电磁场三章习题解答

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

q 赤道平面 D?a qR?R?[3?3]? 4?R?R?err?ez(z?a)qerr?ez(z?a){2?} 4?[r?(z?a)2]32[r2?(z?a)2]32z?0则球赤道平面上电通密度的通量

???D?dS??D?ezSSdS?

?q 题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 22322232?4?0(r?a)(r?a)aqa(r2?a2)12a?(01?1)q??0.293q 23.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0?erZe?1r??2?3?，试证明之。 4??rra?解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?erZe 24?rZe3Ze????? 原子内电子云的电荷体密度为

4?ra334?ra3b ?0 c a 题3. 3图(a)

面半径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

在r?b区域中，由高斯定律??E?dS?S?4?r33Zer??e 电子云在原子内产生的电通量密度则为 D2?err4?r24?ra3Ze?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er?2?3?

4??rra?33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱

q?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生

?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r???er???? E1 的电场分别为 E1?er22??2??0r2?0r2??0r2?0rb b c ?0 a ＝ ?0 c a ＋

b ?? 0a c 题3. 3图(b)

?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2

2??0r2?02??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2?0?0r??r?2?0?r???er?E3?er???0 E32??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。

解：由??D??，有 ?(r)???D?故在r?a区域 ?(r)??01d2(rDr) 2rdr1d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr1d2(a5?Aa4)在r?a区域 ?(r)??02[r]?0 2rdrr43.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体

电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计

算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r3???0??E??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04

rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 ??2Q?2?0 24?a 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为

?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具

有什么关系？

解 （1）由高斯定理

??D?dS?q，当r?a时，有 D0S01?0

当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?ba?1?b?2?0，则得到 1??

?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点P1(2,1,?1)移到点P（1）沿曲线x?2y2；（2）沿连接该两点的直线。 2(8,2,?1)时电场所做的功：

dl?qE?dl?qExdx?Eydy? 解 （1）W?F?CCC???2222q?ydx?xdy?q?yd(2y)?2ydy?q?6y2dy?14q??28?10?6(J)

C11（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222?6故W?qydx?xdy?qyd(6y?4)?(6y?4)dy?q(12y?4)dy?14q??28?10(J)

C1???1 点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。

解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的

电位为

3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意

z L2L2?(r,0)? P ? ?L2??l0dz?4??0r?z?22?

L2?l0 o r

?l0ln(z??r2?z?2)4??0?

?L22r2?(L2)?L2?l0ln?

224??0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2??0r?L2 题3.8图

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为

dE?erdEr?er?l0dz?2??0r2?z?2cos??er?l0rdz?2??0(r2?z?2)32L20

故长为L的线电荷在点P的电场为

L2E??dE?er?2??0?l0rdz?2232?(r?z)0?z?)?erl0(2??0rr2?z?2?er?l0L

4??0rr2?(L2)2由E????求E，有

2?l0?L2?r2?(L2)??? E????????ln2??0?r??er?l0d?2lnL2?r2?(L2)?lnr??

???2??0dr?Lr?(L2)22???????l0?r1?e?l0?er???r?4??0r2??0??L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r???????

rP?l3.9 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?erdl求其电，试用定义式?(r)??E?2??0rr位函数。其中rP为电位参考点。

rPrP解

?(r)??E?dl??rr?l??lrdr?llrn?r2??0r2??02??P0rP lnr由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。

3.10 一点电荷?q位于(?a,0,0)，另一点电荷?2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。 解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位

?(x,y,z)?令?(x,y,z)?0，则有

14??0(x?a)?y?z(x?a)?y?z12??0

222222(x?a)?y?z(x?a)?y?z[q222?2q222]

即 4[(x?a)2?y2?z2]?(x?a)2?y2?z2

524a)?y2?z2?(a)2 3354由此可见，零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。

33Ze1r23(??) 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 ?(r)?4??0r2ra2raZe 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 D1?er4?r2故得 (x??4?ra33Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2?er??er224?r4?r所以原子外的电场为零。故原子内电位为

Ze1r23Zea1r(??) ?(r)??Ddr?(?)dr?234??r2r2r?0r4??0?rr0aaar3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

r?a??(r)?0? ?a2r?a??(r)?A(r?)cos??r1rar （1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解 （1）由E????，可得到 r?a时， E?????0

?a2?a2r?a时， E??????er[A(r?)cos?]?e?[A(r?)cos?]?

?rrr??ra2a2?erA(1?2)cos??e?A(1?2)sin?

rr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

???0n?Er?a??0er?Er?a??2?0Acos?

