高一数学必修一(暑期自学材料,非常详细)

第一章 集 合 §1.1 集合与集合的表示方法

1．1.1 集合的概念

1．元素与集合的概念

(1)集合：一般地，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的______构成的集合(或集)．通常用英语大写字母表示．

(2)元素：构成集合的________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母表示． 2．集合中元素的特性：________、________. 3．元素与集合的关系

(1)如果a是集合A的元素，就说________，记作_____________________________． (2)如果a不是集合A的元素，就说__________，记作______．

4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或____来表示．

5．集合的分类

?集合?

?非空集合：

空集：不含任何元素，记作 .

按含有元素?? ：含有有限个元素

?的个数分为?? ：含有无限个元素

一、选择题

1．下列语句能确定是一个集合的是( )

A．著名的科学家 B．留长发的女生 C．2010年广州亚运会比赛项目 D．视力差的男生 2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( ) A．0∈A ；B．a?A ；C．a∈A ； D．a＝A

3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A．直角三角形 ； B．锐角三角形；C．钝角三角形 ； D．等腰三角形

4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 ； B．－2；C．6 ； D．2

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( ) A．2 ；B．3；C．0或3 ；D．0,2,3均可

3

6．由实数x、－x、|x|、x2及－x3所组成的集合，最多含有( ) A．2个元素 ；B．3个元素；C．4个元素 ；D．5个元素 二、填空题

7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；

③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．

8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________． 9．用符号“∈”或“?”填空

－2_______R，－3______Q，－1______N，π________Z. 三、解答题

10．判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

31

(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．

22

- 1 -

11．已知集合A是由a－2,2a＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.

能力提升

12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

1

13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．

1－a

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．

1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2．集合中元素的三个性质

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

2

- 2 -

第一章 集 合 §1.1 集合与集合的表示方法

1．1.1 集合的概念

知识梳理

1．(1)确定的不同的 全体 (2)每个对象 2.确定性 互异性

3．(1)a属于A a∈A (2)a不属于集合A a?A 4.R Q Z N N* N＋ 5.? 有限集 无限集 作业设计

1．C [选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]

2．C [由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.] 3．D [集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.] 4．C [因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.] 5．B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾； 若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3， 当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]

3

6．A [因为|x|＝±x，x2＝|x|，－x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．] 7．①④

解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1

解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1. 9．∈ ∈ ? ?

10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．

1

(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含

2

有三个元素．

(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．

3

11．解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.

2

2

则当a＝－1时，a－2＝－3,2a＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

373

当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合题意．∴a＝－.

222

12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

11

13．证明 (1)若a∈A，则∈A. 又∵2∈A，∴＝－1∈A.

1－a1－2

11111

∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中另外两个元素为－1，.

2121－?－1?2

1－2

11

(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠，∴A不可能为单元素集．

1－a1－a

- 3 -

1.1.2 集合间的基本关系和基本运算

一、基础过关

1． 下列集合中，结果是空集的是

A．{x∈R|x2－1＝0} C．{(x，y)|x2＋y2＝0}

( )

B．{x|x＞6或x＜1} D．{x|x＞6且x＜1}

( )

2． 集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是

A．P＝Q C．PQ 3． 下列命题：

B．PQ D．P∩Q＝?

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?. 其中正确的个数是 A．0

( )

B．1 C．2 D．3

( )

4． 下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是

5． 已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填

序号)

6． 已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a的取值范围是________． 7． 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围． 8． 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围． 二、能力提升

9． 适合条件{1}?A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是

A．15个

B．16个

( )

C．31个 D．32个

10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是

( )

A．SPM C．SP＝M

B．S＝PM

D．P＝MS

11．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个． 12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A?B的实数a的取值范围．

- 4 -

三、探究与拓展

13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A?B.若存

在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．

- 5 -

答案

1． D 2.B 3.B 4.B 5．①② 6．a≥2

7． 解 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.

①若B＝?，则m＋1>2m－1，解得m<2， 此时有B?A；

②若B≠?，则m＋1≤2m－1，即m≥2， ?m≥2由B?A，得?

?m＋1≥－2

??2m－1≤5

，

解得2≤m≤3. 由①②得m≤3.

∴实数m的取值范围是{m|m≤3}． 8． 解 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，

①当Δ＝1－4a<0，即a>1

4时，B＝?，B?A成立；②当Δ＝1－4a＝0，即a＝1

4时，

B＝{－1

2

}，B?A不成立；

③当Δ＝1－4a>0，即a<1

4时，若B?A成立，

则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6. 综上：a的取值范围为a>1

4或a＝－6.

9． A 10．C 11．6

12．解 ①当a＝0时，A＝?，满足A?B.

②当a＞0时，A＝{x|12

a＜x＜a}．

又∵B＝{x|－1＜x＜1}，A?B，

1

∴?

?a

≥－1，?2

a≤1，

∴a≥2.

③当a＜0时，A＝{x|21

a＜x＜a

}．

- 6 -

?∵A?B，∴?1

?a≤1，

∴a≤－2.

2

≥－1，a

综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.

13．解 不存在．理由如下：要使对任意的实数b都有A?B，则1,2是A中的元素，又因A＝{a－4，a＋4}，

???a－4＝1，?a＋4＝1，?所以或?这两个方程组均无解，故这样的实数不存在．?a＋4＝2，???a－4＝2.

- 7 -

基本运算 并集与交集

一、基础过关

1． 若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于

A．{0,1,2,3,4}

( ) D．{0} ( )

D．{x|－1≤x＜1}

B．{1,2,3,4} C．{1,2}

2． 集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B等于

A．{x|x＜1}

B．{x|－1≤x≤2} C．{x|－1≤x≤1}

3． 若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥

运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 A．A?B

( )

D．B∪C＝A

( ) D．{(3，－1)} ( ) D．{－1,0,1}

B．B?C C．A∩B＝C

4． 已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为

A．x＝3，y＝－1

B．(3，－1) C．{3，－1}

5． 设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于

A．{0}

B．{0,1} C．{－1,1}

6． 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 7． 设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B. 8． 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值． 二、能力提升

9． 已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于

A．0或3

B．0或3

C．1或3

( )

D．1或3

10．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.

11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1

b＝________.

12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝

A，A∩B＝?.求p，q的值． 三、探究与拓展

13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．

(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B)．

- 8 -

答案

1． A 2.D 3.D 4.D 5.B 6．1

7． 解 ∵A∩B＝{9}，∴9∈A，所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.

当a＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违背了互异性，舍去．

当a＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}． 当a＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．

8． 解 ∵A∩B＝B，∴B?A. ∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.

1

当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0. 当B≠?时，此时a≠0，则B＝{－}，

a1111∴－∈A，即有－＝－2，得a＝. 综上，a＝0或a＝.

aa229． B 10．0或1 11．－1 2

12．解 由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.

???1＋3＝－p?p＝－4∴?，∴?. ??1×3＝qq＝3??

13．解 (1)若A＝?，则A∩B＝?成立．此时2a＋1＞3a－5，即a＜6.

2a＋1≤3a－5，??

若A≠?，如图所示，则?2a＋1≥－1，

??3a－5≤16，

解得6≤a≤7.

综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是{a|a≤7}．

(2)因为A?(A∩B)，且(A∩B)?A，所以A∩B＝A，即A?B. 显然A＝?满足条件，此时a＜6.

???2a＋1≤3a－5，?2a＋1≤3a－5，?若A≠?，如图所示，则或??3a－5＜－1???2a＋1＞16.

???2a＋1≤3a－5，?2a＋1≤3a－5，15

由?解得a∈?；由?解得a＞. 2???3a－5＜－1?2a＋1＞16

15

综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a＜6或a＞}． 2

补集及综合应用

一、基础过关

1． 已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则?UA等于

- 9 -

( )

A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}

( )

2． 已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为

A．{1,2,4}

B．{2,3,4} C．{0,2,4}

D．{0,2,3,4}

( )

3． 设集合A＝{x|1

A．(1,4)

B．(3,4) C．(1,3)

D．(1,2)∪(3,4)

( )

4． 设全集U和集合A、B、P满足A＝?UB，B＝?UP，则A与P的关系是

A．A＝?UP

B．A＝P C．AP

D．AP

5． 设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________. 6． 设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则?UA＝____________，

?UB＝________，?BA＝________.

