最小二乘配置的QR分解解法_鲁铁定
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第28卷第4期 辽宁工程技术大学学报(自然科学版) 2009年8月
of Liaoning Technical University(Natural Science) Aug. 2009 Vol.28 No.4 Journal
文章编号:1008-0562(2009)04-0550-04
最小二乘配置的QR分解解法
鲁铁定12,宁津生2,周世健13,张立亭1,赵 煦2
,
,
(1.东华理工大学 地球科学与测绘工程学院,江西 抚州344000;2.武汉大学 测绘学院,湖北 武汉 430079;
3. 江西省科学院,江西 南昌 330029)
摘 要:为了解决最小二乘配置解算问题,采用QR分解解法建立了直接解算算法。分析了目前采用的最小二乘配置法解算方法,在讨论了矩阵的QR分解方法的基础上,推导得出了矩阵QR分解与广义逆矩阵的关系,得出了可以直接利用QR分解求解矩阵的最小二乘逆,并推导了应用QR分解求解最小二乘配置的估值计算公式和精度估算公式,最后通过重力异常实例进行了计算,得出矩阵的QR分解用于最小二乘配置解算的正确性和可行性。该成果为最小二乘配置法提供了一种新的解算方法。 关键词:最小二乘配置;矩阵分解;重力异常 中图分类号:P227 文献标识码:A
An algorithm of QR decomposition for least-square collocation
LU Tieding12,NING Jinsheng2,ZHOU Shijian13,ZHANG Liting1,ZHAO Xu2
(1. School of Geoscience and Surveying Engineering, East China Institute of Technology, Fuzhou 344000, China; 2. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China; 3. Jiangxi Academy
of Sciences, Nanchang 330029, China)
Abstract:In order to calculate the least square collocation model, a direct algorithm is proposed based on matrix QR decomposition. This paper overviews the various algorithms for least square collocation, discusses the matrix QR decomposition, derives the relationship between QR decomposition and generalized inverse matrix, and obtains least square inverse used for calculating matrix. In addition, the estimation formula for least square collocation by QR decomposition and its accuracy formula are derived. A case study is conducted using gravity anomaly test and calculation to demonstrate that the QR method is correct and valid in least-square collocation calculation. The method presented in this paper provides a new tool for least-squares collocation calculation. Key words:least square collocation;matrix decomposition;gravity anomaly
联合求定,为整体大地测量奠定了理论基础。从上0 引 言
世纪60年代以来,国内外测绘专家学者对最小二
最小二乘配置起源于根据最小二乘推估来内乘配置法进行了广泛深入研究,汪洪海,罗志才,
[1][2]
插和外推重力异常的课题。在地球形状重力场罗佳等对不同分辨率的重力数据融合问题,推导了的研究中,配置的普遍形式是其函数模型中除包含多分辨率最小二乘配置法的具体公式,并通过算例
[3][4]
随机部分外,还包含非随机的系统部分(也称与传统最小二乘配置法的结果进行了比较[5];罗志为倾向)。1969年,克拉鲁普(T.Krarup)把推估重才,宁津生,晁定波研究了频域最小二乘配置法,力异常的方法,发展为用不同类型的数据,例如重并与空域最小二乘配置法进行了比较,其方法可有力异常,垂线偏差等,去估计异常引力场中的任一效提高稳定性[6];张继贤等讨论了顾及线性化残差元素,例如扰动位,大地水准面差距等,提出了最相关性的最小二乘配置法地形迭代线性化技术[7]。 小二乘配置法。莫里兹(H.Moritz)对最小二乘配本文在分析最小二乘配置法解算方法的基础置进行了系统深入的研究,提出了带系统参数的最上,推出一种基于QR矩阵分解的解算算法,并通小二乘配置,并概述了这种方法在大地测量其它方过实例进行了分析,得出其结果的可靠性。 面的应用,进而导致几何位置和重力场的最小二乘
