线性代数第二章2-1矩阵的初等变换

2.1

消元法与矩阵的初等变换

一、消元法解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程.引例 求解线性方程组

2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,

1 2

34

2

(1)

解1 2 3 2

(1)

x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,

1 2

34 1 2

( B1 )

2 3 4

3 21 31

34

( B2 )

1 2 2 3 52 4 32

x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,

1 2

34 1 2

( B3 )

34

4 2 3

( B4 )

34

用“回代”的方法求出解：

x1 x3 4 于是解得 x2 x3 3 x 3 4

其中x3为任意取值.

或令x3 c, 方程组的解可记作 x1 c 4 x2 c 3 x , x3 c 3 x 4 1 4 1 3 即x c 1 0 0 3

( 2)

其中c为任意常数.

小结： 1.上述解方程组的方法称为消元法. 2.始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 (1)交换方程次序； ( i 与 j 相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程； (以 i k 替换 i ) (3)一个方程加上另一个方程的k倍. (以 i k j 替换 i )

3.上述三种变换都是可逆的.

若( A) 若( A) 若( A)

i i i

j k kj

( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )i

i i

j

( A);

k ( A); kj

( A).

由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换.

二、矩阵的定义由 m n 个数 aij i 1,2, , m; j 1,2, , n 排成的 m行 n 列的数表a11 a21 a12 a22 a1n a2 n

am 1 am 2 amn称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作

主对角线 a11

a 21 A a 副对角线 m 1

a12 a 22 am1

a1 n a2n a mn

元素 行标 列标

简记为

A Am n aij m n aij .

元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.

例如

1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3 1 2 4

13 6 2i 是一

个 3 3 复矩阵, 2 2 2 2 2 2

2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,

4

是一个 3 1 矩阵,

是一个 1 1 矩阵.

几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ,称为 n 阶 方阵.也可记作 An .

例如

13 6 2i 2 2 2 2 2 2

是一个3 阶方阵.

(2)只有一行的矩阵 A a1 , a2 , , an ,称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵

a1 a2 B , 称为列矩阵(或列向量). a n 不全为0 1 0 0 2 形如 ( 3) 0O0 0 O 0 的方阵,称为对角 矩阵(或对角阵). n

记作

A diag 1 , 2 , , n .

m n 零 (4)元素全为零的矩阵称为零矩阵， 矩阵记作 om n 或 o .注意 例如

不同阶数的零矩阵是不相等的.

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0

(5)方阵

1 0 0 1 E En O 0 0

0 O 0 1

全为1

称为单位矩阵(或单位阵). 同型矩阵与矩阵相等的概念

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.

1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即

aij bij i 1,2, , m; j 1,2, , n ,则称矩阵 A与B相等,记作 A B.

三、非齐次线性方程组与矩阵 1、线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (2-8) am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm a11 a12 a1n a11 a12 记 a 21 a 22 a21 a22 a2 n , A A a am 2 m 1 a a a m2 mn m1

a1n b1 a2n b 2 a mn b m

A称为方程组(2-8)的系数矩阵, A称为增广矩阵

因为在引例解方程过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算.

若记

1 1 2 1 4 A ( A b) 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9

2 1 1

1 2

则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 A(方 程组(2-8)的增广矩阵)的变换.

四、矩阵的初等变换定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

1 对调两行(对调i , j 两行, 记作ri rj); 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj) .

(第 i 行乘 k , 记作 ri k)

同

理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”). 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同.

ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B. 等价关系的性质：(1) 反身性 A A;

(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C, 则 A C.

具有上述三条性质的关系称为等价. 例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价

例1:用矩阵的初等行变换 解方程组(1):1 2 2 1 1 1 1 2 1 4 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9

r1 r2

r3 2

1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7

4 2 B 1 2 9

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