7． 设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求实数a，b的值． 8． (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，求N∩(?UM)；

(2)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，求M∪N. 二、能力提升

9． 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

( )

A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(?IS) D．(M∩P)∪(?IS)

10．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(?UA)∩

(?UB)等于

( )

D．{2,4,6}

A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3}

11．已知全集U，AB，则?UA与?UB的关系是____________________． 12．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(?UB)＝A，求?UB. 三、探究与拓展

13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的

有4人，问两项都参加的有几人？

- 10 -

答案

1． D 2.C 3.B 4.B 5.－3 6．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5} 7． 解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.

2????a＋2a－3＝5，?a＝2，?a＝－4，??又b∈A，∴b∈U，由此得解得或?经检验都符合题意． ?b＝3.????b＝3?b＝3

8． 解 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，∴?UM＝{2,3,5}．

又∵N＝{1,3,5}，∴N∩(?UM)＝{3,5}．

(2)∵M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，∴M＝{－2，－1,0,1}； ∵N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，∴N＝{－1,0,1,2,3}， ∴M∪N＝{－2，－1,0,1,2,3}． 9． C 10．B 11．(?UB)(?UA) 12．解 因为B∪(?UB)＝A，所以B?A，

U＝A，因而x2＝3或x2＝x. ①若x2＝3，则x＝±3.

当x＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，此时?UB＝{3}； 当x＝－3时，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，此时?UB＝{－3}．

②若x2＝x，则x＝0或x＝1.当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而?UB＝{3}． 综上所述，?UB＝{3}或{－3}或{3}．

13．解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.

a＋x＝20，??

根据题意有?b＋x＝11，

??a＋b＋x＝30－4.

解得x＝5，即两项都参加的有5人．

集合间的关系与运算

（知识网络结构）

- 11 -

??1.元素与集合的关系：属于：?，不属于???性、互异性、无序性?2.集合元素的特性：确定?集合与集合的表示方法??无限集、空集?3.集合的分类：有限集、??4.集合的表示法：列举法?、描述法、区间法、Venn图法???子集：若任意的x?A,则x?B,那么集合A是集合B的子集，记A?B???注：（i)空集?是任何集合的子集,(ii)任何集合A?A????集合之间的关系?真子集：若A?B,且A?B,则A是B的真子集??注：空集是任何非空集合的真子集?????集合相等：若A?B且B?A,则A?B??1.交集：定义：A?B?{x|x?A且x?B}?性质：A?B?B?A,A?A?A,A??????注：x?(A?B)?x?A或x?B,A?B?A?A?B??2.并集：定义：A?B?{x|x?A或x?B} ?性质：A?B?B?A,A?A?A,A???A??注：x?(A?B)?x?A且x?B,A?B?B?A?B??3.补集：定义：CuA?{x|x?U且x?A}?性质：（CUA)?A?U,(CUA)?A??,CU(CUA)?A??注：CU(A?B)?(CUA)?(CUB),CU(A?B)?（CUA)?（CUB)?常用的结论：若集合A中含有n个元素，则集合A的子集个数是2个，真子集个数是2?1个，非空真子集个数是2?2个.

知识点一：集合的基础知识（集合的表示法、集合之间的关系）

例1：（基础题）

把下面的说法或表示方法正确的命题的序号填在题后的横线上

（1）已知集合S?{A,B,C}中的三个元素是?ABC的三个内角，则三角形一定是非等腰三角形 （2）集合A＝{（x，y）|y?x?4}?{x|y?x?4}?{y|y?x?4} （3）若集合A?[0,??)，集合B＝(0,??)，则B?A

（4）设P表示?ABC所在平面上的点.且集合S＝{P|PA?PB?PC}，则P是?ABC的外心 （5）已知U是全集，M、N是U的两个子集，若M?N?U,M?N??，则(CUM)?(CUN)?U （6）任何一个集合至少有两个子集

（7）集合P＝{x|x?1?0,x?R}的真子集个数是4个. 上述命题中正确命题的序号是_________________. 【思路分析】本题考查集合的表示法和集合之间的关系等知识，

（1）考查合元素的特性—互异性. （2）集合的表示法：

集合A?{(x,y)|y?f(x)},B?{x|y?f(x)},C?{y|y?f(x)}，表示含义不同，A是点集，B，C都是数集.

（3）考查用区间表示集合、子集的含义.

（4）考查描述法表示集合的含义及三角形外心的概念.

- 12 -

2222nnn

（5）考查利用Venn图表示集合的方法及其简单的应用. （6）考查子集的概念，空集是任何集合的子集. （7）考查一个集合的子集的个数问题. 【解题过程】

（1）根据集合元素的特性－互异性知：A，B，C任意两个角都不相等，故命题正确.

（2）三个集合{(x,y)|y?x2?4},{x|y?x2?4},{y|y?x2?4}表示的含义不同，A＝

{(x,y)|y?x2?4}是点集，B?{x|y?x2?4}是数集，表示函数y?x2?4的x的取值集合即函数定义域，集合C

＝{y|y?x2?4}表示的是函数y的取值集合，即函数的值域.故命题错误.

（3）由区间表示的含义知：集合A中的元素0?B，根据子集定义知：B?A，故命题正确. （4）由S＝{P|PA?PB?PC}知P点到三角形ABC的三个顶点的距离相等.故命题正确 （5）根据已知集合U，M，N的关系，画出Venn图（如图）：知命题正确.

（6）当A＝?时，集合A的子集只有一个，就是其本身.故命题错误. （7）由于集合P＝{－1，1}的子集个数是2个，真子集个数是2?1?3个. 故命题错误.

正确命题的序号是：（1）（3）（4）（5）

【解题后的思考】解决这类概念性问题的关键是理解集合表示方法的含义，特别是用描述法表示的集合竖线左边的元素是什么要分清楚，对集合关系的判断可以借助数轴、Venn图等工具判断.

例2：（中等题）

（1）已知集合A?{x||x|?2,x?R},B?{x|x?a},且A?B，求a的取值范围.

（2）已知集合M＝{m|?1?m?0},N?{m?R|mx?2mx?1?0}对任意实数x恒成立，判断集合M与N的关系.

【思路分析】本题考查两个集合关系的判断及两个集合关系的应用.

对（1）根据A?B借助数轴判断，对（2）首先要认识集合N的含义，它表示的是m的取值集合，然后根据

222mx2?2mx?1?0对任意的实数x恒成立来确定m的取值范围.

【解题过程】（1）化简集合A＝{x|?2?x?2}，由集合A?B结合数轴得：

a??2

（2）化简集合N：当m＝0 时mx2?2mx?1?0对任意的实数x恒成立. 当m?0时

?m?0由mx?2mx?1?0对任意的实数x恒成立??解得： 2???4m?4m?0－1?m?0，故集合N＝{m|?1?m?0}

2借助数轴知：集合M，N的关系是M??N

【解题后的思考】这类问题是集合中常见的经典题型，主要考查借助数轴判断两个集合的关系或根据两个集合的关系借助数轴求参数范围的问题，体现了数形结合的思想的应用.在（1）中易错点是a能否取到－2，需要验证.不妨取a＝－2

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则B?{x|x??2}，符合A?B. 例3：（创新题）

已知集合A＝{(x,y)|x2?y2?4x?4y?7?0},B?{(x,y)|xy??10},x,y?R

（1）对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P的距离最小值”定义点P到直线M的距离与原有的点线距离的概念是等价的，试以类似的方式给出一个点集A与点集B的“距离”的定义.

（2）依照你给出的定义求点集A与点集B的距离.

