七年级下数学各章节全部学案

序 言

当前，数学课堂教学正从“以教为中心”向“以学为中心”转变，教师在“教”的同时越来越关注学生的“学”， “先学后教”、“以学定教” 的教学方式正在为大家所用。而课前预习则是学生“先学”的重要方式。我校是一所民办寄宿制学校，学生有较多的自习时间，为了让学生有效预习，高效预习，我们除开辟专门时段让学生预习外，还编制了这套《预习与思考》，引导学生思考，教会学生预习与自学。

《预习与思考》的编制遵循建构主义学习理论和初中生认知规律，要达到“四化一疑”的要求，“四化”指预习内容问题化，预习新知生成化，难点内容坡度化，数学思想方法显现化，“一疑”指学生要大胆质疑，善于提出问题。

《预习与思考》设有四个栏目：“自主学习”栏目是从学生最近发展区出发，创设问题情景，引导学生探究；“数学实验”栏目是让学生在“做”中学，通过动手操作，抽象思维等数学活动，发现数学规律，验证数学结论；“数学阅读”栏目是让学生了解一些数学发展史，感受数学文化，增强数学应用意识，获得更多的情感体验；“我的收获与疑惑”栏目是让学生总结探究过程，归纳数学知识，发现并提出问题。

初中数学苏教版教材主编董林伟先生说：“数学原本是好玩的”。数学学习应是快乐的，主动学，用心学，学生就能学好有用的数学。

肖 维 松 2012年10月

目 录

第七章 平面图形的认识（二） .......................... 1 7.1 探索直线平行的条件（1） ................................................................... 1 7.1 探索直线平行的条件（2） ................................................................... 2 7.2 探索平行线的性质 ................................................................................. 3 7.3 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5 7.5 第八章 8.1 8.2 8.2 8.3 8.3 8.3 第九章 9.1 9.2 9.3 9.4 9.4 9.4 9.5

图形的平移（1） ................................................................................... 4 图形的平移（2） ................................................................................... 6 认识三角形（1） ................................................................................... 7 认识三角形（2） ................................................................................... 8 三角形的内角和（1） ......................................................................... 10 三角形的内角和（2） ......................................................................... 11 三角形的内角和（3） ......................................................................... 12 幂的运算 .................................... 14 同底数的乘法 ....................................................................................... 14 幂的乘方与积的乘方（1） ................................................................. 15 幂的乘方与积的乘方（2） ................................................................. 16 同底数幂的除法（1） ......................................................................... 17 同底数幂的除法（2） ......................................................................... 18 同底数幂的除法（3） ......................................................................... 19 从面积到乘法公式 ............................. 21 单项式乘单项式 ................................................................................... 21 单项式乘多项式 ................................................................................... 23 多项式乘多项式 ................................................................................... 24 乘法公式（1） ..................................................................................... 25 乘法公式（2） ..................................................................................... 26 乘法公式（3） ..................................................................................... 27 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一） ....................... 28

9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）(1) .......................................... 30 9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）(2) .......................................... 31 第十章 二元一次方程组 ............................... 33 10.1 二元一次方程 ..................................................................................... 33 10.2 二元一次方程组 ................................................................................. 35 10.3 解二元一次方程组（1） ................................................................... 36 10.3 解二元一次方程组（2） ................................................................... 37 10.4 用方程组解决问题（1） ................................................................... 38 10.4 用方程组解决问题（2） ................................................................... 39 10.4 用方程组解决问题（3） ................................................................... 40 第十一章 图形的全等 ................................. 42 11.1 全等图形 ............................................................................................. 42 11.2 全等三角形 ......................................................................................... 44 11.3 探索三角形全等的条件（1） ........................................................... 45 11.3 探索三角形全等的条件（2） ........................................................... 46 11.3 探索三角形全等的条件（3） ........................................................... 47 11.3 探索三角形全等的条件（4） ........................................................... 48 11.3 探索三角形全等的条件（5） ........................................................... 49 第十二章 数据在我们周围 ............................. 51 12.1 普查与抽样调查 ................................................................................. 51 12.2 统计图的选用（1） ........................................................................... 52 12.2 统计图的选用（2） ........................................................................... 54 12.3 频数分布表和频数分布直方图 ......................................................... 55 第十三章 感受概率 .................................. 57 13.1 确定与不确定 ..................................................................................... 57 13.2 可能性（1） ....................................................................................... 58 13.2 可能性（2） ....................................................................................... 60

