17.从一道例题浅谈中考复习课中变式教学的策略

从一道例题浅谈中考复习课中变式教学的策略86

【摘要】复习阶段教师需要重视数学学习策略、学习方法和思维策略的指导，提高每一堂数学课的数学思维价值。中考复习课变式教学应从以下几个方面进行：1．一图多换---改换题设 拓展知识深度和广度，2. 一图多换---改变图形，追求知识本质的理解；3一图多换---改换题型，增强思维的灵活性和深刻性；4.一题多联---改换角度，理清知识之间相互联系。从而形成学习的可持续发展。

【关键词】一图多换，一图多变，一题多变，一题多联

1、问题的提出

现在数学变式教学有这么两种现象：

1.1 变式教学随意性。认为数学中考漫无边际，不能预测考题，靠学生的悟性。于是，一味强调多练，多看、多想、多讲，至于怎么练，怎么看，怎么想，怎么讲却不胜了了。

1.2要求超限度。课程标准对知识的考查有着明确的要求。但是我们实际教学中，我们老师往往违背了课标的要求无限的拔高，有的把一些难度较大的压轴题一味的让学生练习，做为检测知识掌握的标准，这样势必增加学生的心理压力，使学生的学习兴趣减退。

2、具体的教学策略

以上这些现象，造成了中考复习课教学的高耗低效。怎么办呢？我在实践中采用这样的方法：巧用常见考题进行变式教学，坚持合理推进，使得考题让学生愿做，能做，想做。形成学习的可持续发展。本文用一道例题的变式结合自己的教学，谈谈中考复习课中的变式教学的策略：

例1. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图1所示的方式放置。点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y?kx?b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是__________。

解法研究：解法1：根据题意知点A1、A2的坐标是A1(0,1)、

A2 y A3 B2 B3 A2(1,2)，把它们代入直线y?kx?b得?0?b?1?k?1解得所以直线A1A2的解??，，

?k?b?2?b?1A1 O B1 C1 图1 C2 C3 x 析式为y?x?1，因此直线A1A2与x轴、A1B1、A2B2，……，AnBn都成45?角，所以B3(7,4)、B4(15,8)，……，由此可看出点B1，B2，B3，B4，……，

Bn的横坐标分别为1，3，7，15，……，由此规律得出Bn的横坐标为2n?1；

点B1，B2，B3，B4，……，Bn的纵坐标分别为2，4，8，16，……，后一

第1页

个数比前一个数的比值都为2，由此规律得出Bn的纵坐标为2n?1.故Bn的坐标是

?2n?1，2n?1?.

解法2：由解法1可知直线的解析式为y?x?1，第一个正方形的边长为1，所以，点A1

（0，1） B1（1，1），第二个正方形的边长为2，所以，点A2（1，2），B2（3，2） 第三个正方形的边长为4，所以，点A3（3，4） B3（7，4） 以此类推……

Bn （1+2+4+8……+2n-1 ， 2 n-1）即： Bn2n?1，2n?1 解法3：所有正方形的边长都是成倍增长的。

即：1， 2， 4， 8， 16 ……

20 21 22 23 24

所以，第n个正方形的边长就是2n?1 ,那么点An的纵坐标为 2n?1 另外，可以求得 A1、A2……所在的直线的解析式为：y = x + 1

于是，x + 1 = 2n?1 x = 2n?1-1

n?1即：An 2n?1?1，2n?1由于， Bn的纵坐标与 An的相同，横坐标比An的多2,

????即：2n?1?1+2n?1?2?2n?1?1?2n?1所以 Bn 2n?1，2n?1

感悟：本题综合了坐标、正方形、一次函数等知识,趣味性和思维性并存，较好地考查了学

生规律探究能力。解法1渗透了函数在解题中的求点的坐标的方便性，解法2则很好的拓展了代数式的变形知识及整体思想，如：设A=1+2+4+8……+2n-1 ,则2A=2+4+8……+2n所以2A-A=2+4+8……+2n -（1+2+4+8……+2n-1 ）=2-1。这也是复习阶段教师需要重视数学学习策略、学习方法和思维策略的指导，提高每一堂数学课的数学思维价值，日积月累，积土成山，积水成海，使学生的数学素养在数学学习实践中不断发展。

2.1．一图多换----改换题设 拓展知识深度和广度

对习题的题设或结论进行变换、增加或者题设与结论置换.这是改编习题最基本的形式.它能将一个问题从多个角度或反向来研究，同时加深学生对知识的系统理解,增强学生解题的应变能力，培养学生思维的灵活性。