【思路分析】根据题意知：本题是集合新定义问题，解决本题的关键是理解点线距离，定义的实质是：“点与点距离的最小值”，在此基础上正确给出两个点集距离的定义，由此才能解决第二问.在第二问中：集合A中的点构成一个圆：圆心为C（－2，－2），半径为1，即（x?2)2?(y?2)2?1，集合B中的点集构成双曲线.所以要求点集A与点集B的距离实质是求圆C上一点与双曲线上一点的距离的最小值. 【解题过程】

（1）点集A与点集B距离的定义：在点集A，B上分别取一点，所取两点之间的距离若有最小值，则此最小值为点集A与点集B的距离.

（2）设P（x，y）是双曲线xy＝－10上任意一点，则

|PC|2?(x?2)2?(y?2)2?x2?y2?4(x?y)?8?(x?y)2?2xy?4(x?y)?8?(x?y)2?4(x?y)?28 ?(x?y?2)2?241－11?x?y?2?0??x??1?11??x＝－??或?当且仅当?时，|PC|2. ??xy??10?y??1?11??y??1?11最小，此时|PC|的最小值是26，即点集A与点集B的距离的最小值是26－1.

【解题后的思考】在集合问题中除了考查基本概念和基本运算外，还会考查一些有关集合新定义的问题，这也是高考命题的方向，这类问题考查了学生的抽象概括能力.

知识点二：集合的运算 例4：（基础题）解答下列各题

（1）已知集合A＝{x|3

A?B?{x|x??2},A?B?{x|1?x?3}，求a＋b的值；

（3）已知集合A＝{x|x?ax?a?9?0},B?{x|log2(x?5x?8)?1}，

222C?{x|x2?2x?8?0}，问是否存在a的值使A?B??,A?C??同时成立？

【思路分析】本题考查集合的交、并、补集的基本运算.对（1）题借助数轴容易求出 A?B,(CUA)?(CUB)或利用性质：CU(A?B)?(CUA)?(CUB)解题.对（2）题同样借助数轴由A?B,A?B求a，b的值.（3）题：先化简集合B、C，再根据A?B??,A?C??同时成立的两个条件求a的值. 【解题过程】（1）由数轴得：A?B＝{x|－1

?CU(A?B)?{x|x?7或x??1}，故(CUA)?(CUB)?{x|x?7或x??1}

（2）由数轴观察得：a＝1，b＝3，即a＋b＝4

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（3）对于集合B：由log2(x?5x?8)?1?x?5x?6?0?x1?2,x2?3， 即B＝{2，3}，C＝{－4，2}

由A?B??,A?C???3?A,2?A

把x＝3代入方程x?ax?a?9?0求得a＝0或a＝3

验证：当a＝0时，A＝{3，－3}，当a＝3时，A＝{3，0}都满足已知条件. 故所求a的值是0，3.

【解题后的思考】对于集合的交、并、补集的运算要能熟练的利用数轴或利用Venn图解决.使抽象的问题形象化.这类问题大多是填空题或选择题或大题中的一个步骤而已.但对以集合为载体的大题（（3）题）要掌握解决问题的切入点.如：本题的切入点就是对条件“A?B??,A?C??”的理解.

例5：（中等题）

1. 已知集合A?{x|ax2?3x?2?0} （1）若集合A是空集，求a的取值范围. （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值. （3）若集合A中至多含有一个元素，求a的取值范围.

2. 已知集合M＝{(x,y)|x2?2x?y2?0}，集合N＝{（x，y）|y＝x＋a}， 若???(M?N)，求a的取值范围.

【思路分析】根据题意知：题1：考查集合A中的元素的个数与方程

2222ax2?3x?2?0的根的个数关系，从而转化为判定方程ax2?3x?2?0

解的个数问题，这是本题的切入点.

题2：在理解???(M?N)含义的前提下转化为直线与圆的位置关系的问题. 【解题过程】1. 集合A是方程ax?3x?2?0的解集.

（1）集合A为空集等价于：ax?3x?2?0的解集为空集， 即??(?3)?8a?0?a?22299，故当a?时，集合A为空集. 882（2）集合A只含有一个元素包含两种情形：（i）ax?3x?2?0是一次方程

2此时a＝0，（ii） ax?3x?2?0有等根???0?a?9 8故当a＝0或a＝

9时，集合A只含有一个元素. 8（3）集合A中至多含有一个元素包含两种情形：（i）A为空集，（ii）A中只含有一个元素. 综合（1）（2）知：所求a的取值范围是{a|a?}?{0}

2. 由已知：???(M?N)得：集合M?N非空.而集合M中的点构成圆C：

98(x?1)2?y2?1，集合N中的点构成直线L：y＝x＋a,

故集合M?N非空等价于直线L与圆C有公共点， 即：

|?1?0?a|2?1?1?2?a?1?2，故所求a的取值范围是[1?2,1?2]

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【解题后的思考】像这类以集合包装的题型不仅考查集合的概念和集合的运算，更重要的是考查利用数形结合、分类讨论、方程的数学思想解决问题，如本题也可利用方程的数学思想解决集合M?N非空等价于方程组

?x2?2x?y2?0有解的问题. ??y?x?a例6：（创新题）：

1. 非空集合G关于运算?满足：

（i）对任意的a，b?G都有a＋b?G，（ii）存在e?G，使得对一切a?G都有：

a?e?e?a?a，此时关于运算?的集合为“融洽集”.现给出下列集合运算： （1）G＝{非负整数}. ?为整数的加法. （2）G＝{偶数} . ?为整数的乘法.

（3）G＝{平面向量}. ? 为平面向量的加法. （4）G＝{虚数}. ?为复数的乘法.

其中G关于运算?为融洽集的有哪些？并说明理由.

2. 设集合S＝{A0,A1,A2,A3}，在集合S上定义运算：Ai?Aj?Ak，其中k是i?j被4整除的余数.（i,j?0,1,2,3)，满足关系式：(X?X)?A2?A0（X?S）的集合X的个数是（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【思路分析】按照题意，这两题都是新定义集合的创新试题.1. 按照新集合“融洽集”的定义逐一判断.2. 关键是理解：在集合S上定义运算法则.?X?S，故X?A0,A1,A2,A3等，然后逐一验证.

【解题过程】1. （1）由于任意的两个非负整数之和还是非负整数满足（i），同时存在e＝0满足（ii），故为融洽集.

（2）任意的两个偶数之和仍是偶数满足（i），但不存在偶数e， 使a?e?e?a?a成立.故不是融洽集

（3）由于任意的两个向量的和仍是向量，满足（i），存在e?0满足条件（ii），故是融洽集. （4）由于任意两个虚数的和不一定是虚数，不满足（i），故不是融洽集. 2. 当X?A0时，0＋0被4整除余数是0，故(X?X)?A2?A2不满足题意. 当X?A1时，1＋1被4整除余数是2，此时满足(X?X)?A2?A0 当X?A2时，2＋2被4整除余数为0，此时(X?X)?A2?A2不满足题意 当X?A3时，3＋3被4整除余数为2，此时满足(X?X)?A2?A0 故本题选C.

【解题后的思考】像这类创新型的集合问题是新课标高考命题的热点，解题的关键是对已知中的自定义集合“运算”或自定义“集合”中的定义的理解.

（1）在知识点一中出现的题型大都是选择题或填空题，掌握集合的基础知识是关键.同时，要能利用数轴、Venn图等数学工具解决问题.

（2）在集合的交、并、补集的基本运算中，基本上都以填空题或选择题出现，根据考纲的要求，一般计算量不会太大.主要考查基础与能力，掌握数轴或Venn图的数学工具的应用会给解题带来很大的方便，在以集合为载体的大题中要注重数学思想方法的应用，集合的创新问题一般难度不太大，但解题的关键是理解新定义、应用新定义.同时规范的解题步骤也是得分的重要环节.

