【配套K12】北京市东城区2016—2017学年高二数学下学期期末教学统一检测试题 理(含解析)

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教育配套资料K12 东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测

高二数学(理科)

本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共24分）

一、选择题: （本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数，则在复平面内对应的点所在象限为

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】B 【解析】复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点所在象限在第二象限，选

2. 直线（为参数）的斜率为 A. B. C. D.

【答案】A 【解析】削去参数得：

，直线的斜率为 ，选A.

3. 在的展开式中，的系数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

,令 ，则

，的系数为，选A. 4. 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为

A. 4种

B. 12种

C. 24种

D. 120种

【答案】C

【解析】一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，则不同的站法为

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K12 种，选C.

5. 在极坐标系中，点到直线的距离为 A. B. C. D.

【答案】B 【解析】把极坐标化为直角坐标为，直线极坐标方程化为直角坐标方程为，点到直线的距离1，选.

6. 袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为 A. B. C. D.

【答案】C

【解析】从大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，有

种取法，所取出的两个球中恰有1个红球有

种取法，则所取出的两个球中恰有1

个红球的概率为，故选.

7. 函数的图象大致为 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由于函数满足

，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除B ，当 时，， ，若时， ，当时， ，而 ，显然 ，从而可知，函数在

上为增函数，

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选 .

8. 甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电

影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．

丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”

乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”

甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”

根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是

A. 4排8号

B. 3排1号

C. 1排4号

D. 1排5号

【答案】B

【解析】甲不能确定故排除2排4号，甲肯定乙一定不能确定，所以拿到的排数必然不是乙能直接确定的的4排2号所在的排数，故排除4排；然后乙说那么他能确定了，由于3号对应两个位置，而4号，1号，8号对应的位置唯一确定，所以必是三个中的一个；甲思考乙既然能确定，必然是上述三个，根据最后甲也确定，1排有两个可以，而3排唯一，所以是3排1号.

第二部分（非选择题共76分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中

横线上）

9.是虚数单位，复数_________．

【答案】

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教育配套资料K12 【解析】

. 10. 定积分

的值为______． 【答案】0 【解析】.

11. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度（单位：

）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．则该运动员在时的瞬时速度为 ___． 【答案】1.6

【解析】根据导数的几何意义知：

，

.

12. 若

，则的值为___________．

【答案】-1 【解析】令 得：则

. 【点睛】高考二项式定理部分主要考查问题有：二项式展开式中某指定项或系数、二项式系数，系数得最值、赋值法等，本题主要考查赋值法.

13. 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：

佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有________种．

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【答案】108

【解析】若选粉色系列有 种选法，若选黄色系列有 种选法，佳佳可定制的混合花束一共有

种. 14. 已知平面向量，平面向量

，（其中）．

定义：．若，，则

=_____________；

若

，且

，

，则

_________，

__________（写出一组满

足此条件的和即可）．

【答案】 (1). （0,5） (2). (3).

【解析】本题自定义：

，，（其中

）

，

已知若，，则=.

又

，且，

，则

， ，不妨在内任取两组数和

，为了满足

，即，取

和

，此时恰好满足

，则

.

三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数

．

（I ）求函数在点处的切线方程；

（II ）求函数的极值． 【答案】(1)

;(2)详见解析.

【解析】试题分析：利用导数的几何意义，对函数求导，求出函数在

的导数值，借

助点斜式求出切线方程；对函数求导，解出极值点，研究函数单调性，求出出极值. 试题解析：（I ），．

则,则函数

在点

处的切线方程为

，化

简得

． （II ）令，解得

．

当变化时，

，

的变化情况如下表：

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因此，当时，有极大值，并且极大值为；

当时，有极小值，并且极小值为．

16. 电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．

求：（I）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这

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教育配套资料K12 部电视剧的观众的平均年龄；

（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？

附：

【答案】(1)41;(2)详见解析.

【解析】试题分析：根据频率分布直方图计算每个区间的频数和频率，再利用平均值公式计算；再填写列联表中的总计数，计算随机变量的观测值 ，根据临界值表，利用独立检验思想，判断是否具有相关关系.

试题解析：

（I ）平均年龄为：

．

（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得的观测值

．

， 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关．

17. 已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．

思路1：先设的值为1，根据已知条件，计算出

_________，__________，

_________．

猜想：_______.