第七章 平面图形的认识（二） 7.1 探索直线平行的条件（1）

自主学习 问题一：如图： 3根木条（或硬纸条）相交成∠1、∠2，固定木条b、c ，转动木条a，

1.在木条a的转动过程中，∠2与∠1的大小关系发生了什么变化？ 2.当∠2与∠1的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？

问题二：利用平移三角尺的方法画平行线，探索直线平行的条件。

图中，当∠1与∠2相等，所画的直线a、b就 ；当∠1与∠2不相等时，直线a、b平行吗？

问题三：直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中， 像∠1与∠2这样的一对角的位置有什么特点？ 请问图中还有没有其他类似的角？ 这样的角我们把它称为 。 归纳： 相等，两直线 。

问题四：图中的∠1与∠C、∠2与∠B、∠3与∠C，各是哪两条直线被哪一条直线所截成的同位角？如果∠1=∠C，DE∥BC吗？

我的收获与疑惑 1

7.1 探索直线平行的条件（2） 自主学习 问题一：如图，直线a、b被直线c所截，∠2=∠3.直线a与直线b平行吗？为什么？

用已有的知识说明理由。

我们发现：∠2与∠3是__________，所以，如果______________，那么两直线平行。

问题二：如图，直线a、b被直线c所截，∠2+∠3=180°.直线a与直线b平行吗？为

什么？用已有的知识说明理由。

我们发现：∠2与∠3是_________，所以，如果_____________，那么两直线平行。

问题三：如图，如果?1??2，那么AB与DC平行吗？为什么？ 如果?3??4，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？

问题四：如图，直线a、b被直线c所截，∠1+∠2=180°. 直线a与直线b平行吗？通过三种方法说明。

2 3 1 c a b 2 b 1 3 a c 1 2 3 b a c 我的收获与疑惑

2

7.2 探索平行线的性质

自主学习 问题一：如图，AB∥CD，则通过测量相交的度数说明图中的同位角有怎样的数量关系？

E A 1 3 B 4 2 C D

F 由此可得：两直线平行，同位角

问题二： 用上题的结论，尝试去说明?2??3，?3??4?1800。

故可得，两直线平行，内错角 ，两直线平行，同旁内角

问题三：如图l1//l2,l3?l1,l3与l2 有怎样的位置关系？

l3 l1 l2

问题四：如图CD∥EF，DE∥AC。请找出图中相等的角，并说明理由。

ADFCEB

我的收获与疑惑 3

7.3 图形的平移（1）

自主学习 问题一：1．手扶电梯的人、传送带上的物品等等,都在沿着某一方向平行移动.你能举出生活中类似的例子吗?

2．课本第14页“做一做”的第1题. 提示：将△ABC向右平移6格，即分别将点A、

B、C向右平移6格，得点A′、B′、C′，然后依次连结点A′、B′、C′. 平

移后的三角形的边长、角的大小改变吗？

在平面内，我们将一个图形沿着 移动 的距离，这样的图形运动叫做图形的平移. 图形平移的实质就是图形上所有的点都按照同一方向移动同样的距离. 平移不改变图形的 、 .

问题二：下列五幅图案中，⑵、⑶、⑷、⑸中的哪个图案可以由(1)图案平移得到？（ ） A．⑵ B．⑶ C．⑷ D．⑸

问题三：要完成平移，必须要具备两个条件，即平移的 和 。你会画平移吗？

1.如图，请你根据图中的信息，把小船ABCD通过平移后到A?B?C?D?的位置，画出平移后的小船位置．

2.在图3中，把点A按箭头方向平移2 cm.

3.在图4中，把线段AB按箭头方向平移2 cm.你会画吗？（提示：过点A画箭头的平行线，就是方向） .

A图3

图3 AB

4

数学实验 利用平移设计图案

1．指出下面的图案是由哪些“基本图案”平移得到的。

2．与同学合作，收集几幅利用图形平移所形成的美丽的图案，并在全班交流。3．利用图形平移设计一幅漂亮的图案，并展示你的作品。 我的收获与疑惑 5

7.3 图形的平移（2）

自主学习 问题一： (1) 在图1中，画图：把线段AB向左平移4格，得到线段A’B’.