变式1：正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图2所示的方式放置。点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y?kx?b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Cn的坐标是______．An的坐标是______． S正方形n面积= ．

y A2 A1 O B1 C1 图2 第2页

C2 C3 x A3 B2 B3 n??解法研究：由例1可知：An 2n?1?1，2n?1，而点Cn的横坐标是点Bn的横坐标相同，

n?1nnn?1C，因为 B 的坐标为，所以S=22?1，02?1，2n故n正方形????????2?22n?2

A3 B3 B2

变式2．如图3，四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形．点

y A2 A1 B1 A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y?kx?b(k>0)和x轴上, 点B3的坐标是（

199，）,则k+b= ． O C1 C2 C3 x 44图3 19解法研究：根据A3B3C3C2为正方形，点B3的坐标是（， 49），确定A3坐标，利用相似知识证明△A1B1A2∽△A2B2A3相似，确定A2坐标，然后4199代入解析式即可求出．由于A3B3C3C2为正方形，点B3的坐标是（，），所以正449199959方形A3B3C3C2的边长为，于是A3坐标为（即（，）．设OC1=C1B1=x，?，）444424C1C2=C2B2= AB5AB-x，易得△A1B1A2∽△A2B2A3，所以32?21 A2B2A1B129?5????x?5?x?x52594?2??2即 x2= ＞（舍去）．A2坐标为（1，?1），,解得x1=1，5x424?x2即（1，33），代入y=kx+b得k+b= ． 22感悟：变式1没有改变题目的条件及图形，而是将求点的坐标问题拓展到了图形面积问题的

规律探索，变式2则是给出部分点的坐标，根据点的坐标得出线段的长度，再运用相似来解决问题，这两类问题都是学生在学习中的易错点和学困点，加强这类知识深度和广度的拓展有助于学生形成良好的灵活应变能力。

2.2 一图多变------改变图形，追求知识本质的理解

数学知识的本质理解在于知识本质能满足学生将知识迁移到不同的题目的需要。包括对数学概念、数学术语、数学符号的价值意义、对学习的材料作出重新判断，形成合情推理和逻辑推理水平，感悟数学知识发现、理解和运用过程中的思想方法和思维方式，感受数学直观和数学理性的有机结合，而改变图形是促进学生对之类几何知识的本质的理解的有效方法。

变式3.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图4所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，?，按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）

?3?A．5???2?2009?9? B．5???4?2010?9? C．5???4?2008

?3? D．5???2?4018

第3页

解题研究: 第1个正方形ABCD的边长AD＝5，面积是 C1 y C2 ?3?5???2?0?2C ；因为△AOD与△A1BA相似，所以可以求得A1B＝D O A B A1 B1 A2 B2 x 55，所以第2个正方形A1B1C1C的边长A1C＝＋5＝ 222图4 1?2?35?35?3?，面积是?＝5??；因为△A1BA与△A2B1A1相似，所以可以求得A2B1＝ ???2?2??2??95?35353595，所以第3个正方形A2B2C2C1的边长A2C1＝＋＝，面积是?＝

?4??4424???3?5???2?2?22；因为△A2B1A1与△A3B2A2相似，所以可以求得A3B2＝

95，所以第4个正方形823?2?275?9595275?3?A3B3C3C2的边长A3C2＝＋＝，面积是?＝5??；可以得到第???848?2??8??3?5个正方形的面积是5???2??3?5???2?40184?2?3?；?；以此类推第2010个正方形的面积是5???2?2009?2＝

；?．将这些正方形的面积排列为：

第1个，第2个，第3个，第4个，第5个，?，第2010个如下：

?3?5???2?

0?2?3??3?，5??，5???2??2?1?22?2?3?，5???2?3?2?3?，5???2?4?2?3?，?，5???2?y 1 C 2009?2故选择D

变式4．如图5所示，已知：点A(0)，C(01)00，)，B(3，，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个

A1 A2 A3 △AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则

第n个等边三角形的边长等于 ．

解题研究:要求出第n个等边三角形的边长，需求出第1

O (A) 图5

B1 1 B2 B3 B 2 x 第4页

个等边三角形的边长、第2个等边三角形的边长?，从中发现规律，则可顺利解决.在Rt△ABC中，OC=1,OB=3，则∠ACB=60°，因为△A1B10为等边三角形，所以∠A1OC=30°，故A1O⊥BC，sin60??AO31 ?OC2因为OC=1，故OB1?333，同理可得B1B2?2，?，Bn?1Bn?n. 22232n.

