蔡氏混沌非线性电路的研究

蔡氏混沌非线性电路的研究

摘要

本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。

关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真

Abstract

This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.

Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；simulation

一． 引言：

1

混沌是一种自然界普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用已成为自然科学和社会科学领域的一个重点研究对象。混沌是由确定性因素导致的类似随机运动的动力学行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。混沌中蕴含着有序，有序的过程中可能出现混沌。混沌的基本特征是具有对初始条件的极度敏感性，初始值的微小差别经过一段时间后可能导致系统运动过程的显著差异。混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题，因而成为20 世纪三大重要基础科学之一。非线性电路中一个最典型的混沌电路是三阶自治蔡氏电路，在这个电路中能够观察到混沌吸引子。蔡氏电路是能够产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中观察到。经过若干年的研究，蔡氏电路在理论和实践方面都取得巨大进展，与此同时人们也在不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应等方面产生新的技术构想，并有希望很快成为现实[1-3]。

二． 混沌理论的发展与蔡氏电路的出现

2

混沌理论的基本思想起源于20世纪初，完善于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80年代，被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域第三次大革命。混沌理论揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，简单性与复杂性的统一，稳定性与不稳定性的统一，完全性与不完全性的统一，自相似性与非相似性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。今天，混沌理论又与计算机科学等相结合，使人们对一些久悬未解的难题的研究取得了突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用。

混沌的概念最初由Poincare（庞加莱）提出[4]。19世纪末20世纪初，法国数学家Poincare在研究三体问题时无法求出精确解，而是在一定范围内求出一些随机解。这一发现使Poincare成为世界上发现混沌现象的第一人。

20世纪20年代，G.D.Birkhoff紧跟Poincare的学术思想，建立了动力系统理论的两个重要研究方向：拓扑理论和遍历理论。到1960年前后，非线性科学研究得到了突飞猛进的发展，A.N.Kolmogorov、V.I.Arnold及J.Moser深入研究了Hamilton系统（或保守系统）中的运动稳定性，并得出了著名的KAM定理，KAM定理揭示了Hamilton系统中KAM环面的破坏，并为混沌运动奠定了基础。

实际上，有关耗散系统中混沌现象的研究起始于20世纪60年代，美国气象学家E.N.Lorenz在对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值模拟时，发现在某些条件下可能出现非周期的无规则行为。这一结果解释了长期天气预报始终没有获得过成功的内在机理，即确定性动力学系统中存在有混沌运动。E.N.Lorenz在得到第一个奇怪吸引子——Lorenz吸引子的同时，还进一步研究了混沌运动的基本特征。1963年E.N.Lorenz在美国《大气科学杂志》上发表文章《确定性的非周期流》，并给出了混沌解的第一个例子。

1964年M.He’non等人以KAM理论为背景，研究发现了一个二维不可积Hamilton系统中的确定性随机行为，即He’non吸引子。在此之后，D.Ruelle和F.Takens提出了奇怪吸引子的概念，并将这一概念引入耗散系统。1971年二人提出一种新的湍流发生机制，这一工作由J.P.Gollub等人实验的验证。1974年，美国数学家Smale发明的马蹄吸引子结构成为混沌经久不衰的现象，尤其是Smale提出的马蹄变换，为20世纪70年代混沌理论的研究做了重要的数学准备。

1975年，Maryland大学的T.Y.Li（李天岩）和J.A.York在美国《数学月刊》上发表了“Period Three Implies Chaos”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，这被认

3

为是对混沌的第一次正式表述，现称为Li-York定义或Li-York定理，Chaos一词也自此被正式使用。

1976年，R.M.May研究了一维平方映射，并在一篇综述中提出即使是非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。在此基础上，美国物理学家M.J.Feigenbaum于1978年发现了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性，把混沌研究从定性分析推进到定量计算阶段，并引入了重整化群思想，这是一个重大的发现，具有里程碑的意义。

进入20世纪80年代，混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象、独特的概念体系和方法论框架的学科。随着相关理论的不断完善，有关混沌的研究也更加深入。 F.Takens于1981年提出了判定奇怪吸引子的实验方法，而由P.J.Holmes转述并发展的Melnikov理论分析方法则可用于判别二维系统中稳定流形和不稳定流形是否相交，也即判别是否出现混沌。

20世纪80年代初P.Linsay通过对含变容二极管的二阶非自治电路的研究，在实际物理系统中验证了Feigenbaum的倍周期分岔通向混沌的理论。Y.Ueda、L.O.Chua等对正弦激励下非自治电路中混沌现象的研究是电路系统关于混沌的早期研究。

1984年，L.O.Chua提出了著名的双涡卷三阶自治电路——蔡氏电路，并采用电路实验、计算机模拟、理论分析等多种研究工具对电路系统中的混沌行为进行了研究，给非线性自治电路系统中分岔、混沌现象的研究提供了一个较为完善的范例。蔡氏电路以一个分段线性负电阻为核心，在不同的参数组合下可产生极其丰富的分岔与混沌现象。同时，蔡氏电路还被认为是能够产生混沌现象的三阶自治电路最紧凑结构。

随后的十多年间，有关产生混沌、超混沌的构造与实际电路系统的不断报道，不仅给非线性动力学系统中混沌理论的研究提供了丰富的资料，也使电路系统中混沌现象的研究成为整个混沌理论研究中不可缺少的一个重要组成部分。直到目前，有关非线性系统中混沌、混沌产生的机制、产生混沌的系统等仍然是研究的热点内容之一。

三． 混沌现象及其特征

4

混沌信号是一种貌似随机而又服从一定规律的信号。对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，且在状态平面上其相轨迹始终不会重复，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。

根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质： （1）存在所有阶的周期轨道；

（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任何一个轨道不趋于周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；

（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

由此可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面。第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。

根据文献[6][7]，混沌主要特征表现在： （1）敏感依赖于初始条件； （2）伸长与折叠；

（3）具有丰富的层次和自相似结构； （4）在非线性耗散系统中存在混沌吸引子。 同时，混沌运动还具有如下特征： （1）存在可数无穷多个稳定的周期轨道； （2）存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； （3）至少存在一个不稳定的非周期轨道。

随着时间的增加，相空间中的轨线或轨道都向某个子集逼近，在逼近过程中不仅有体积的压缩，还有维数的减少，直至达到最小为止，则该具有最小维数的子集就是吸引子。吸引子只能出现在非保守系统（即耗散系统）中，对电路而言，非保守系统就是电路中至少有一个正电阻存在，并且使得电路在某个工作区域内整体上是耗能的。对连续系统而言，吸引子可以在任意阶的系统中出现，但混沌吸引子只可能在三阶或三阶以上的自治系统中出现。混沌吸引子是整体稳定和局部不稳定相结合的产物[4]。

混沌并不是简单的无序或混乱，而是没有明显的周期和对称，但却具备了丰富的内

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mn22.html