人际关系网络建模与相关性估计 - 图文

人际关系网络建模与相关性估计

摘要 人际关系是一个复杂的网络，其中蕴藏着许多有待挖掘的信息，了解这些信息对组织的管理和运作有很重要的指导意义。本文对人际关系网络建模，提出人际关系相关度概念，用以描述个体在群体中与他人的关联程度。并建立仿真算法对一个人际关系网络实例进行了计算分析。从中发现了网络中所蕴藏的丰富信息，并与实事有很好的吻合。 关键词：人际关系网络、线性相关度、入度

1引言

本文讨论的重点是个体在群体中的相关性。两个人直接的公务或私人交往可以使相关性很大，同时，作为错综复杂的网络，间接的联系也可以提供很大的相关性，所以这是一个很复杂的问题，涉及的因素很多，用逐条分析的方法是很困难的。传统的边连接，最短路和入度出度的分析在一定程度上也可以反映相关性，但是这些分析都要对复杂的网络几何结构进行分析和识别，比较繁琐。 人际关系是一个复杂系统，系统中存在很大的非线性性，用传统的还原论的方法难以整体把握系统具有的涌现性。受SWARM仿真平台的启发，系统整体表现出的复杂特性源于每个个体简单行为的整体效应，所以可以通过建立适当的仿真算法，和提出适当的数学指标来对系统的整体特性得到把握，挖掘出其中具有的信息。由于系统的非线性性是很复杂的，所以可以通过多次的线性迭代去近似地逼近这种非线性。这样就跨过了对系统内部错综复杂的结构关系的分析，而令其在一定规则下运行，得到我们想要的整体性特征。

2数学模型的建立

2.1定义和假设 邻接矩阵：若编号为i的人和编号为j的人在某一单位时间发生交往，则邻接矩阵A中第i列第j行的元素aij?1，否则aij?0，并规定aii?0

位置矩阵：关系空间Rn为一个n维的欧氏空间，每一个人在空间中的位置用一个行向量表示。如

T编号为i的人对应的行向量为?i?(bi1,bi2,...,bin)。矩阵P?(?1,?2,....,?n)称为位置矩阵。

向量的线性相关性：位置矩阵中的一行表示一个人在线性空间中的位置。rij??i?jT/(?i?j)表示第i人和第j人的线性相关性。

关联度：假设人与人之间在单位时间内是否发生联系（或称之为交往）服从伯努利分布B(1,?)，并且在两个人的关系比较稳定的时候，认为?是常数。定义第i人和第j人的相关度为?ij。 概率矩阵：表示任意两个人之间相关度的矩阵(?ij)。 2.2 个体在关系空间中的运动方式

吸引运动：若编号为i的人和n个人组成的集合中的一个子集中的人在某单位时间内发生交往（aij?1,i?j），则他在位置空间中分别向这些人的方向移动一个固定的步长。 用数学的形式化语言描述如下： 设邻接矩阵为

A?(?1,?2,...,?n)，其中?i?(ai1,ai2,...,ain)。设每一次移动的步长为l1，则编号为i的人一次要

nnT移动

?i?1,i?j即若编号为i的人在t时刻的位置为?i，则他在t?1时刻的位置为?i?aij?jl1，

?i?1,i?j aij?jl1。

排斥运动：若编号为i的人和n个人组成的集合中的一个子集中的人在某单位时间内发生交往（aij?0），则他在位置空间中分别向这些人的方向的反方向移动一个固定的步长。 设每一次移动的步长为l2

n则编号为i的人一次要移动??i?1,i?jaij?jl1，即若编号为i的人在t时刻的位置为?i，则他在t?1时刻

n的位置为?i??i?1,i?jaij?jl1。给定初值后进行跌代仿真。

2.3 线性相关性对相关对相关度的修正

相关度的估计是一个给定初值的迭代估计过程，而每一次迭代中，线性相关性都要对相关度进行修正。修正公式为：?ij(k?1)??ij(k)?12rij(k)