,
,
收稿日期:2007-05-06
基金项目:国家自然科学基金资助项目(40874010,40574008);江西省自然科学基金资助项目(2007GZC0474);江西省教育厅科技资助项目
(赣教财2006[208]);地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金资助项目(06-06);数字国土江西省重点实验室开放基金资助 项目(DLLJ200506);
第4期 鲁铁定,等:最小二乘配置的QR分解解法
n×n
551
1 最小二乘配置的估值公式
最小二乘配置的函数模型[1,2]一般为
阶矩阵G满足
AGA=A,(AG)T=AG (8)
L=BX+GY+Δ (1)
式中,L为观测向量,Δ为观测噪声,Y为倾向参
n,1
n,1
则称G为A的一个最小二乘广义逆,记为Al。
设方阵A=[aij]n×n∈C
(Rn×n)非奇异,则
数,X为滤波信号,另外还有推估信号X′,其随
t1,1
t2,1
机模型是
X和X′的先验期望:E(X)=μX,E(X′)=μX′
存在酉(正交)矩阵Q和复(实)的正线(对角线全正数)上三角矩阵R,使得A=QR。 设
G=R 1QT (9)
因为
Δ的数学期望:E(Δ)=0
X和X′的先验方差和协方差,Δ的方差,Δ关于X和X′的协方差为
D= Z
DΔZ
AGA=QR R 1QT QR=QR=A (AG)T=(QR R 1QT)T=AG
根据定义可见式(9)为矩阵A的最小二乘广义逆。
设n×r矩阵A∈C
n×r
DXDZΔ ,
D=Z D
DΔ X′X DXX′ ,
DX′
DΔX′] (2)
(∈Rn×r)
0
D
DZΔ= XΔ ,DΔZ=[DΔX
DX′Δ
用LX,LX′表示被当作虚拟观测值的先验期望
且rankA=r,则存在n阶酉(正交)矩阵和r阶复(实)的正线上三角矩阵R,使得A=Q R 。 设
1T
G= 0 R Q (10)
μX,μX′,将信号X,X′当作非随机参数,按照广
义最小二乘原理,可写出误差方程
L VX=XX
(3) ′ L′ VX′=X X
+GY L V=BX
因为
R R R
R 10 QT Q =Q =A AGA=Q 0 0 0
R
(AG)T=(Q R 10 QT)T=AG
0
根据广义最小二乘原理,推导可得配置法的估值计算公式和估值方差计算公式,公式形式可参见文献[1]和[2]。
根据定义可见式(10)为矩阵A的最小二乘广义逆。
2 矩阵的QR分解
2.1 矩阵的QR分解及求解
定理
[8-9]
3 最小二乘配置的QR分解解法
3.1 独立等精度条件下的解算公式
最小二乘配置法的误差方程式为
V E
= Z =
V BZ
L 0 ZZ L G Y
设方阵A=[aij]n×n∈Cn×n(Rn×n)非奇
异,则存在酉(正交)矩阵Q和复(实)的正线(对
角线全正数)上三角矩阵R,使得
A=QR (6)
推论
[11]
设n×r矩阵A∈C
n×r
(∈R
n×r
)且
rankA=r,则存在n阶酉(正交)矩阵和r阶复
(实)的正线上三角矩阵R,使得
R
A=Q (7)
0
设=E,则广义最小二乘原理可以表示为
T 1==min
上式等价于最小二乘问题
LZ E0 Z
min (11)
BZG Y L
2
证明见文献[8]。
矩阵的QR分解方法有:Gram-Schmidt正交化法,Givens初等旋转矩阵法,Householder初等反射矩阵法等[10]。
2.2 矩阵QR分解与广义逆
定义
[8]
式中 2称为Euclidean范数,也称为Frobenius范
数[9]。对系数矩阵进行QR分解有
E0 R (12)
Q= BG 0 Z
E由前面的证明可以知, B Z
0
=R 10QT为 G l
[]
设A∈R
m×n
(m≤n),若有一个n×m
上式的最小二乘广义逆阵。根据定理,不相容方程
552
辽宁工程技术大学学报(自然科学版) 第28卷
1
组Ax=b有最小二乘解的充要条件是x=Alb,式中Al是矩阵A的最小二乘广义逆。于是可得到其最小二乘解为
E Z
= Y BZ
0 LZ
=R 1 G l L
1
1
[
L
0QT Z (13)
L
]
对系数矩阵进行QR分解有
R ~
B=Q (18)
0
于是有
~ 1~ Z L 1
0QTW 1 Z (19) =BlL=R
L Y
[]
对最小二乘配置法的误差方程,其系数矩阵为
列满秩的矩阵,文献[8]中已证明,当系数矩阵为列满秩时,其最小二乘解是唯一的,因此上式所求出的最小二乘解是唯一的。
估值的方差计算公式
TT 1 1 (14) R0QR0D Z =
Y
估值的方差计算公式
D Z = R 1
Y
1 1T 1T
0 QW(W)Q R
0
T
(20)
4 算 例
为了验证分解方法,现以文献[2]中的[例2-5
-1]数据为例,设已知P1~P4四个观测点的重力异常观测值和它们的坐标,观测误差的方差为DΔ=(0.03)2E,信号的方差DX,DX′和协方差DXX′按希尔沃年公式D(s)=D(0),取
s21+d
D(0)=0.01mGal,d=200m计算,重力异常观测值和坐标见文献[2]。观测值的误差方程式
3.2 不等精度条件下的解算公式
最小二乘配置法的误差方程式为
V E= Z =
V BZ
T
1
L 0 ZZ G Y L
求解上述误差方程的方法是在广义最小二乘原理=min下,其协方差矩阵为正定,对于某矩阵W∈C有=WW。W可以是的Cholesky三角阵,是一个实非奇异下三角阵,则加权最小二乘问题
LZ E0 Z 1 min( ) (15)