(2) 线段AB与A’B’叫做对应线段，平移后对应线段之间的位置和数量有什么关系？ ，

(3) 点A通过平移得到点A’，点A与点A’是一组对应点. 同样的，点B与B’ 是另一组对应点. 用红线画出连结各组对应点的线段AA’与BB’， 线段AA’与BB’之间的位置和数量有什么关系？ ， 问题二： (1) 在图2中，画图：把△ABC向右平移4格，得到△A’B’C’.

(2) 对应线段AB与A’B’、BC与B’C’、AC与

图1

ABA’C’ 之间的数量与位置有什么关系？ ，

(3) 点A与A’是一组对应点，点B与B’、点C与

CC’是对应点. 用红线画出连结各组对应点的线段AA’与BB’， 线段AA’与BB’之间的位置和数量有什么关

系？ ， ；再用红线画出连结各组对应点的线段CC’， 线段AA’与CC’之间的位置和数量有什么关系？ ， ；线段AA’ 、

图2

ABBB’、CC’之间的位置和数量有什么关系？ ， .

结论：图形经过平移，平移前后的线段 且 ；连接各组对应点所得的线段互相 ，并且 . 问题三：. 阅读课本第17页图7-22，思考：三角尺平移过程中(如图3)， （1）三角尺的顶点A、B运动所形成的两条直线a、b是否平行？为什么？

（2）在平移过程中，AC是否始终垂直于直线a、b? 为什么？

结论：如果两条直线平行，那么其中一条直线上的任意两点到 的距离相等，这个距离称为平行间的距离.

如果两条直线平行，那么其中一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长就是平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.

BCB'bC'AA'a图3

我的收获与疑惑

6

7.4 认识三角形（1）

自主学习 问题一：生活中具有三角形形状的事物很多，举出生活中常见的三角形。

问题二：三角形有哪些基本元素？如何表示？

问题三：三角形如何分类的？ （1）按角分：

（2）按边分：

问题四：任意画一个三角形，量出它的三边长，计算任意两边之和与第三边比较。你能得出什么结论？

a+b c， c+b a， c+a b，

你能得出什么结论？ 。

B a

C

c A

b

B c a

b

C

A

我的收获与疑惑 7

7.4 认识三角形（2）

自主学习 问题一：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高.（高是线段）

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，有什么发现？

问题二：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线.（角平分线是线段）

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，有什么发现？

问题三：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.（中线是线段）

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，有什么发现？

问题四：如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的角平分线，填空：

∵AF是△ABC的高，∴∠ =∠ =90； ∵AD是△ABC的中线，∴ = =

0

A

A

A

C

B

C

B C B

我的发现是：

A

A

A

C

B

C

B C B

我的发现是：

A

A

A

C

B

C

B C B

我的发现是：

A1 ； 2BD FEC8

∵AE是△ADC的角平分线，∴∠ =∠ =

12∠ . 反之：如图，（1）当 = 时，AD是△ABC的中线. （2）当 = 时，ED是△BEC的角平分线.

A（3）当AD⊥BC时，BD是△ 的高，又是△ 的高. E

BDC我的收获与疑惑 9

7.5 三角形的内角和（1）

自主学习 问题一：（1）先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行；然后把另外两角相向对折，使其顶点与对折角的顶点相嵌合，可得：三角形3个内角的和等于 .

(2)你能证明吗？请你画出图形，并写出已知，求证并证明。

问题二：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的二个

锐角之间有何关系？你得到的结论是 。 A(2)如图3，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AD是AB边上的高. 那么在Rt△ABC中，∠B与∠ 互余； 在Rt△BDC中，∠B+∠ =90°； 在Rt△ADC中，∠A+∠ =90°.

问题三：（1）阅读课本第26页“试一试”. 三角形的一边与 另一边的 所组成的角，叫做三角形的外角. 三角形 的一个外角等于 的和. （2）如图，AF、BD、CE分别是边BA、CB、AC的延长线. D∠ABD = ∠ +∠ ；∠BCE = ∠ +∠ ； ∠CAF = ∠ +∠ .

问题四：如图，AD是角平分线，∠EAC=∠B，那么∠ADE与∠DAE相等吗？为什么？

BDC

(B) A (C)

D

C

FA1B2B

3CEA123 E我的收获与疑惑

10

7.5 三角形的内角和（2）

自主学习 问题一：我们已经知道三角形的内角和等于180°，矩形的内角和等于360°那么任意一个四边形内角和等于多少度呢？

问题二：请尝试用说理的方法说明你的猜想的正确性？你有几种不同的方法？可以参照下面三个图形来说明。 C D D C D C A B

A O

B

A O B

图1

图2

图3

问题三：你能用类似的方法能推出五边形的内角和吗？六边形呢？

问题四：探究多边形的内角和.从下图中选一个说明多边形的内角和。

D

A

D

D

A O A B

C B

C

B

O C

图4

图5

图6

问题五：(1) 求15边形的内角和。

(2) 一个多边形的每一个内角都是144?，求它的边数.