3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2??0 （1）sin(kx)sin(ly)e?hz 其中h2?k2?l2； （2）rn[cos(n?)?Asin(n?)] 圆柱坐标； （3）r?ncos(n?) 圆柱坐标； （4）rcos? 球坐标； （5）r?2cos? 球坐标。

?2??2??2?解 （1）在直角坐标系中 ???2?2?2

?x?y?z?2??2?hz2?hz 而 ?[sin(kx)sin(ly)e]??ksin(kx)sin(ly)e22?x?x?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]??lsin(kx)sin(ly)e22?y?y?2??2?2[sin(kx)sin(ly)e?hz]?h2sin(kx)sin(ly)e?hz 2?z?z故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0

21????2??2?(r)?22?2 （2）在圆柱坐标系中 ???r?r?rr???z1???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] 而

r?r?rr?r?r2

1?2???n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) （3）

r?r?rr?r?r1?2?2?n?2??nrcos(n?) 22r???2??2?n?2[rcos(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

1?2??1???1?2? (r)?2(sin?)?22（4）在球坐标系中 ???22r?r?rrsin?????rsin???1?2??1??2(r)?2[r2(rcos?)]?cos? 而 2r?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????21?2?1?2?(rcos?)?0

r2sin2???2r2sin2???2故 ?2??0

1?2??1??2(r)?2[r2(r?2cos?)]?2cos? （5） 2r?r?rr?r?rr1???1???2(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?2?1?2?2?(rcos?)?0

r2sin2???2r2sin2???2故 ?2??0

3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?

（1）e?ycoshx； （2）e?ycosx； （3）e?1?22(?rsin?)??cos? 2rsin???r1?2?22(?rsin?)??cos? 24rsin???rcosxsinx

（4）sinxsinysinz。

2y?2?y?2?y?2?y解 （1）2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0

?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解；

?2?y?2?y?2?y(ecosx)?2(ecosx)?2(ecosx)??e?ycosx?e?ycosx?0 （2） 2?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解；

?2?2y?2?2y?2?2y(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)? （3） 2?x?y?z?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0

所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解；

?2?2?2(sinxsiynszi?n)2(xsinysinz?si2n)（4） 2?x?y?z?3sinxsinysinz?0

所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。

x sinsin)(syin?z3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P0(exx?eyy?ezz)。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。

解 （1）

?P????P??3P0

?P(x?)?n?PL2L2x?L2?ex?Px?L2?LP0 2LP0 x??L2x??L22LLLLL同理 ?P(y?)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0

22222L32q??d???dS??3PL?6L?P0?0 （2） P?PP0??2?S?P(x??)?n?P??ex?P?3.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心点的电位为

解 由

2?r?1?2()R0 2?r3?0??D?dS?q，可得到

S4?r3r?R0时， 4?rD1??

3D1?r?rE?? 即 D1?， 1?r?03?r?0334?R02r?R0时， 4?rD2??

33D1?R0?R03? ， E2? 即 D2?22?3?r3r002故中心点的电位为

?22?R03?r?R?R2?r?1?2 00?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr???()R203?r?03?0r6?r?03?02?r3?00R0R3.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一

00R0?R0常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p????P??在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?n?Pr?R1d2KK(r)?? 22rdrrrK?er?Pr?R?

R（2）由于D??0E?P，所以 ??D??0??E???P?即 (1??0??D???P ?????0?K2

(???)r0?0)??D???P ?由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 ????D?????0??P???p??KR14??RK24?rdr? 总的自由电荷量 q???d??2????r???000?（3）介质球内、外的电场强度分别为

PK?er (r?R) ???0(???0)rq?RKE2?er?er22 (r?R)

4??0r?0(???0)rE1?介质球内、外的电位分别为

?R??1??E?dl??E1dr??E2dr?

K?RKdr?dr? 2??(???)r?(???)r00rR0KR?Kln? (r?R)

(???0)r?0(???0)???RK?RK?2??E2dr??dr? (r?R) 2?(???)r?(???)r000rr03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度?P的表达式。

rRrR??P????P????D??0??E

在介质内没有自由电荷密度时，??D?0，则有 ?P??0??E

(?E)????E?E????0 由于D??E，有 ??D???E??? 所以 ??E???解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为

由此可见，当电介质不均匀时，??E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。

（2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0??E???0E??? ?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的

E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)

那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？

解 设在介质2中

E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)

D2??0?r2E2?3?0E2

(D1?D2)?0，可得 在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?

??2?5?0?3?0E2z(x,y,0)于是得到 E2x(x,y,0)?2y

E2y(x,y,0)??3x

E2z(x,y,0)?103

故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为

E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)

不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的

电场是不相同的。

3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

?1??E0rcos???2?????03cos?aE02 r?a

??2?0r3?0Ercos? r?a

??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。

解 在球表面上

?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???Eacos?