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（答题时间：60分钟，满分60分）

一、选择题（每题5分 计20分）

1. 下列命题或表达式正确的个数是（ ）个

（1）???.（2）0??.（3）若集合A＝{x|x2?1?0}，则集合有2个子集. （4）{x|y?x2?1}?{y|y?x2?1}，（5）M＝{直线}，N＝{圆}，则M?N?? （6）CU(A?B)?CU(A?B). A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2. 集合M＝{（x，y）|x＋y＝2} N＝{（x，y）|x－y＝4}，则M?N?（ ） A. x＝3，y＝－1

B.（3，－1） D. {（3，－1）}

C. {3，－1}

*3. 设U＝R，A＝{x|x?0},B?{x|x?1},A?CUB?（ ） A.{x|0?x?1} C. {x|x?0}

B. {x|0?x?1} D. {x|x?1}

*4. 集合M＝{x|tanx2?1},N?{x|cos2x?0}，则M，N的关系是（ ） A. M?N C. M?N

二、填空题（每题5分，计15分）

*5. 集合M＝{(x,y)|y?k(x?1)?1}，集合N＝{(x,y)|x2?y2?2y?0} 则M?N的子集的个数是___________.

B. N?M D. M?N??

?x?1?a26. 设集合A＝{x|?}，若A非空，则a的取值范围是_________.

?x?4?2a*7. 从自然数1－20这20个数中，任取2个相加，得到的和作为集合M中的元素，则M的非空子集的个数是_________.

三、计算题：（25分）

*8. 设集合A＝{x||x?a|?2},B?{x|2x?1?1},A?B，求a的取值范围.（10分） x?2*9. 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样的一个集合：若C中的各个元素都加上2，则变为A的一个子集，若C中的各个元素都减去2，则变为B的一个子集，求集合C的个数.（5分）

**10. 已知集合A＝{x|x?px?q?0},B?{x|qx?px?1?0}同时满足下面的条件： （i）A?B??,(ii)A?(CRB)?{?2},(p,q?0)，求p，q的值.（10分）

22

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一、选择题

1. A 解析：（1）（5）是正确的. 2. D 3. B

4. C 解析：由tanx?1?tanx??1?x?k??由cos2x?0?2x?2k?? 二、填空题

5. 4 解析：由?2?4，

?2?x?k???4，故M＝N.

?y?k(x?1)?122?x?y?2y?0?(1?k2)x2?2k2x?(k2?1)?0，

?1?k2?0,??4k4?4(1?k2)(1?k2)?4?0，

?M?N中有两个元素，?M?N的子集有4个.

6.（－1，3） 解析：由已知：1?a?4?2a??1?a?3. 7. 2素.

三、计算题

8. 解：化简集合A＝{x|a?2?x?a?2},B?{x|?2?x?3}，集合A显然非空， 利用数轴由A?B得：?372?1 解析：由已知集合M中的最小数是1＋2＝3，最大数是19＋20＝39，故集合M中共有37个元

?a?2??2?0?a?1，

a?2?3?故a的取值范围是［0，1］.

9. 解：（逆向思维）A中的元素都减去2得集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得集合E＝{3，4，5，6，7，10}，故集合C是集合D与集合E的交集的真子集，故集合C有2?1?7个.

10. 解：设x0是集合A中的元素，则x0?px0?q?0?q?故

2311?p??1?0， 2xx001?B，即集合A，B中的元素互为倒数. x01?x0??1，又A?(CRB)?{?2}??2?A， x012由A?B??一定有：x0?故A＝{1，－2}或A＝{－1，－2}， 由此求得B?{1,?}或B?{?1,?}， 由根与系数的关系知：

12）＋（－2）＝?p?p?1?1?(?2)??p（－?1?p?3. 或?或????1?(?2)?q(－1)?(－2)?qq??2q?2????

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第2．1．1节 函数

?研习教材重难点

研习点1．函数的定义

1．函数的概念（重点）

函数的传统概念：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域．

从这个概念出发，我们知道可以用函数描述变量之间的依赖关系，并且这种对应关系可以描述为：对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应,记作f：A→B．

函数的近代定义:一般地，我们有：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作: y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．定义域、值域与对应关系

对函数概念的理解：

1函数的两个定义从本质上来说是一致的，只是叙述概念的出发点不同．在函数的两个定义中，传统定义是以变量的概念为基础的，○

它生动形象易于接受，所以初中采用了这个定义；近代定义是以集合和对应为基础的，把函数看成数集到数集的一种对应，突出自变量与函数值之间的对应关系，用近代定义解释各种各样的函数都很方便，从而使函数的近代定义更具有一般性．例如函数

f统称为函数的三要素．

?1(当x是有理数时)，如果从运动变化的观点来解释这个函数的意义就会非常困难，但用集合、对应的观点来解释，就会十分f(x)???0(当x是无理数时)自然．

2“y=f(x)”仅仅是函数符号，f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x．这里，x是自变量，它是法则所施加的对象；○

关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；的

f是对应

y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应

y的值就是与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式就是函数的解析式．在研究函数问题时，我们除了常用

f(x)表示函数外，还经常会用到g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．

3○

f(x)与f(a)的既有联系又有区别,一般而言,f(a)表示当x?a时函数f(x)的值,是一个常量；而f(x)是自变量x的函

f(a)仅仅是f(x)的一个特殊值，例如一次函数f(x)?3x?4，当x?8时，

数，在一般情况下，它是一个变量，

f(8)?3?8?4?28是一个常数．

4对应关系○

f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接自变量x与变量y的纽带．按照这一“程

序”或“方法”，从集合A任取一个x，可得集合{y|y?f(x),x?A}中唯一的y与之对应．同一个f可以“操作”于不同的形式

的变量，例如

，f(2x?3)是对2x?3进行的“操作”，同样，f(2)是对2进行的“操作”等． f(x2)是对x2进行的“操作”

5其实由于函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：（1）定义域和对应关系是否给○

出；（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值【辨析·比较】 对应

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y.

对应和集合一样,也是一个不加定义的数学概念,《现代汉语词典》中对“对应”的解释是:一个系统中某一项在性质、作用、位置或数量上与另一系统中某一项相当．在数学中，对应是两个集合A与B之间的某种关系，对于A中的每一个元素来说，有以下三种情况：（1）B中有唯一元素与之对应；（2）B中没有元素与之对应；（3）B中不止一个元素与之对应．对于B中的每一个元素，也有上述类似情况．

典例1．下列对应关系是集合P上的函数是有 ．

（1）P?Z,Q?； N*，对应关系f:“对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”

1,4}，对应关系：（2）P?{?1,1,?2,2},Q?{（3）Pf:x→y?x2,x?P,y?Q；

” ?{三角形},Q?{x|x?0}，对应关系f:“对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．

【研析】由于（1）中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且（3）中集合P不是数集，从而知只有（2）正确．

2．函数的定义域（重点）

定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况： (1)若(2)若(3)若

f(x)是整式，则其定义域为全体实数集R；

f(x)是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；

f(x)是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；

(4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)对于复合函数集合.○2如果函数

f[g(x)]而言:○1如果函数f(x)的定义域为A，则f[g(x)]的定义域是使得函数g(x)?A的自变量x的取值

f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域是函数g(x)的值域；

(6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出. 【梳理·总结】 求函数定义域的几种常见题型

对函数的定义域的考查主要体现在以下六个方面：(1)求已知函数的定义域；(2)已知原函数的定义域求复合函数的定义域；(3)已知复合函数的定义域求原函数的定义域；(4)已知一复合函数

f[g(x)]的定义域,求另一方面一复合函数f[?(x)]的定义域；(5)求实

际问题或几何问题的定义域；(6)已知函数的定义域求参数的取值范围．

典例２．求下列函数定义域

(1)

f(x)?4?x?2x；(2)f(x)?111?x；(3)f(x)?1?x1?x

【研析】(1)由题意知4?x?0,?x??4,故f(x)的定义域是{x|x??4}.

(2)由x?0且1?1?0,得x?0且x??1,故f(x)的定义域是{x|x?0且x??1}. xx?0,得x?1且x??1,故f(x)的定义域是{x|x?1且x??1}.

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(3)由1?x?0且1?