我的收获与疑惑 11

7.5 三角形的内角和（3）

自主学习 问题一： 如图1，DF是边CD的延长线，?EDF叫做 五边形ABCDE的一个外角；多边形的一边与另一边的 所组成的角，叫做多边形的外角.

在多边形的每个顶点处分别取这个多边形的 个 外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.

问题二：如图2，∠α、∠β、∠γ是△ABC的三个外角，这三个角的和就是三角形的外角和. 请探求 ∠α+∠β+∠γ=?

问题三：∠α、∠β、∠γ、∠δ是四边形ABCD 的4个外角，这4个角的和就是四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少呢？

问题四：设n边形的n个内角分别是∠1、∠2、∠3、?∠n，与这些内角分别相邻的一个外角分别是∠α1、∠α2、∠α3、?∠αn. ∠α1+∠α2+∠α3+?+∠αn=？

1

2

3

A

B

B

C 图1

E

D F

β C γ 3 B 2 1 α

A

图2

C γ 3 D 4 δ β B 2 1 α A

n边形的外角和等于360°. 即任意多边形的外角和等于360°

12

数学阅读 多边形的对角线

1.四边形中经过每一个顶点的对角线有_1__条其中每一条都重复了_1__次，所以，四边形共有_2__条对角线。

2.五边形中经过每一个顶点的对角线有_2__条其中每一条都重复了__1_次，所以，五边形共有_5__条对角线。

3.六边形中经过每一个顶点的对角线有_3__条其中每一条都重复了__1_次，所以，六边形共有_9__条对角线。

??????

4.n边形中经过每一个顶点的对角线有_n-3__条其中每一条都重复了_1__次，所以，n边形共有_n(n-3)/2__条对角线。

（n-3）是因为n边形共有n条边，从一个顶点出发，除了自己这个顶点和与自己相邻的两个顶点不能连成对角线，一共三条线，所以减去3，为（n-3）。

n(n-3)/2是因为从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，而n边形共有n条边，所以为n（n-3），但其中又有正好一半儿是重复的，所以就再除以2，为n(n-3)/2。 n边形一共有n(n-3)/2条对角线。 我的收获与疑惑 13

第八章 幂的运算 8.1 同底数的乘法

自主学习 问题一：太阳光照射到地球表面所需的时间大约是5?10s，光的速度大约是

23?108m/s；那么地球与太阳之间的距离是多少？

问题二：（1）怎样计算10m?10n（m，n是正整数）？ （2）计算下列各式

102?105 104?105 103?105

?1?m?1n（3）当m，n是正整数时，2m?2n等于什么？???2?????2??呢？

问题三：当m，n是正整数，试用乘方的意义来计算am?an. 同底数幂相乘， 不变，指数 .

am?an?ap? am?an?ap?at? 问题四：计算：

（1）3x3?x9?x2?x10?2x?x3?x8 （2）32?3?27?3?81?3

（3）b?(?b)2?(?b)?(?b)2 （4）1000?10m?10m?3

我的收获与疑惑

14

8.2 幂的乘方与积的乘方（1）

自主学习 问题一：要建一个长、宽、深都是10cm的正方体水池，建好后，它的最大蓄水量是多4

少cm3

？

1：这个水池的体积计算公式是什么？如何计算？

2：你是如何认识(104)3

的？

问题二：请你说说下列各式的表示的意义，并进行计算：

(23)6______________________________________________ (a2)5______________________________________________ (am)5______________________________________________

从上面的计算中，你发现了什么规律?