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然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当时，________________，猜想成立 ②假设（

N *）时，猜想成立，即_______． 那么，当时，由已知，得

_________．

又，两式相减并化简，得

_____________（用含的代数式表示）．

所以，当

时，猜想也成立．

根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．

思路2：先设的值为1，根据已知条件，计算出_____________．

由已知，写出与

的关系式：

_____________________，

两式相减，得与

的递推关系式：____________________．

整理：____________．

发现：数列是首项为________，公比为_______的等比数列． 得出：数列的通项公式

____，进而得到____________． 【答案】 (1).

(2).

(3). (4).

(5).

(6). (7). (8). (9). (10).

(11).

(12).

(13). 2 (14). 2 (15).

(16).

【解析】试题分析：思路1.由于，令

，可求出

的值，再令

，可

求出

的值，再令

，可求出

的值，利用不完全归纳法，归纳猜想出，再用数学归

纳法加以证明, 这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的归纳推理方式；思路2.采用构造法直接求出数列得通项公式. 试题解析：思路1.由于

，令

，；令

，

，

，令

，

，

则

，由此猜想

；下面用数学归纳法证明，证明过程如下： ①当

时，

，得

，符合

，猜想成立.

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教育配套资料K12 ②假设（N *）时，猜想成立，即, 那么，当时，由已知，得

, 又，两式相减并化简，得 ，

（用含的代数式表示）．所以，当

时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．

思路2. 先设的值为1，根据已知条件，计算出

， 由已知，写出与的关系式： ， 两式相减，得与的递推关系式：， 整理：

， 发现：数列

是首项为2，公比为2的等比数列． 得出：数列的通项公式

，进而得到

．

【点睛】本题给出了两种求数列通项公式的思维途径，一是构造法，直接利用转化思想解题，通过转化，把普通数列转化为特殊数列（等比数列），借助等比数列的通项公式解题，可以体会到数学的化归与转化思想在解题中的应用价值，二是不完全归纳法求数列的通项公式，这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的思维方式，这种归纳思想在探索、研究各科学领域中广为应用.

18. 为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X 元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的． （I ）求X 的分布列和数学期望；

（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由． 原则：设表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若

，则有95％的把

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教育配套资料K12 握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．

（注：

）

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析：王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用可能取值为2，4，6，求出出总交通费用X 值对应得概率，列出概率分布列并求出数学期望；计算王老师6月22个工作日平均每天出行的费用 ，利用计算出

，比较

与

，给出结论. 试题解析：

（I ）依题意，X 可能的取值是2，4，6，因此X 的分布列为

由此可知，X 的数学期望为

．

（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． 理由如下： 6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，

平均每天出行的费用（元）． 又

，

则．

有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．

19. 已知函数

，． （I ）求的单调区间；

（II ）若对任意的，都有

，求实数的取值范围． 【答案】(1)详见解析;(2)

. 【解析】试题分析：对函数求导，针对参数进行讨论，研究函数得单调性；第二步为恒成立

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问题，当时，由于不满足题意要求，当 时，求出函数

的最大值，

要使

在

上恒成立，只需

，从而求出 的范围. 试题解析：（I ）

， 当

时，恒成立，则

在

上单调递增；当

时，令

，则

．则

在区间

上单调递

增，在区间上单调递减．

（II ）方法1： 当

时，因为

，

所以不会有，

． ②当

时，由（I ）知，

在

上的最大值为．

所以

，

等价于

．即

．

设，由（I ）知

在上单调递增． 又，所以

的解为

．

故，

时，实数的取值范围是

．

方法2

：

，

等价于

.令

，则

．

令，则．

因为当，

恒成立，

所以在

上单调递减．

又，可得

和

在

上的情况如下：

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所以在上的最大值为． 因此

，等价于

．

故，

时，实数的取值范围是

．

20. 已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为：

其中（）满足：

，且

．

定义由生成的函数，令．

（I ）若由生成的函数

，求的值；

（II ）求证：随机变量的数学期望

， 的方差

；

（

）

（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为

，求

的值．

【答案】(1);(2)详见解析;(3)441.

【解析】试题分析：本题为新定义信息题，根据

知： ，而

，则

；根据数学期望公式写出

，

由于

，求出

的表达式，根据方差公式写出

并推到证明；第三步写出的

取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数 并求出

的值.

试题解析：（I ） ．

（II ）由于

，

，

所以

．

由的方差定义可知

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由于

，所以有

，这样

，所以有

．

（III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为：

．

投掷骰子两次次对应的生成函数为: ．

所以

．

方法2

：的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． 则的分布列为

． 则

．

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