3．相等函数的判断（难点）

由函数的定义可知，一个函数构成的三个要素是：定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

典例３．下列说法中正确的个数为( )

A.

y?f(x)与y?f(t)表示同一个函数 B. y?f(x)与y?f(x?1)不可能是同一函数 f(x)?1与f(x)?x0表示同一函数 D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数

C.

【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.

研习点2．区间的概念

1．区间的分类

设a,b是两个实数，而且a（1）满足不等式a（2）满足不等式a（3）满足不等式a?b.我们规定：

?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为?a,b?; ?x?b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);

?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点，其中实数a叫做区间的左端点，实数b叫做区间的右端点，b?a叫做区间的长度.

2．区间的数轴表示

在数轴上，区间可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.

定 义

名 称

符 号

数轴表示

{x|a?x?b} {x|a?x?b}

闭区间 开区间

[a,b]

aaaabbbb

(a,b)

{x|a?x?b} 左闭右开区间 [a,b) {x|a?x?b} 左开右闭区间 (a,b]

3．无穷大的概念

实数集R可以用区间表示为(??,??)，“?”读作“无穷大”，“??”读作“负无穷大”，“??”读作“正无穷大”.这里应该注意“?”是一个符号而不是一个数.用??，??作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，这样我们就可以把满足x?a，x?a，x?b，x?b的集合分别用区间表示出来了，如下表所示：

定 义 符 号

{x|???x???} (??,??)

{x|x?a} {x|x?a}

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[a,??) (a,??)

{x|x?b} {x|x?b}

【探究·发现】 区间意义与使用规则

(??,b] (??,b)

区间是集合的另外一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示方法（1）集合表示法；（2）不等式表示法；（3）区间表示法.例如:大于1小于2的实数的集合可以分别表示为如下的三种形式:

{x|?1?x?2},?1?x?2,(?1,2),至于用哪一种形式,可根据习惯或简明的原则来选取用.另外,在用区间表示集合时应注意区

的使用规则:(1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来;(3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“??”或“??”为区间的一端点时，这一端必须是小括号.

研习点3．函数的值域(难点)

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域.

①直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数

y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，

当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b2)}；当a<0时，值域为{(4ac?b2)}.

y|y?4a4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：③分式转化法（或改为“分离常数法”）

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.

f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式；

典例4 求下列函数的值域：

（1）

2（2）y??x?6x?5；（3）y?y?3x2?x?2；

3x?1；

x?22x2?x?2（4）y?x?41?x；（5）y?|x?1|?|x?4|；（6）y?.

x2?x?1【研析】（1）（配方法）?y?3x?x?2?3(x?)?∴

21622323?， 1212y?3x2?x?2的值域为[23,??). 12，则原函数可化为y????x2?6x?5（??0）

.

（2）求复合函数的值域：设?又∵?∴

??x2?6x?5??(x?3)2?4?4，∴0???4，故??[0,2]，

y??x2?6x?5的值域为[0,2].

3x?13(x?2)?77， ??3?x?2x?2x?2- 22 -

（3）分离变量法：y?

∵

77?0，∴3??3， x?2x?2∴函数

y?3x?1的值域为{y?R|y?3}.

x?2（4）换元法：设t∴原函数可化为

?1?x?0，则x?1?t2，

y?1?t2?4t??(t?2)2?5(t?0)，∴y?5，

∴原函数值域为(??,5].

??2x?3(x??4)?(?4?x?1)，∴y（5）数形结合法：y?|x?1|?|x?4|??5?2x?3(x?1)?（6）判别式法：∵x2?5，∴函数值域为[5,??).

?x?1?0恒成立，∴函数的定义域为R.

2x2?x?22由y?得：(y?2)x?(y?1)x?y?2?0 ① 2x?x?1①当

y?2?0即y?2时，①即3x?0?0，∴x?0?R

y?2?0即y?2时，∵x?R时方程(y?2)x2?(y?1)x?y?2?0恒有实根，

②当∴△

??(y?1)2?4?(y?2)2?0，∴1?y?5且y?2，

∴原函数的值域为[1,5].

?探究解题新思路

▲ 基础思维探究

题型一 函数的概念 典例1．如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量x,y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有 ．

y1?1y11xyy11?11x?1O?11xO?1(1).O?1O?11x

(2).(3).(4).

【研析】由函数定义可知，任意作一条直线x?a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当?1?a?1时，直线x?a与函数的图象仅有一个交点，当a?1或a??1时，直线x?a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有（2）（3）．

探索发现 应紧扣函数的定义，只需画出与x轴垂直的直线，若仅有一个交点，则表示函数关系，若有两个或两个以上，就不是函数

关系．

【拓展·变式】

- 23 -

1．函数

y?f(x)的图象与直线x?a的交点的个数为（

）

Ａ．必有１个 Ｂ．１个或２个 Ｃ．至多１个 Ｄ．可能２个以上

题型二 函数的定义域 典例2．求下列函数的定义域

11；（2）f(x)?3x?2；（3）f(x)?x?1?. x?22?x11【研析】(1)使分式有意义的实数x的集合是{x|x?2},从而函数f(x)?的定义域是{x|x?2}.

x?2x?222(2)使根式有3x?2有意义的实数x的集合是{x|x??},从而函数f(x)?3x?2的定义域是{x|x??}.

331(3)使根式x?1有意义的实数x的集合是{x|x??1},使分式有意义的实数x的集合是{x|x?2}.所以函

2?x1数f(x)?x?1?的定义域是:

2?x（1）f(x)?{x|x??1}?{x|x?2}={x|x??1且x?2}.

反思领悟 求函数的定义域往往需要将问题转化成解不等式或不等式组的问题，最后再将它们正确合并，定义域的表达形式可以是集x2合形式，能用区间表示时也可以用区间表示．再者，求定义域 的基本原则是解析式不化简.例如求函数y?的定义域时，不能将其x化简成y?x，否则所求的定义域的范围将扩大. 【拓展·变式】 2．求函数y?

题型三 函数的值域

典例3．已知函数f(x)=x2 +mx – 4 在区间〔2，4〕上的两个端点取得最大的最小值。 (1)求m的取值范围；

(2)试写出最大值Y为m的函数关糸式;

(3)最大值Y是否存在最小值?若有，请求出来；若无，请说明理由。

x?1的定义域

|x?1|?|x?1|3mm?2或－?4?m??4或m??8. 22 (2)当m??4时，x=4时，最大值是y=4m+12; 当m??8,x=2时，最大值是y=2m (3)当m??4且m=－4时有最小值是y=－4;当m??8时，无最小值。

【研析】 (1) －

综上所述，m在它的取值范围内没有最小值。

【拓展·变式】 3．求下列函数的值域:

2x2?2x?3(1)y?x?1?2x；(2)y?.

x2?x?1

题型四 相等函数的判断

- 24 -

典例4．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=x2，g（x）=3x3； （2）f（x）=

x?0,?1|x|，g（x）=?

?1x?0;x?－

（3）f（x）=2n?1x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n1（n∈N*）； （4）f（x）=xx?1，g（x）=x2?x；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1

【研析】（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=3x3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；

（2）由于函数f（x）=们不是同一函数；

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=2n?1x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n1=x，它们的定义域、值域及

－

x?0,?1|x|的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=?的定义域为R，所以它x??1x?0;对应法则都相同，所以它们是同一函数；

（4）由于函数f（x）=xx?1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2?x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的

定义域不同，所以它们不是同一函数；

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 推广引申 对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x+1，f（t）=t+1，f（u+1）=（u+1）+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数. 222【拓展·变式】

4．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）

A．

f(x)?1，g(x)?x0 B．

x2f(x)?x?1，g(x)??1

x

C．

f(x)?x2，g(x)?(x)4 D．f(x)?x，g(x)?3x3

▲ 综合思维探究

题型一 学科内综合题

2典例5．已知函数f(x)?ax?bx?c，若f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1，试求函数f(x)的值域.

【研析】由f(0)?0，得c?0，从而f(x?1)?(x?1)2?(x?1)，而f(x)?x?1?ax2?bx?x?1.