问题三：一般情况下，当a为任意数，m、n是正整数时，计算(am)n

(am)n

= amn

于是得(am)n = amn(m，n都是正整数)

这就是说，幂的乘方， 不变，指数 ． 问题四：在下面的括号内填入正确数值：

（1） x3·x( )=x6 （2） [x( )]3=x6 （3） (x5)( )=x20 （4）x8=x7·x( ) （5）(a3)()?a2?a14

问题五：（1）若ax?2,则a3x= 。

（2）若3n?2，3m?5，则32m?3n?1= 。

（3）若xm?x2m?2，求x9m的值。

我的收获与疑惑

15

8.2 幂的乘方与积的乘方（2）

自主学习 3nab，ab????问题一：（1）说出

的意义？

（2）分别计算出它们的结果。

(ab)n?an·bn（n为正整数）

这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 问题二：（1）如何计算（abc）n呢？三个或三个以上的乘方，也具有这一性质，

?abc?n

?an·bn·cn

n

nna·b??ab?（2）此性质可以逆用：

问题三：计算：

?1??1????·???（1）?2??2?23

102a·a·a

（2）

（3）?a·a

26

（4）3?27?81

2

mn问题四: 已知a?2，a?3，求下列各式的值。

（1）am?1

（2）a3?n

（3）am?n?3

问题五：计算：

16(0125.) （1）

?5??17?(?8) （2）??13?2002?13?????5?2001

（3）

.??215?012515??3

我的收获与疑惑

16

8.3 同底数幂的除法（1）

自主学习 问题一：一颗人造地球卫星运行速度是2.88?10Km/h ,一架喷气式飞机飞行的速度是

41.8?103 Km/h 。这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机速度的多少倍？如何计

算？

问题二：计算a?a(a?0)? 1.你能用乘方的意义来说明吗？写出过程。

2.你能用同底数幂相乘的法则来说明吗？

综上所述，可以得出：同底数幂相除，底数 ，指数 . 符号语言：

84274，（a?0,m,n是 数，m?n）

10问题三：下面的计算是否正确？如有错误，请改正. （1）a?a?a （2）t

（3）m?m?m （4）(?z)?(?z)??z

问题四：写出下列幂的运算公式的逆向形式，完成后面的题目.

55624?t9?t

am?n? am?n?

amn? anbn?

abmna?b2m?3n(1)已知x?32,x?4，求x.(2)已知x?5,x?3，求x.

问题五：一种液体1升含有10个有害细菌，为了试验某种杀虫剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死10个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？ 912我的收获与疑惑

17

8.3 同底数幂的除法（2）

自主学习 问题一：(1) 完成下列填空：16=2 ；8=2；4=2

3

3

0

4

3

（ ）

；2=2

（ ）

；1=2

3

3

（ ）

. =2

( )

(2) 已知2÷2=8÷8=1；如果用同底数幂除法法则，则2÷2=2

3－3

.

结论：当a≠0时，a= ．用文字叙述： 的数的零次幂等于 ． 问题二：根据乘方和除法的意义计算：2÷2=除法法则计算：2÷2=2

3

4

( )

3

4

2?2?2=（ ）；如果用同底数幂的

2?2?2?21

=2

( )

；所以可以规定：2=（ ）；

n

结论： 当a≠0，n是正整数时，a= ．用文字叙述： 的数的

11?

n次幂等于 ．如：3=2=.

39?b?问题三：1.当a≠0，b≠0，n是正整数时，???a??3?n?a?=??．也就是说：一个分数的?n次?b?3n38?3??2?2幂等于这个分数的倒数的n次幂. 如：??=??=3=

23273????2.下列的式子是否正确？如有错误，请改正． (1) 1?0； (2) 2 (3)10改正：

?20?3??8；

??20； (4) a2n?a2n?a(a≠0，n是正整数)．

100

)= ；π= . 2222.（1）?3??9 （2）(?3)?9

问题四：填空：1. (2)= ；(

0

（3）?3?211??()2= （4）(?3)?2?(?)2= 33?3?1?（5）????2??3?（7）????2? = （6）?2?1?????2??3?3= =

?2?= （8）????3?我的收获与疑惑 18

8.3 同底数幂的除法（3）

自主学习 问题一： 10=0.1；10

1

?

= 0.01；10

?

= ；10

?

= ；你发现

什么规律？ 问题二： 阅读课本第49页例2.