BZG Y L
2
n×nT
L VX=XX
′ L′ VX′=XX +GY Δg V=X
带入数据有
1
0 0 0 00 = G 0 1 0 0 0
01
00000100
0010000010
0001000001
0000100000
0000010000
0000001111
0000001.8 0.2 3.21.6
0 0
0 0
0 1.8
1.0 1.6
1.2 0
令
E~
B=W 1
BZ
0 ~ L
,L=W 1 Z (16) G L
E
B Z
则式(15)可表示为
~~ Z
minB L (17)
Y 2
分析(17)式可以看出,其解算即化为一般等精度的最小二乘配置问题,因此对于不等精度的观测值,在应用广义最小二乘法时,就可以用(15)式的方法将其转换为等精度情况进行解算。
观测值的协方差阵为
1 0.464
0.099
0.306 0.435 = 0.381
0 0 0 0
0.464
10.2020.3310.7450.7940000
0.0990.20210.1470.2050.2380000
0.3060.3310.14710.5810.5000000
DZ
=
DΔZ DZΔDΔ
0.4350.7450.2050.58110.96200000.3810.7940.2380.5000.962100000000000.0900000000000.0900000000000.090
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.09
第4期 鲁铁定,等:最小二乘配置的QR分解解法
553
LZ T L =(000000 0.55 0.230.58 1.80)
对协方差阵进行进行Cholesky三角阵分解,得到矩阵W为下三角阵,带入可计算
E~
B=W 1
BZ0 ~ 1 LZ 进行LW,对矩阵B,= G L
QR分解,并将分解结果带入公式(19)有
~ 1~ Z 1
=BlL=R Y
[
L
0QTW 1 Z =
L
]
[0.100 27 -0.203 30 0.084 06 -0.074 34 -0.142 49 -0.163 01 -0.476 67 -0.490 89 0.381 46]T
进而可得
g=GY +X =[ 0.5734 0.20030.5679 1.7942]TΔ
数阵的制约数较大时,传统解算方法增加了对舍入
误差的敏感性;传统解算方法的法方程系数的形成也会带来一定的误差,甚至可能不能保证法方程系数计算的正定性;由于最小二乘配置法的误差方程式系数是稀疏矩阵,用传统的方法组法方程式解算不一定保证法方程系数阵的稀疏性。应用矩阵的QR分解解算,在一定程度上可克服上述缺点。根据G H.Golub等[9]的研究,对于误差方程系数矩阵的条件数很大时,QR方法通常可以得到比传统方法精度高的解,因此QR分解方法在一定程度上为了传统方法可能导致法方程病态问题提供一种解算方法。对于算法稳定性等问题今后还需做进一步的研究探讨。 参考文献:
g′=GY +X ′=[ 0.8155 0.6397]T ΔP
[1] 黄维彬.近代平差理论及其应用[M].北京:解放军出版社,1992. [2] 崔希璋,於宗俦,陶本藻,等。广义测量平差(新版)[M].武汉:武汉测绘科
技大学出版社,2001.
[3] 耿凤奎,麦照秋. 海南高精度高分辨率大地水准面模型[J].辽宁工
程技术大学学报,2003,22(1):47-49.
[4] 黄 腾,宋 雷,方 剑.重力位模型和GPS/水准数据确定区域似大地
水准面[J].辽宁工程技术大学学报,2008,27(1):28-31.
[5] 汪海洪,罗志才,罗佳,郭利民.多分辨最小二乘配置法初探[J].大地测
量与地球动力学,2006,26(1):115-119.
[6] 罗志才,宁津生,晁定波.卫星重力梯度向下延拓的频域最小二乘配置
法[J].解放军测绘学院学报,1996,13(3):161-166.
[7] 张继贤,唐心红,黄寰等.顾及线性化残差的最小二乘配置法地形迭代
线性化[J].无线电工程,1998,28(5):46-48.
根据前面推导的估值的方差计算公式[20],
T
DY DY X G E] DΔg =[G =DD Y E X X
0.0055 0.00220.0011 0.0857
0.00550.08310.0028 0.0014 0.00220.00280.08880.0006
0.0897 0.0011 0.00140.0006
DΔg ′=[GP
D
E] Y
Y DXT
DY X 0.36310.3295 Gp
= 0.32950.3560 DX E
可以看出,其解算结果和文献[2]上结果完全一致。
5 结 论
本文主要推导了矩阵的QR分解和最小二乘广
义逆矩阵之间的关系,得出解算公式和精度估算公式,并通过实例进行了分析。在传统的最小二乘配置解算方法主要存在以下缺点[1]:当误差方程式系
[8] 吴昌愙,魏洪增主编.矩阵理论与方法[M].北京:电子工业出版
社,2006.
[9] GH.Golub,C F.Van Loan. Matrix Computations(Third Edition)[M]. The
Johns Hopkins University Press,1996.
[10] 张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004 .
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