??2?0??2?003?0E0acos?

??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???Ecos? r?a0?r??2?00??2?003?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2??故有 ?1(a,?)??2(a,?)， ?0r?ar?a

?r?r?2(a,?)??可见?1和?2满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为

?p?n?P2r?a?(???0)er?E2??(???0)??2?rr?a?3?0(???0)E0cos?

??2?0d)23.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0~用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。

(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。

解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有

?E??0E0

ddE?E??U0 又由于022由以上两式解得

d2z U0

2?0U02?U0d2? E??E?? ，0

(???0)d(???0)d2?0?U0 题 3.21图 ???E?? 故下极板的自由电荷面密度为 下(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为 上00(???0)d2?0(???0U)0P?(???)E??e 电介质中的极化强度 0z(???0)d2?0(???0U)0???e?P? 故下表面上的束缚电荷面密度为 p下z(???0)d2?0(???0)U0??e?P?? 上表面上的束缚电荷面密度为 p上z(???0)d2?0?UQ??? （2）由

ab(???0)dE0 (???0)dQU? 得到?1 2?0?ab?2 (???0)QE ?故 ?p下??ab(???0)Q?0 ? E0

?p上??

?ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。 ?1，如题3.22图所示。求：

3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角

解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 由此得到

tan?1?0? tan?2??1?tan?1?0tan?2?1?tan?10?tan?1?14? ??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即

?0E0cos?1??En ?1?所以 En?0E0cos?1?E0cos14

?4介质板左表面的束缚电荷面密度 介质板右表面的束缚电荷面密度

?p??(???0)En???0E0cos?1?4?340.?7E28 00340.?7E28 00?p?(???0)En??0E0cos?1?43.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：

（1）平行于E的针形空腔；

（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。

解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中

E0?E，D0??0E0??0E

（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中

D0?D??E，E0?D0?0??E ?03.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。

解 由题意可知，介质的介电常数为

???1?y(?2??)1d

设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得

Dy???q SEy?dDy??q

[?1?y(?2??1)d]Sd所以，两极板的电位差 U??Eydy??0?qqddy?ln2

[?1?y(?2??1)d]SS(?2??1)?10故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。

解 在质子束内部，由高斯定理可得 2?rEr?1?02?r?

?r2.32?10?7r4?3??1.31?10rVm (r?10 )故 Er?m?122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?0?a2?

?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10 )故 Er?m?122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证

?(??)。试问有没有束明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??J?缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。

???????D???(?E)???(J)?J??()???J 解

????(??) 对于恒定电流，有??J?0，故得到 ??J?介质中有束缚体电荷?P，且

????0?J??P????P????D??0??E??J??()??0??()??J??()?J??(0)??J??()

?????3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，外导体接地。

求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。

解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由J?dS?I，可得电流密度

S?I

(a?r?c)

2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0?E1?dr?E2?dr?ab??I2??1lnbIc?ln a2??2b于是得到 I?故两种介质中的电流密度和电场强度分别为

2??1?2U0

?2ln(ba)??1ln(cb)J?er?1?2U0 (a?r?c)

r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)] （2）由??n?D可得，介质1内表面的电荷面密度为

?1??1er?E1介质2外表面的电荷面密度为

r?a??1?2U0

a[?2ln(ba)??1ln(cb)]???2???2er?E2两种介质分界面上的电荷面密度为

r?c?2?1U0

c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0

r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2

I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)?12??(?1er?E1??2er?E2)3.28 半径为R和R(R?R)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导

2121率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。

解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以

4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)

(R1?r?R2)

R2由两导体间的电压 U0?R1?E?dr?R1??R(R?K)?II dr?ln?21?4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?4??0KU0可得到 ?R2(R1?K)?

ln???R1(R2?K)??0KU0J?er所以 ?R(R?K)?

r2ln?21??R1(R2?K)?I????J??()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为

1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln???R1(R2?K)??K2U0??1?er?J?r?R1???2??er?J?r?R2（2）两理想导体球面间的电阻

1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln??R(R?K)?12??KU01???R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21??R1(R2?K)??KU0U0R(R?K)1 ?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R和R的理想导体小球，两球

21R?之间的距离为d(d??R,d??R)，试求两小导体球面间的电阻。

12解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、d??R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。

设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R、d??R，可得到两小球表面的电位为

12q11(?) 4??R1d?R2q11?2??(?)

4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2I4??G?? 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R??(???)