注意：3.14×0.1=0.314，3.14×0.01=0.0314，3.14×0.001=0.00314，3.14×0.0001=0.000314，3.14×0.00001=0.0000314. 按照这个规律，请直接写出：3.14×0.00000001=

问题三：1.一个很小的正数可以写成1个正整数与10的负整数指数幂的积的形式吗？

2.太阳的半径为700 000 000m 用科学计数法可以写成7?10，太阳的主要成分是氢，而氢原子的半径大约只有0．000 000 000 05m，类似的可以写成 。

我们得到结论，一个正数利用科学记数法可以写成a×10的形式，其中1≤a＜10，n是整数。

问题四：1. 人体中的红细胞的直径约为0．000 007 7m，而流感病毒的直径约为

0．000 000 08m，用科学记数法表示这两个量

2.在显微镜下，一种细胞的截面积可以近似的看成圆，它的半径为7.80×10m，试求这种细胞的截面面积（π≈3.14）

问题五：1.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜。”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事。据测算，5万粒芝麻才200克，你能换算出1粒芝麻有多少克吗？可别“占小便宜吃大亏”噢！（把你的结果用科学记数法表示）

2.滴水穿石的故事大家都听过吧？现在测量出：水珠不断地滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为4×10m的小洞，问平均每个月小洞的深度增加多少（单位：m ，用科学计数法表示）？

19

-2

-7

n

8 数学阅读 基 因 基因是决定一个生物物种的所有生命现象的遗传因子。植物的高矮、果实的大小、动物的体形、动物的食性等主要是由基因控制的。 不同生物的基因个数往往不同。例如，人的基因约有3.0?10个；线虫有1.9?10个左右；真菌有6?10个左右；结核病菌有4?10个左右。 DNA是每一个生物携带自身基因的载体，它是遗传 物质脱氧核糖核酸的英文简称。DNA分子的直径只有 33442?10?7cm, DNA分子像一架向右盘旋的螺旋形梯子 （如下图），。生物的遗传信息大多储存在DNA分子上。 数学实验 生活中的“较大数”与“较小数”

活动一

1. 估测自己的步长;

2.估计你1h大约走多少步？它可以绕我们的操场多少圈（一圈400米）？ 3.走 (一百万)步要多少小时？

4.从上海到北京约1 400km,如果从上海出发步行到北京,大约要走多少小时? 活动二

1. 测量数学课本的厚度; 2.估算数学课本一张纸的厚度;

3.估计100万册这样的数学课本摞在一起有多高？能与珠穆朗玛峰(8844.43m)比高吗？ 活动三

1.测量教室的面积；

2.10m的面积相当于多少间教室的面积？

3.根据你班的学生数，估计这么多间教室可供多少学生上课？

请你通过各种方式收集生活中的“较大数”与“较小数”3个以上,用你熟悉的事物来描述，并与同学交流。

62我的收获与疑惑

20

第九章 从面积到乘法公式 9.1 单项式乘单项式

自主学习 问题一:将几台型号相同的电视机叠放在一起组成“电视墙”，计算图中这块“电视墙”的面积。 ① 你能用图形的面积说明3a?3b等于多少吗？

② 3a?3b用运算律又可怎样计算呢？

下列各式如何计算？请你边做边想每一步的计算依据。 （1）2ab?3ab (2) 4ab?5b (3) 6x?(?2xy) 问题二: 1.填空：

（1）(2.判断正误： （1）3x??2x

（4）?3x?2xy?6xy （5）3ab?3ab?9ab

3.计算:(1)?(x)?(2xy)； （2）(a)?(?2ab)；

（3）(?x)?2x?(?5x)； (4)(2x)?(?3xy)

问题三：你觉得在进行单项式乘单项式运算时需注意些什么？和同伴交流一下吧！

21

23232222322232)?(?3xy)??12x2y （2）2ab?()??6a2bc

3393?2??5x25 （2）3a?4a?12a （3）3b?8b?24b

2222222 数学阅读 数学趣联

宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试.他们到达试院时为时已晚.考官说:\我出一联,你们若对得上,我就让你们进考场.\考官的上联是:一叶孤舟,坐了二三个学子,启用四桨五帆,经过六滩七湾,历尽八颠九簸,可叹十分来迟.

苏东坡对出的下联是:十年寒窗,进了九八家书院,抛却七情六欲,苦读五经四书,考了三番两次,今日一定要中.

考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中,将读书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致.