- 25 -

1?a???2a?b?b?1?2解得? ?f(x?1)?f(x)?x?1,???a?b?1?b?1??2?f(x)?121111x?x?(x?)2?的值域为??1,????. ?222288??方法探究 已知函数的类型，可以使用待定系数法来求函数的表达式，而对于二次函数求最值的问题一般使用配方法进行求值域. 【拓展·变式】

5．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），f1)(2?，则f(?3)等于（ ）A．2

B．3

C．6

D．9

题型二 实际应用题

典例6．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的

车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【研析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：

3600?3000 =12，所以这时租出了88辆车.

50f（x）=（100－

x?3000x?3000）（x－150）－×50，

50502

1x2整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）+307050.

5050所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

思维指南 根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式

后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制.本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.该题典型代表高考的方向.

【拓展·变式】

6．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数.

题型三 易错辨析题

2典例7．(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(x)的定义域;

(2)已知函数(3)已知函数

f(2x?1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域; f(x?1)的定义域为[?2,3],求f(2x2?2)的定义域.

- 26 -

【研析】(1)?为{x|?1?(2)?f(x)的定义域为(0,1),?要使f(x2)有意义,需使0?x2?1,即?1?x?0或0?x?1,?f(x2)的定义域

x?0或0?x?1}.

f(2x?1)的定义域为(0,1),即其自变量x的取值范围是0?x?1,若令t?2x?1则1?t?3即关于t的函数f(t)的

?3},从而函数f(x)的定义域为{x|1?x?3}.

定义域为{t|1?t(3)?f(x?1)的定义域为[?2,3],即其自变量x的取值范围是?2?x?3,若令t?x?1,则?1?t?4,即关于t的函数f(t)的定义域为{t|?1?t?4},从而要使函数f(2x2?2)有意义,只需?1?2x2?2?4,解得?3?x??22或?x?3. 22?f(2x2?2)的定义域为{x|?3?x??22或?x?3}.

2222方法探究(1)求函数的定义域就是求自变量x的取值范围,求f(x)的定义域求是求x的取值范围,而不是求x的取值范围,这里x与

x2的地位相同,所满足的条件应该是一样的;(2)应由0?x?1确定出2x?1的取值范围,即为函数f(x)的定义域;(3)应由

?2?x?3确定出x?1的取值范围,进行求出函数f(2x2?2)的定义域,它是(1)与(2)的综合.

【拓展·变式】

7．已知函数f（x）=

3x?1的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）

ax2?ax?3C．－12＜a＜0

D．a≤

3A．a＞

1 3 B．－12＜a≤0

1 3

▲ 创新思维探究

题型一 开放探究题

典例8.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:

P?1000(x?t?8)(x?8,t?0),Q?50040?(x?8)2(8?x?14)

当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? 【研析】(1)依题设有

1000(x?t?8)?50040?(x?8)2化简得5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0.

当判别式△=800－16t2≥0时,可得由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:

x?8?42t?50?t255

- 27 -

?0?t?50?(1)?428?8?t?50?t2?14?55??0?t?50?(2)?4228?8?t?50?t?14?55?

解不等式组①,得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为 42x?8?t?50?t255 函数的定义域为[0，10]

(2)为使x≤10,应有

8?42t?50?t2?1055

化简得t2+4t－5≥0.

解得t≥1或t≤－5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.

交流探讨 高考对函数问题的考查主要集中在函数的应用与性质的考查,在处理时,由于定义域问题具有较强的隐蔽性,往往会成为解决问题成败的关键,因此在解决问题时应树立“定义域优先”的观点.

【拓展·变式】

8．已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域

题型二 课标创新题

典例9.已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．

【研析】?22xy?0??x?0x?04或,因为4x2?9y2?36,故y2?x2?4 y?0y?09??x?0?x?0??或?x??3. ?x?3?42?4x?4?0x?4?0???9?9?42?x?4(x?3)??9 ?y?f(x)???4x2?4(x??3)??9因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞)． 且不难得到其值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

理念链接本例从某种程度上揭示了函数与方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程转化为函数解析式,

则需要一定的条件． 【拓展·变式】

9．已知函数f(x)，g(x)同时满足：g(x?y)?g(x)g(y)?f(x)f(y)；f(?1)??1，f(0)?0，f(1)?1，求

g(0),g(1),g(2)的值.

▲ 高考思维探究

高考导航函数是中学数学的核心内容,是高考的重点,也是历年高考的必考内容.近几年来的高考试题加大了对函数基本概念的

考查力度,特别是对函数的定义域问题,几乎每年都会出现.

- 28 -

典例10.（2008年全国I卷文理）函数y?x(x?1)?x的定义域是（ ）

A．{x|x?0} B．{x|x?1} C．{x|x?1}?{0} D．{x|0?x?1}

【研析】要使?x(x?1)?0解得x(x?1)有意义必需有x(x?1)?0，而若使x有意义，必需有x?0，从而?x?0??x?0或x?1，所以函数y?x(x?1)?x的定义域是{x|x?1}?{0}，从而选C. ??x?0品思感悟 掌握函数的定义域问题的解决思路,是学好函数的关键.在学习的过程中,应时刻注意定义域与所研究函数的关系,注意定义域在解决实际问题中的作用. 【拓展·变式】

10.若函数y?f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)?f(2x)的定义域是（ ）

x?1A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)?(1,4] D．(0,1)

?优化考题新演练

一、理解与应用 1．下列集合A．C．

A到集合B的对应f是函数的是 （ ）

：

A???1,0,1?,B???1,0,1?,fA?Z,B?Q,f：

A中的数平方；B．A??0,1?,B???1,0,1?,f：

：

A中的数开方；

A中的数取倒数；D．A?R,B?R?,f B．y?A中的数取绝对值

（ ）

2．下列各组函数中，表示同一函数的是

A．y?1,y?x xx?1?x?1,y?x2?1

C ．y?x,y?3x3

3．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=

A．

D． y?|x|,y?(x)2

（ ） D．

C．2p?3q

p，f(3)?q那么f(72)等于

p?q B．3p?2q

p3?q2

（ ）

4. 已知函数y?1?x的定义域为 2x2?3x?2 A．(??,1]

B．(??,2] D． (??,?)?(?

C ．(??,?)?(?二、拓展与创新

5．设定义在R上的函数6．已知

121,1] 2121,1] 2f?x?满足f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则f?99??

f(x)的定义域为[?1,2)，则f(|x|)的定义域为

三、综合与探究

7．判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

- 29 -

（2）f ( x ) = x； g ( x ) =

x2

（3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )= | x | ；g ( x ) =

x2

8．如图，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切， 记其中一个圆的半径为x，两圆的面积之和为S，将S表示为x的函数， 求函数S

?f(x)的解析式、定义域和最大值.

答案与解析研读

【拓展·变式】

１．C 解析：因为由函数的定义可知，当a不属于函数是唯一的，否则就不满足函数的定义．

y?f(x)的定义域时，无交点；当属于函数y?f(x)的定义域时必有f(a)2．解：因为|x?1|?|x?1|的函数值一定大于0，且x?1无论取什么数三次方根一定有意义，故其值域为R． 3．解: (1)令1?2x?t，t?0，x?1(1?t2)，原式等于1(1?t2)?t??1(t?1)2?1，故y?1。

222（2）．把原式化为以x为未知数的方程(y?2)x2当

?(y?2)x?y?3?0，

3y?2时，??(y?2)2?4(y?2)(y?3)?0，得2?y?10；

10]. 3当

y?2时，方程无解；所以函数的值域为(2,4．D 解析:A,B,C三个函数的定义域不相同.

5．C 解析:令x?y?0得f(0)?2f(0),从而得f(0)?0,再令x?1,y??1得f(0)?f(1)?f(?1)?2,从而f(?1)?0.再令x?y??1,

得f(?2)?2,再令x??1,y??2,得

f(?3)?f(?1)?f(?2)?2?(?1)?(?2)=0+2+4=6.