3 算法的流程

Step1：输入位置矩阵初值，邻接矩阵初值，概率矩阵初值； Step2：通过邻接矩阵的信息，确定个体的运动，更新位置矩阵； Step3：计算线性相关矩阵；

Step4：通过线性相关矩阵修正概率矩阵的值，更新概率矩阵；

Step5：根据概率矩阵信息，产生服从伯努利分布的随机数，更新邻接矩阵；

Step6：若新概率矩阵和旧概率矩阵差异小于一个阈值，则停止迭代，否则转step1。

概率矩阵线性相关矩阵随机生成计算线性相关性个体向量矩阵邻接矩阵吸引排斥运动 图1 算法流程图

4 算例分析

4.1数据采集

某单位48名人员组成的关系网络，人员编号1-48，作为网络的节点。每人填写问卷调查，选出本人认为交往相对频繁的人，若编号i的人认为他和编号为j的人交往相对频繁，则在在节点i和j之间有有向的弧lij，从而形成一个有向图。

图2 人际关系网络图

4.2参数的设置

参数的设置包括个体在位置空间中的初始位置矩阵P0、个体在位置空间中吸引移动的步长l1、排斥步长l2，停止条件。适当的参数选择会得到比较好的计算结果，而不当的参数选择会丢失计算结果中有价值的信息。为了设置前当的参数首先对算法的特点进行分析。

初始位置矩阵P0的选择，因为计算的结果是基于每个向量的相关性的，在没有任何先验信息的情况下，并且保证规则的公平性，需要使48个向量在初始时刻是线性无关的，因此可以设P0为48维的单位矩阵乘以一个初始距离。

步长的设置。过大的步长会使所有的向量在很短的时间内聚集到一起，而使任何两个向量的线性性过强，不易体现差异，所以在保证运算时间可接受的范围内，应把步长选得小些，可更好地体现系统运作中的非线性性。

在本算例中，选取初始位置矩阵为100?E48。对于概率矩阵的定义如下：设Q?当Q中第i行第j列元素为0时，令?ij(0)12(A?A)，

(0)T?0.3；当Q中第i行第j列元素为1时，令?ij(0)?0.9；

当Q中第i行第j列元素为0.5时，令?ij?0.5。

5 结果和分析

5.1相关度矩阵

通过迭代计算，得到概率矩阵的稳定解，即相关度矩阵。用热度图的形式表示该矩阵如图二。由于人员的编号是按照寝室的顺序编排的，我们可以看到，在此图对角线区域，人员的关联度很高，呈现一个个类似方形区域。而在远离对角线之外的区域，有些地方关联度很低，即是表现为人员的

相对隔离，二有些地方仍然关联度很高，说明区域的隔离在一定程度上影响人与人的交往，但也不是绝对的。此图中的关联度，有很多是介于0和1之间的数值，这些数值可能是由于人与人之间的简介关系带来的，这在传统的边连接图中是没有的。

图3 关联性矩阵

5.2 迭代次数和概率修正的关系

下面以第25号人为例，展示他和其他人关系随迭代次数的变化。下面把其余47人分为三类。第一类：他们和25号人在调查表中相互连接；第二类：他们和25号人之间在调查表中只有单方面的连接；第三类：他们和第25号人在调查表中双方互不连接。

对于第一类，我们得到图4。从中可以看出，对于双方互连的情况，他们的关联度是不断增加的，而且稳定后达到相同的最大关系值。

图4 第一类关系的迭代与概率修正关系

对于第二类，我们得到图5。从中可以看出，对于只有单方连接的情况，有些人的关联度随迭代次数增加而提升，有些随迭代次数增加而降低。最后稳定在不同的数值，其原因是由于节点在图中和其他更多节点的间接连接关系导致的。