我的收获与疑惑 22

9.2 单项式乘多项式

自主学习 问题一：计算右图的图形面积并思考下列问题： （1）有哪些方法计算大长方形的面积？试分别用代数式表示出来。

（2）根据大长方形面积的不同计算方法，你会发现单项式与多项式相乘的法则 ，依据是

问题二：计算下列各式，并说出每一步的算理。

1.a(5a+3b) 2.(x-2y)·2x

32?13.（1）??3x2???4x?3? ； 4.??ab?3ab??ab

?4?3

我的收获与疑惑

23

9.3 多项式乘多项式

自主学习 问题一：如图，将4个长方形拼成一个大长方形。 看图回答：(1)大长方形的长是_________，宽是________。 (2)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个小长方形面积分别是______________ (3)由(1)，(2)可得出等式(a?b)(c?d)?_________． 根据以上探索你认为应如何进行多项式与多项式的乘法运算？

问题二：请用问题一的结论计算下列各题：

(1) (x-1)(2x-3); (2) (3m+2n)(7m-6n)

(3) (7-3x)(7+3x); (4) (x－2)(x＋4);

问题三：填空

(x＋2)(x＋3)＝ ；(y＋4)(y＋6)＝ . (x－2)(x＋3)＝ ；(y＋4)(y－6)＝ . (x－2)(x－3)＝ ；(y－4)(y－6)＝ . ①根据上面的计算结果，同学们有什么发现？

②观察右图，填空(x＋m)(x＋n)＝( )＋( )x＋( )

问题四：先化简,再求值：6x2-(2x+1)(3x-2)+(x+3)(x-3),其中x=1

22

2

我的收获与疑惑 24

9.4 乘法公式（1）

自主学习 问题一：将右图看成一个大正方形，则面积为 。 将右图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，那么它的面积为 。

结论

利用多项式乘法法则计算：(a?b) = 计算：(a?b)

完全平方公式：(a?b) ?a?2ab?b；(a?b)?a?2ab?b 你能说出这两个公式的特点吗？

问题二：1.对照完成平方式填空（注意分析，找出a、b） ①x??222222222??16??2???③a?ab??1?⑤?y??4x?2??2?2； ②?3x?2????4y2???2； ④25a2?50ab?????12y?4?2 ?2

?16x2???

做完之后和同伴交流一下方法。

2.用完全平方公式计算

(1) ( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2 （3）（ -x + 2y）2

(4) ( -2a - 5)2 (5)（a+b+c）2

我的收获与疑惑 25

9.4 乘法公式(2)

自主学习 问题一:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上， 如右图，你能用多种方法求出未被盖住的部分的面积吗？ ．．．．

a b b a a 22通过计算面积得平方差公式： (a?b)(a?b)?a?b 你能说出这个公式的特点吗？ 问题二：

1.填空：① (a?2)(a

b

b

a b b a

)?a2?4 ② (n22)(5?x)?25?x2

n22③(2a?4b)（ ）=16b?4a ④ (x?y)（ ）=x222n?y2n

⑤（ ）（ ）=169x?196y ⑥(m?5n)(5n?m)? 2.用平方差公式计算，同时想一想公式中的a与b

（1）(5x?y)(5x?y) （2）(m?2n)(2n?m)

（3）(?x?3y)(?x?3y) （4）(1?1y)(1?1y)

55

81（5）102×98 （6）19?20 99

我的收获与疑惑 26

9.4 乘法公式（3）

自主学习 问题一：

1.完全平方公式：(a?b)= ； (a?b)= 平方差公式：(a?b)(a?b)= 2.公式运用： ①a?b??2222???a?b?2 ②a2?b2?????a?b?2

22? ④?a?b?2??a?b?2??? ③?a?b???a?b???2???a?b?2 ⑥?a?b?2?????a?b?2 ⑤?a?b???问题二：多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（请尽可能多的填写正确答案） 问题三：计算：⑴(x?3)(x?3)(x?9) ⑵ (2x?3)2(2x?3)2

⑶ (x?y?4)(x?y?4)

做完后和同伴交流一下每题中用了哪些乘法公式、运算法则。 问题四：条件求值：

⑴已知a+b=-2,ab=-15求a+b.

2

2

2的值．(2)已知x?y?7,xy?9,求（x?y）

2我的收获与疑惑 27

第十章 二元一次方程组 10.1 二元一次方程

自主学习 问题一：甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg .

(1) 列出关于x、y的二元一次方程; (2) 如果x=12，求y的值；

(3) 请将关于x、y的二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式

问题二：写出一个二元一次方程，使x=-1 ,y=3为它的一个解，该二元一次方程可以为 问题三：二元一次方程x-y=5的解有多少个？ x y

问题四：如图，等腰三角形ABC， AB＝x，BC＝y，周长为12． （1）列出关于x、y的二元一次方程 （2）求该方程的所有整数解。

33

0 1 1.5 2 3 4 5 －2 －1 ?? ABC 数学阅读 康熙创造的数学术语

解方程时，大家总会碰到“元”、“次”、“根（解）”．不过，你知道题目中的数学术语“元”、“次”、“根（解）”（当然只是指汉语译名）是谁创造的？说来你也许不信，是清朝的康熙皇帝．

康熙皇帝是一个抱负远大、好学上进的君主，他曾拜比利时的南怀仁等传教士为师，学习天文、数学、地理，还学拉丁文．康熙大帝虽然聪颖过人，但是听外籍教师讲课并不轻松．因为南怀仁等人的汉语和满语水平有限，日常会话还能够勉强对付着，而要将严谨而高深的科学知识表达出来就显得力不从心了．而当时课本多是外文，即使中译本也是半通不通的．这样，学习中就必然有许多精力被消耗在语言沟通上，进度不快． 不过，康熙学习很刻苦，也很有耐心．一遍听不懂，就请老师再讲一遍，直至真正弄懂为止．南怀仁在讲方程时句子冗长，吐音又很不清楚，康熙的脑子常常被搞得晕晕糊糊的．怎样才能让老师讲得好懂呢？一阵冥思苦想后，一个妙法突然冒出来．他向南怀仁建议，将未知数翻译为“元”，最高次数翻译为“次”（限整式方程），使方程左右两边相等的未知数的值翻译为“根”或“解”??南怀仁用笔认真地记了下来，随即用这些新创术语换下自己原先使用的繁琐词语：“求二“元”一“次”方程的“根（解）”??”果然扫除了很多障碍，提高数学效率．南怀仁惊疑地盯着康熙，愣怔了一会儿，突然按照西方最亲切的礼节一下子将康熙紧紧抱住：“我读书和教书几十年，无论是老师还是学生，还从来没见过一个像您这样肯动脑筋的人！”

康熙创造的这几个数学术语科学而简洁，十分便于理解和记忆，因此一直延用到今天．

我的收获与疑惑 34

10.2 二元一次方程组

自主学习 问题一：根据下列问题，列出关于x、y的二元一次方程组：

（1)甲、乙两个数的和是24，甲数比乙数的2倍少1.设甲数为x，乙数为y.

（2) 一个长方形的周长是32cm, 长比宽多1cm. 设这个长方形的长为x cm，宽为y cm.

（3) 已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30o. 设∠A的度数为x o，∠B的度数为y o.

问题二：请你设计一个问题情境,根据它所描述的关系,建立二元一次方程组模型是?x?y?2, ?2x?3y?14.?

?x?2,?x??1,?x?3,问题三：有3对数: ①? ②? ③? 在这3对数中, 是

?y?2;?y??9;?y??1.方程3x?y?8的解; 是方程2x?y?7的解; 是二元一次方程?3x?y?8组?的解.

2x?y?7?

问题四：甲种饮料每瓶2.5元，乙种饮料每瓶1.5元，某人买了x 瓶甲种饮料，y瓶乙种饮料，共花了34元。

（1）列出关于x、y的二元一次方程；

（2）如果甲种饮料和乙种饮料共买16瓶，列出关于x、y的二元一次方程组，并找出它的解。

我的收获与疑惑 35

10.3 解二元一次方程组（1）

自主学习 问题一：

1．把方程2x?y?1写成用x表示y的形式，结果是y= 。

2．把y?2x?1代入方程4x?y?3，消去y，得关于x的方程 。（不必化简）。

3．用代入法解方程组：

?y?x?x?2y?4（1）??y?4x?15 （2） ??2x?3y?1

用代入法解二玩一次方程组的基本思想是 。 代入消元法的步骤是： 1. 2. 3. 4.

问题二：已知方程组??2x?y?4m?32y?x??3 的解x,y互为相反数，求m的值。

?

我的收获与疑惑 36

10.3 解二元一次方程组（2）

自主学习 ?x?2y?1问题一：?

?3x?2y?5.除了用代入消元法求解以外，观察方程组未知数的系数的特点，还能有其他方法消元吗？ 问题二：用加减消元法解方程组： ??5x?2y?4, ?2x?3y??5.

加减消元法的基本思想是： 。

加减消元法的步骤是：

?a?2b?c问题三：解方程组：??1?a?3b?c?5

??2a?b?c?8

问题四：若3x?2y?7?5x?2y?1?0,求x、y的值。

我的收获与疑惑 37

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