G4??R1R2d?R1d?R2?1?3.30 在一块厚度d的导电板上， 由两个半径为r和r的圆弧和夹角为?的两半径割出的

21一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。

解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有

1E1?J U1 dr2 ? ? r1 3.30图

d 故得到沿厚度方向的电阻为 R1?d?U1?22

I1?J1S1??(r2?r1)d2J1??E1??U1

U12d ?22I1??(r2?r1)2（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I，则

J2?r2I2I?2S2?rdI2rln2 ??dr1

E2?J2I?2 ???rdU2??E2dr?r1故得到两圆弧面之间的电阻为

R2?U2r1?ln2 I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3?E3rd?

?0由于E3与?无关，所以得到

E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr?dU3?dU3r2I3??J3?e?dS??dr?ln

?r?r1Sr231U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。

故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

E(r)?b?l 2??0r由内外导体间的电压 U?Edr?a??l?lbdr?ln ?2??r2??a00ab得到 ?l?2??0U

ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中，rU

rln(ba)?a处的电场强度最大 E(a)?U

aln(ba)令E(a)对a的导数为零，即 由此得到 ln(b/a)?1 故有 a??E(a)1ln(ba)?1??2?0 2?aaln(ba)bb? e2.718eUEmin?U?2.718

bbql23.32 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单

2C位长度上的电容。

解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?内外导体间的电压为

ql2??r

bbU??Edr??a则同轴线单位长度的电容为 C??l?bdr?lln 2??r2??aaql2??U?ln(ba)

b22ql211qq112ll)2?rdr?同轴线单位长度的静电储能为 We???Ed????( ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，

此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。

解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有

E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到

D1S1?D2S2?q

即 2?r2?1E?2?r2?2E?q

所以 E?q2?r2(?1??2)

?1 a q 导体球的电位

?qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(?1??2)ar12aqC??2?(?1??2)a 故导体球的电容

?(a)??2 o 1q2（2） 总的静电能量为 We?q?(a)?

24?(?1??2)a3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。

解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。

导体球的电容为 C?4??0a

题 3.33图

q2q2? 故静电能量为 We?2C8??0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力

1?We1?q2q2f????()?

4?a2?a4?a2?a8??0a32?2?0a4方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?q22432??0a这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos? 在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为

2??2er

F??fdS???00222?aq eerasin?d?d??z32?2?0a432?2?0a42q2?2?cos?sin?d??32??a00q22ez

3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高

h?其中?为液体的质量密度。

解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时，其电容为

U(???0)()2 2?gd1C?U ?ah?0a(L?h)? dd金属板间的静电能量为

1aU22We?CU?[h??(L?h)?0]

22d液体受到竖直向上的静电力为

L h ?WeaU2Fe??(???0)

?h2d而液体所受重力

? d Fg?mg?ahd?g

2aUFe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg

2d题3.35图

故得到液面上升的高度

(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0?至180?电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。

解 当动片为?角时，电容器的电容为

350?25?12C??25???25?1.81?PF?(25?1.81?)?10F ?180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?1.81?)?10U0

22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？

（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为

S ?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极

板面积基本上垂直地插入，如题3.37(b)图所示，则电

d ?d 容器的能量如何变化？电容量又如何变化？

U0

解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为

题3.37图(a)

E0?U0 d电容为 C0??0Sd

?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22d当插入金属板后，电容器中的电场为 E?U0

d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0S C?2?

U0d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为

?C?C?C0??0Sd??d??0Sd?

?0S?dd(d??d)

?We?We?We0??0SU02?d2d(d??d)（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E

S q d 再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q

? ?0 ?S ?q q

??S??0(S??S)qd 两极板间的电位差位 U?Ed???S??0(S??S)于是得到极板间的电场为 E?211qd题3.37图(b) 此时的静电能量为 We?qU?22??S??0(S??S)??S??0(S??S) 其电容为 C?d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??

2?0S[??S??0(S??S)] 3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解决。

??t2?E?（1）证明：有源区E的微分方程为，?t????P；

?0（2）证明：E的解是 E?????td?? ?4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(??E)??2E?0

(???P) ?0?(???P)??t2?故得到 ?E?

?0?0??t2（2）在直角坐标系中?E?的三个分量方程为

?01??t1??t1??t22?2Ex? ，?Ey?，?Ez??0?x?0?y?0?z又 ??E?1?0??(D?P)?1其解分别为

1??td?? ?4??0?R?x?11??tEy??d?? ?4??0?R?y?Ex??1Ez??1??td?? ?4??0?R?z?1故 E?exEx?eyEy?ezEz?

??t??t1??t???t1?d?? [ex?ey?ez]d??? ???4??0?R4??0?R?x??y??z?13.39 证明：???(??tR???t)??t??()???t3? ，所以 RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RR???R?R???td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t??()d????4??0E?4??0E?0 故 ?R?解 由于 ??(

?t)d???0 R1???t

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