6.解：由于长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米，因此其底面积为4平方米，

44米，又因为池壁的造价为每平方米100元，而池壁的面积为2（2x＋2·）xx4平方米，因此池壁的总造价为100·2（2x＋2·）， 而池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，

x44因此池底的总造价为1200元，故蓄水池的总造价为：y＝100·2（2x＋2·）＋1200＝400·（x＋）＋1200（x

xx设底面一边长为x米，则另一边长为＞0）.

?a?0,7．解: B 提示：由a=0或?可得－12＜a≤0.

2Δ?a?4a?(?3)?0,?8.解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S=

1lr=（5－r）r=－r2+5r 2

- 30 -

?r?0,55?由?l?0,得＜r＜5,∴S=－r2+5r的定义域为（，5）

π???l?2πr,π???522555）+且r=∈（，π）， 22π??4525∴当r=时，S最大=,

24525又S＞－52+5×5=0，∴S=－r2+5r，r∈（，5）的值域为（0，］

π??4又S=－r2+5r=－（r－

9.解：令x?y得：f2(x)?g2(y)?g(0). 再令x?0，即得g(0)?0,1. 若g(0)?0，令x?y?1时，得f(1)?0不

合题意，故

g(0)?1；g(0)?g(1?1)?g(1)g(1)?f(1)f(1)，即

1?g2(1)?1，所以

g(1)?0；那么

g(?1)?g(0?1)?g(0)g(1)?f(0)f(1)?0，g(2)?g[1?(?1)]?g(1)g(?1)?f(1)f(?1)??1..

10.B 提示：?函数y?f(x)的定义域是[0,2]，从而f(2x)的定义域为[0,1]，而函数g(x)的分母不能为零即x?1，从而函

数g(x)的定义域为[0,1).

优化考题新演练 1． A 2．C 3．B 4.D

5.

132 解析: ：∵

13?2，f?x??f?x?2??13且f?1??2 ∴f?1??2，f?3??13?13，f?5??f?1?2f?3?f?7???21313?，f?9??13?2，?， ∴f?2n?1????13f?5?2f?5???2n为奇数n为偶数 ，

∴f?99??f?2?100?1??13

26. (?2,2)

7.解(1)f(x)的定义域为{x|x?1}而g(x)的定义域为R,因此f（x）与g（x）不能表示同一个函数; (2)g(x)?|x|,而f(x)?x,表达式不相同,因此f（x）与g（x）也不能表示同一个函数; (3)f(x)与g(x)的表达式不同,不能表示同一个函数; (4)表示同一个函数.

8. 解：设另一个圆的半径为y，则

?x?y?22?1?2?2x?x?2y?y?2

?f(x)??(x2?y2)??[x2?(2?2?x)2]

2?22)?(3?22)]， 2， ?S2??[2x2?2(2?2)x?(6?42)]??[2(x?∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，

- 31 -

∴函数的定义域为{x|3?2?x?1}.

22?3?2?231313(3?22) ?[?2,],又f(?2)?f()?(3?22),?Smax?2222222

一次函数和二次函数

一、知识梳理

1.函数y?kx?b(k?0)叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R ； （1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；

（2）一次函数y?kx?b(k?0)中，k叫直线的斜率，b叫直线在y轴上的截距； k?0时，函数是增函数，

k?0时，函数是减函数；

（3）b?0时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；b?0时，它既不是奇函数，也不是偶函数； 4.函数y?ax?bx?c(a?0)叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线； （1）当b?0时，该函数为偶函数，其图象关于y轴对称；

（2）当a?0时，抛物线y?ax2?bx?c开口向上，二次函数的单调减区间为???,?2b?，单调增区间为?2a??4ac?b2?b,???； ?,???，值域为??4a?2a?（3）当a?0时，抛物线y?ax2?bx?c开口向下，二次函数的单调增区间为???,?b?，单调减区间为2a???4ac?b2??b??,?,???，值域为??； ??4a??2a?二、方法归纳

1.二次函数的三种表示形式

?? 提 示 二次函数图象的

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对称轴与x轴的交点（1）一般式：y?ax2?bx?c(a?0)．

（2）顶点式：y?a(x?m)2?h(a?0)，其中 (m,h)为抛物线的顶点坐标． （3）两根式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．

2.利用配方法求二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴方程为：

是函数单调区间的界，在x轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等． x＝－

b． 2a3.若二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)对应方程f(x)＝0的两根为x1、x2，那么函数

f(x)?ax2?bx?c(a?0)图象的对称轴方程为：x＝

x1?x2b＝－．

2a24.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．

三、典型例题精讲

［例1］二次函数y?ax2?bx和反比例函数y? 2a?0，方程? ． 解析：由题义Ａ． Ｂ． ax?bx＝0的两根为Ｃ． x1?0、x2?Ｄ．y y y b

在同一坐标系中的图象大致是（ ） x

y O x O x O x O x ba观察备选答案ABC中反比例函数y?答案A中a?0，x2??b

的图象，知b＞0， x

bb＞0，矛盾；答案B中a?0，x2??＞0，正好，故选B． aa【技巧提示】 根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等． 又例：已知二次函数f(x)?ax?bx?3a?b为偶函数，其定义域为?a?1,2a? ，则函数的值域为 ．

2解析：由题意，a≠0，b＝0，且2a??(a?1)，∴ a＝ 函数f(x)?1， 312x?1的值域为?1,???． 3［例2］对于每一个x，设f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．

- 33 -

解析： 这是教材中的一道练习题．f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4三个函数中的最小值．于是f(x)的解析式为

1?4x?1,x??3?12?f(x)??x?2,?x?，

33???2x?4,x?2?3?

y y?4x?1 y?x?2 y??2x?4 x 28f(x)的最大值为f()＝．

33

O 【技巧提示】 理解f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4 三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出f(x)的解析式是关键．

又例：对于任意x?R，函数f?x?表示?x?3，是_ _（答案：2）

［例3］二次函数f?x?满足f?x?2??f??x?2?，又f?0??3，f?2??1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是( )

A. ?0,??? B. ?2,??? C. ?0,2? D. [2,4] 解析：由f?x?2??f??x?2? 知函数y?f(x)的图象关于直线 x＝2对称， 又f?0??3，f?2??1，图象如下， 由?0,m?上有最大值3，最小值1， 可知m的取值范围是?2,4?，故选D． 【技巧提示】 函数f?x?满足

3 1 O 2 x y 31x?，x2?4x?3中的较大者，则f?x?的最小值22f?a?x??f?a?x?，则y?f(x)的

图象关于直线 x＝a对称，

其中f?a?x??f?a?x?也可用f?2a?x??f?x?代替；数形结合可以使解法更加便捷．

又例：已知二次函数y?f(x)满足f(6?x)?f(x) (x∈R)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于

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( )

A．0 B．3 C．6 D．不能确定

解析：由f(x)?f(6?x) (x∈R) 知函数y?f(x)的图象关于直线 x＝3对称，应有＝6. 答案：C

再例：函数y?x2?3x?4的定义域为?0,m?，值域为??解析：函数f(x)?x?3x?4?(x?)?2x1?x2?3， x1＋x22?25?,?4?，则实数m的取值范围是 ?4?32225， 425， 4又f(0)?f(3)??4，f(x)的最小值为 ?∴ 实数m的取值范围是?,3?．

2?3???［例4］抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于点(?,0),(?,0)两点且?2??2?17.求k的值. 解析： 由题意 ?,? 是方程x2?(k?1)x?3k?2?0的两根，

∵ ????k?1,????3k?2，又?2??2?17 即(???)2?2???17，

∴ (k?1)2?2(?3k?2)?17 ， 解得k1?2，k2??6． 当k1?2时△＞0，当k2??6时△＜0（舍去） ∴k?2．

【技巧提示】抛物线与x轴交于点的横坐标是二次函数f(x)所对应的方程f(x)＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答本题的重要基础知识．

又例： 如果二次函数y?kx?7x?7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )

27 47 C．k≥－

4 A．k＞－

7 且k≠0 47 D．k＞－ 且k≠0

4 B．k≥－

解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“k≠0”；“图象和x轴有交点”等价于△≥0． 答案：B

［例5］已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(?1?x)＝f(?1?x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．

解析：由f(1)＝3，且函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，先求f(x)，再由对称性求g(x)．

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?n?3??1?mm由题意知：? ，解得m?2 ，n?0 ???1?2?∴ f(x)?x2?2x．

设函数y＝f(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，

则x0＝－x，y0＝－y.