图5 第二类关系的迭代与概率修正关系

对于第三类，我们得到图6。从中可以看出，对于双方都不连接的情况，绝大数人的关联度随迭代次数的增加而下降到最小值，而少数下降但未到最小值就稳定了，而更有一些会上升到一个值而稳定。这也是由于节点在图中错综复杂的间接联系导致的。

图5 第三类关系的迭代与概率修正关系

5.3 算法对初值稳定性的分析

因为算法中的概率矩阵的初值是人为设定的，那么这种设定是否合理呢，微小的初值偏差会不会导致计算结果的截然不同呢，这点是很重要的。如果算法具有渐进稳定性，即一定的初值偏差，随迭代次数的增加，结果会趋于很接近，那么这是我们希望的最好结果。同样，我们和上一部分一样，分双方互连，单方连接，和双方都不连接的情况来讨论这个问题。

对于第一种情况，我们选取25号和23号进行进行计算。给出不同的概率初值：0.7，0.75， 0.8，0.85，0.9。计算结果见图六。从中我们可以看出，对于双方互连的情况，算法具有初值的渐进稳定性。

图7 第一类关系不同初值下，相关性随迭代次数的变化情况

对于第二种情况，我们选取25号和13号计算。选取概率初值为：0.4，0.45, 0.5，0.55，0.6。计算结果见图七。从中我们可以看出，对于单方连接的情况，随着迭代次数的增加，计算结果的差异可以控制在一个范围内，具有初值稳定性，但是不具有渐进稳定性。

图8 第二类关系不同初值下，相关性随迭代次数的变化情况

对于第三种情况，我们选取25号和47号进行计算。选取概率初值为：0.1，

0.15，0.2，0.25，0.3。计算结果见图八。从中我们可以看出，对于双方都不连接的情况，随着迭代次数的增加，计算结果的差异减小，最后收敛在最小值处，具有渐进稳定性。

图9 第三类关系不同初值下，相关性随迭代次数的变化情况

6 结论

本文中建立了一种分析人际关系网络的仿真算法，提出了个体之间相关度的概念，用以更精确地反映群体中个体之间的联系紧密程度。通过算例的计算得到了与实际吻合较好的结果，并从计算结果中反映出了节点之间复杂的间接关系的差异导致的相关度的差异。并且验证了算法对于初值的稳定性，发现此算法对于初值具有较好的稳定性。其中相关度因为采用仿真算法而得到，能够表现非直接连接节点之间的间接关系，所以更能体现系统的总体性特征，能够包含系统中更多的信息。此种方法对从事人事管理有一定的指导意义。

图7 第一类关系不同初值下，相关性随迭代次数的变化情况

对于第二种情况，我们选取25号和13号计算。选取概率初值为：0.4，0.45, 0.5，0.55，0.6。计算结果见图七。从中我们可以看出，对于单方连接的情况，随着迭代次数的增加，计算结果的差异可以控制在一个范围内，具有初值稳定性，但是不具有渐进稳定性。

图8 第二类关系不同初值下，相关性随迭代次数的变化情况

对于第三种情况，我们选取25号和47号进行计算。选取概率初值为：0.1，

0.15，0.2，0.25，0.3。计算结果见图八。从中我们可以看出，对于双方都不连接的情况，随着迭代次数的增加，计算结果的差异减小，最后收敛在最小值处，具有渐进稳定性。

图9 第三类关系不同初值下，相关性随迭代次数的变化情况

6 结论

本文中建立了一种分析人际关系网络的仿真算法，提出了个体之间相关度的概念，用以更精确地反映群体中个体之间的联系紧密程度。通过算例的计算得到了与实际吻合较好的结果，并从计算结果中反映出了节点之间复杂的间接关系的差异导致的相关度的差异。并且验证了算法对于初值的稳定性，发现此算法对于初值具有较好的稳定性。其中相关度因为采用仿真算法而得到，能够表现非直接连接节点之间的间接关系，所以更能体现系统的总体性特征，能够包含系统中更多的信息。此种方法对从事人事管理有一定的指导意义。

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