则第n个三角形的变长为：Bn?1Bn?感悟：这两个变式题都需要把图形的数量关系坐标化，将其转化为长度关系，并且一开始就

没有给出第1个图形的边长，需要根据已知来求，然后依次求第2个，第3个，?，然后归纳得出一般结果.这类问题注重检验考生的学习潜能，仅仅有书面的知识是不行的，还必须具备较强的逻辑判断能力、运算能力与归纳推理能力．

2.3．一题多变-----改换题型，增强思维的灵活性和深刻性。

改换题型有两种情况，一种是仅在形式上的变换，如填空题改选择题，这种变换在复习过程中发挥不了多大的作用，另一种是会影响解答过程和思维方式的变化，才对复习效果的提高起一定作用，如封闭性试题改开放探索题，静态题改为动态题等.由此可知题型的改换，既可将有关知识重点复习，又能活跃思维、强化思想方法的掌握.

变式5：正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图6所示的方式放置，点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b(k＞0)上，直线y=kx+b(k＞0)分别交x轴、y轴于点D、M与,已知点B(1，1)，B(3，

1

2

2)，

（1） 求证点M是A1OD的中点。 （2） 求S△DBnCn的值（用n表示）

（3） 若记S△A1MB1=S1, S△A2B1B2=S2 …则Sn= ； S1 +S2+ S3+ …

Sn= .

解法研究：（1）根据题意知点B1(1，1)，B2(3，2)，把它们代入直线y?kx?b得??k?b?1，

?3k?b?21?k??111?2A解得?所以直线的解析式为，所以OM=AM=，故点M是Ay?x?121，222?b?1??2第5页

A1O的中点。

n?1（2）由点Bn的坐标2n?1，2n?1可知：DCn=2n，BnCn=2, S△DBnCn=

??1DCn×2BnCn=

1nn?1n2?2n?1 ?2?2=22（3）因为点M是A1O的中点。所以S1=因为点B1是A1C1的中点，S2=S正方形=22n?2，故Sn=

1S

4A1O C1 B1,

11SA C C B Sn=S正方形n，由变式1可知： 42122……….412n?2?2?22n?4， 4022n?4所以S1 +S2+ S3+ … Sn=2?2?2?......?2则2?A?222?2设A=2?2?2?......?2，

?2022n?4,

?2?2?20?22?......?22n?4?=20?22?......?22n?4?22n?2

1?1?122?A?A?22n?2?2?2=22n?2?,故A??22n?2??,

3?4?4即S1 +S2+ S3+ … Sn=

变式6. 如图7，点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),...........,Bn(n,yn) (n是正整数)依次

为

一

次

函

数

1?2n?21??? ?23?4?y?11x?412的图像上的点，点

A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),...........,An(xn,0) (n是正整数)依次是x轴正半轴上的

点，已知x1?a(0?a?1),?A1B1A2,?A2B2A3,?A3B3A4,........,?AnBnAn?1分别是以

B1,B2,B3,...........,Bn为顶点的等腰三角形。

（1）写出B2,Bn两点的坐标； （2）求x2,x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三

角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论； （3）当a(0?a?1)变化时，在

上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出

相应的a的值；若不存在，请说明理由。

第6页

图7

解法研究:(1)B2(2,7n1),Bn(n,?) 12412 (2) x2?2?a,x3?2?a

结论1:顶点为B1,B3,B5,...........,等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a 结论2:顶点为B2,B4,B6,...........,等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a 结论3:每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2.

(3)设第n个等腰三角形恰好为直角三角形,那么这个三角形的底边等于高yn的2倍.由第(2)小题的结论可知:

n111?),化简得: n??4a?(0?a?1) 412311121???n?,?n?1或3?a?或

3336n11 当n为偶数时,有2a=2(?),得: n?4a?(0?a?1)

41231117217???n?,?n?2?a?，综上所述,存在直角三角形,且a?或或

33123612当n为奇数时,有2?2a?2(感悟：变式5在例题1的基础上改变了直线y=kx+b(k＞0)的位置，在解题过程中更加突出

了直线的作用，在解法上则融汇了例题中的归纳猜想、整体代入思想，对例题具有较好延伸。而变式6在原题的基础上将正方形变式为等腰三角形，融存在性和开放性为一体，数学应用的灵活性较高，考查学生对文字的描述理解能力、规律探究能力，形成易错点。又由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，并且探索的问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，学生需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这也是新课标对学生学习数学的要求。

4.一题多联------改换角度，理清知识之间相互联系。

用改换角度的策略去改编试题，其作用是使学生学会变换角度去认识知识和思考问题.特别是对互相之间联系密切、并经常相互转化的知识内容，形成链状的变式题来复习，将起到事半功倍的效果，因为其变式功能把相关知识（包括方法和技能）自然、顺畅、扎实地联系起来，同时还使知识得到深化发展.如下面变式。

变式7.如图8，在平面直角坐标系上有n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形

的下底均在x轴上，从原点O处引线段OPn,可得如图的阴影部分，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，??，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，?，可得Sn= .