2 ∵ 点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，∴－y＝x?2x， ∴ y＝?x?2x， ∴ g(x)＝?x?2x．

又例：已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(?1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

解析：用待定系数法

解法一：利用二次函数一般式 ，设f(x)?ax?bx?c(a?0)，

222 由题意得

??4a?2b?c??1??a?b?c2??1 ?4ac?b?8?4a??a??4?解之得 ?b?4 ∴ 所求二次函数为f(x)??4x2?4x?7．

?c?7?2解法二：利用二次函数顶点式，设f(x)?a(x?m)?n， ∵ f(2)＝f(?1)＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为x＝∴ m?1?m. 2112，又根据题意函数有最大值为n?8，∴ f(x)?a(x?)?8 2212∵ f(?1)＝－1，∴ a??4 ∴ f(x)??4(x?)?8??4x2?4x?7.

2解法三：利用两根式 由已知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

?4a(2a?1)?a2又函数有最大值ymax＝8，即 ＝8，

4a2解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为f(x)＝??4x?4x?7.

［例6］已知二次函数f(x)满足f(0)?1和f(x?1)?f(x)?2x.

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（1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)在??1,1?上的最大值和最小值．

?? 提 示 在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法．透过这些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”．

解析：（1）用待定系数法∵ f(0)?1，设所求二次函数为 f(x)?ax2?bx?1(a?0)，由题意，有

f(x?1)?f(x)?a(x?1)2?b(x?1)?1?(ax2?bx?1)?2x

即 2ax?a?b?2x 对任何都成立．∴ a?1，b??1 即f(x)?x2?x?1． （2）配方，得f(x)?x?x?1?(x?)?根据函数图象可知 f(x)min

【技巧提示】 配方法和待定系数法是初中已经接触过的最常见的数学方法，属于通法．要求熟练掌握，灵活运用． ［例7］函数f(x?m)?x2?2x?3，若函数f(x)在(??,3]上是减函数，则实数m的取值范围是 ． 解析：由f(x?m)?x2?2x?3 得 函数f(x)?(x?m)2?2(x?m)?3

2123，

2413?f()?，f(x)max?f(?1)?3．

24?x2?2(m?1)x?m2?2m?3．

再由f(x)在(??,3]上是减函数，得 ?另解：由函数f(x)在(??,3]上是减函数，

2知f(x?m)?x?2x?3 在 (??,3?m] 上是减函数，

2(m?1)≥3 ∴ m≤－2． 答案：m≤－2． 2于是，有 ??2?1?3?m， ∴ m≤－2． 2【技巧提示】 牢牢掌握二次函数图象的对称轴是二次函数单调性的界这一特征．二次函数f(x)在(??,m]单调，则?b?m，其余类推． 2a又例：已知函数y?x?2(a?2)x?1在(??,4)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．

2

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解析：由题意，有 ?2(a?2)?4， ∴ a≤－2．答案：a≤－2． 2四、课后训练

?2x?3(x?0)?1．函数y??x?3(0?x?1)的最大值是________

??x?5(x?1)?2．已知y?mx?5和y?x?n的图象关于直线y?x对称，则m?n? 3．若函数f(x)?ax?2a?1 的值在区间??1,1?上有正也有负，则实数a的范围是_____________． 4．函数f(x)?2x2?6x?1 在区间[－1,1]上的最小值是___，最大值是_____．

5．若二次函数f(x)?x?2mx?m?2的图象的对称轴方程为x＝1，则m?____________，顶点坐标为___________，单调递增区间为____________．

6．抛物线y?ax?bx?c(a?0)的对称轴是x＝2，且经过点P(3,0)．则a?b?c的值为（ ）

Ａ．?1 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

22227．若函数y?x?(a?2)x?3，x?[a,b]的图象关于直线x?1对称，求b的值．

228．已知二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点为(?1,0),(3,0)，其形状与抛物线y??2x相同，求

y?ax2?bx?c的解析式．

9．已知f(x)??4x?4ax?4a?a在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值

210．已知函数f(x)?x?ax?5满足f(2?x)?f(2?x)，若x?[0,m]时，函数f(x)?[1,5]，求实数m的取值

22范围．

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五、参考答案

1．4 2．－4 3．?1?a?? 4．－3 9 5．－1，（1，－4），?1,??) 6．B 7．6

8．解析：由题意，直接得 y??2(x?1)(x?3)，即y??2x2?4x?6． 9．解析：配方 f(x)??4x2?4ax?4a?a2＝?4(x?若

13a2)?4a． 2a2＜0，即a＜0，最大值为f(0)＝?4a?a＝－5，a＝1（舍去），a＝－5； 2aa5若0≤＜1，即0≤a＜2，最大值为f()＝?4a＝－5，a＝；

224a2若≥1，即a≥2，最大值为f(1)＝?4?a＝－5，a＝?1（舍去）． 25∴ a＝－5 或 a＝．

410．[2,4]

2.3 函数的应用（1）测试题

一、选择题

1．一等腰三角形的周长是２０，底边ｙ是关于腰长ｘ的函数，它的解析式为（ ） Ａ．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ?１０） Ｂ．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ＜１０）

Ｃ．ｙ＝２０－２ｘ（５?x?10） Ｄ．ｙ＝２０－２ｘ（５＜ｘ＜１０）

２．已知Ａ，Ｂ两地相距１５０千米，某人开汽车以６０千米／小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离表示为时间t的函数,表达式是( )

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A．ｘ＝６０ｔ Ｂ．ｘ＝６０ｔ＋５０ｔ

?60t(0?t?2.5)?60t(0?t?2.5)??ｃ．ｘ＝?150(2.5?t?3.5)Ｄ．ｘ＝?

?150?50(t?3.5)(3.5?t?6.5)?150?50t(t?3.5)??3．一根弹簧，挂重１００Ｎ的重物时，弹簧伸长２０ｃｍ，当挂重１５０Ｎ的重物时，弹簧伸长（ ）

Ａ．３ｃｍ ｂ．１５ｃｍ ｃ．２５ｃｍ Ｄ．３０ｃｍ

4．用长度为２４米的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ） Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ

5．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１

x2（０＜ｘ＜２

４０，ｘ?Ｎ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ） Ａ．１００台 Ｂ．１２０台 Ｃ．１５０台 Ｄ．１８０台

6．某商场出售一种产品，每天可卖１０００件，每件可获利４元，根据经验，若每件少买１角，则每天可多买１００件，为获得最好的经济效益，每件应减价（ ）

Ａ．１．５元 Ｂ．２元 Ｃ．３元 Ｄ．２．５元 二、填空题

7．一个水池每小时注入水量是全池的１／１０，水池还没注水部分的总量ｙ随时间ｔ变化的关系式是 ．

8．用一根长１２米的铁丝弯成一个矩形的框架，则框架的最大面积是 ．

9．某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从２月１日起的３００天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用如图表示．写出市场售价与时间的函数关系式 ．

10．从盛满２０Ｌ纯酒精的容器里到倒出１Ｌ酒精，然后用水填满，再倒出１Ｌ混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第ｋ（ｋ?1）次时，共倒出纯酒精ｘＬ，倒第Ｋ＋１次时共倒出酒精ｆ（ｘ）Ｌ，则ｆ（ｘ）的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变） ．

11．某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是 元 三、解答题

12。商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠一个茶杯；（２）按总价的９２％付款．

某顾客需购买茶壶４个，茶杯若干个（不少于４个），若购买茶杯数ｘ个，付款ｙ（元），分别建立两种优惠办法中ｙ与ｘ之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠。

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