和q是两个不相等的素数，证明：pq?1?qp?1?1(modpq)。

（6分）

四．计算题（写出详细计算过程）：（共30分）

1．设m＝737，a＝635，利用广义欧几里得除法求整数a?，1 ? a? < m使得 aa??1 (mod m)。 （6分）

《信息安全数学基础》试卷第 5 页 共 6 页

2．设a＝－1859，b＝1573，运用广义欧几里得除法

(1) 计算(a, b)； (2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a, b)。 （8分）

3．运用中国剩余定理和模重复平方法计算31213 (mod 667)。 《信息安全数学基础》试卷第 6 页 共 6 页

（16分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mnzv.html