解法研究：这个上底、两腰长皆为1，下底长为2的特殊等腰梯形通过平移腰或作高可求得

第7页

图8

梯形高为

33，梯形面积为3．由题意可知△AN1M1与第二个等腰梯形空白处三角24形相似，相似比为2:1，对应高的比也为2:1，故第二个梯形中空白处三角形高为梯形

1，同理△AN2M2与第三个梯形中空白处三角形相似，相似比为1:4，311其高为梯形高的；第四个梯形空白处三角形高为梯形高的，?.

57高的故S1=

31313133??1?(?)=， 3??4223434S2=31313133133??1?(?)=3??3??，以此类推可得Sn= . 422545442n?14

变式：8.如图9，平面直角坐标系中一点A（2，1），AC⊥x轴于C，点B是AO中点，作B1C1⊥x轴

1

于C，AC交BC于B；作BC⊥x轴于C，A C

1

1

1

2

22

2

2

交BC于B，依次下去，得到点B，B，B，…，

2

3

4

5

6

B，则点B的坐标为 ．

n

n

图9

解法研究：因为AC⊥x轴，BC⊥x轴，BC⊥x轴…，所以BC ∥BC∥…BC∥AC.

11

2

2

1

1

22

n

n

故

B1C1OC1111???,根据A（2，1）可知B1C1=，B1?1,，由B2C2∥AC可知：??ACOC22?2?B2C2C1B2111??，同理B3C3=，BnCn=。设过BC的直线解析式为y?kx?b，

1

ACC1A34n?11?k?b??1?、根据点B、C坐标是?，把它们代入直线y?kx?b得?2，解得1,??（2，0）1

?2???2k?b?01?11?k??所以直线BC的解析式为，设B的坐标为（a, ）代入y??x?12?，1n

2n?1??b?112n2n1,则B的坐标为（, ） y??x?1得：a=

n

2n?1n?1n?1感悟：这两个变式都是以相似为载体，着重突出了相似比在解题中的作用，以图形呈现方式

考查学生探究规律，猜想结论的能力．类似于这类变式不在于难，而在于解决该题所用的方

第8页

法具有良好的迁移性、广泛的适用性；反复进行一题多联的变式，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。使得学生既增长知识，又培养了思维能力。

变式 1 变式 2 变式 5 变式 6 变式 3 变式 4 变式 7 变式 8 改编题设 突出点的坐标的作用 改编题型 突出直线的作用 例1 以正方形和直线为载体 改编图形形状 突出归纳能力 改编角度 突出相似的 作用 通过以上例举，可以说明用变式形式复习是引领学生自我探索和完善知识系统掌握的过程，它不仅改变了学生单一的思维方式，也改变了教学形式的内容的封闭性，活跃了课堂，营造了更好的学习平台，使学生的想象力和创造力得到充分的开掘与发挥，同时也教给了学生掌握知识，探求知识，运用知识的方法.

3、实施过程的思考

通过作业、测验、练习等出现的典型例题分析难点、考点，并对例题进行初步的变式与解决策略探讨。通过寻求在学生认知方面的理论与技术方面的支持，进一步完善变式题的改编。坚持进行变式考题研究，使自己在复习阶段后期的教学过程中能对主要知识点学生有可能会出现的各种思维障碍有预见性，从而能在教学设计，课堂教学中加以重视，提高复习教学的高效性。具体的操作过程如下：

典型例题 学优生自行尝试变式探究 变式尝试 教师尝试变式探究 对好的变式予以帅选、分类 学优生自行提出解决策略 提出解决策略 教师帮助提出解决策略 将变式推广到全班学生 总结、评价及反馈 第9页

数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”而数学本身就比较抽象，加上复习又常走老路，吃倒饭。因此教师要善于将教材中的试题、中考试题进行变式、归纳，让学生感到数学复习形式有“老歌新唱”之感受，复习内容有“浅印深痕”之效果。

参考文献

【1】中华人民共和国教育部制订．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：

北京师范大学出版社，2001，7

【2】 吴增生.基础复习课中的若干问题及其思考[J]，中学数学教学参考（中旬）2011.1-2 【3】 吴增生.《数学概念及其表征》[J]，数学通报，2008，3，北京 【4】 黄毅英，许世红. 数学教学内容知识：结构特征与研发举例[J]，数学教育学报2009.2

第10页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mng6.html