矩阵及其基本运算

第1章 矩阵及其基本运算

第1章 矩阵及其基本运算

MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。

1.1 矩阵的表示

1.1.1 数值矩阵的生成

1．实数值矩阵输入

MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。

不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如：

>> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

Time =

11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]

X_Data =

2.43 3.43 4.37 5.98

>> vect_a = [1 2 3 4 5]

vect_a =

1 2 3 4 5

>> Matrix_B = [1 2 3；

>> 2 3 4；3 4 5]

Matrix_B = 1 2 3

2 3 4 3 4 5

>> Null_M = [ ] %生成一个空矩阵

2．复数矩阵输入

复数矩阵有两种生成方式： 第一种方式 例1-1

>> a=2.7;b=13/25;

>> C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]

C=

1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000

1 MATLAB6.0数学手册 第2种方式 例1-2

>> R=[1 2 3;4 5 6], M=[11 12 13;14 15 16]

R =

1 2 3 4 5 6 M =

11 12 13 14 15 16

>> CN=R+i*M

CN =

1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i

1.1.2 符号矩阵的生成

在MATLAB中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数sym，或者是用到符号定义函数syms，先定义一些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。

1．用命令sym定义矩阵：

这时的函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。如下例：

例1-3

>> sym_matrix = sym（'[a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!]，'）

sym_matrix =

[a b c] [Jack Help Me! NO WAY!]

>> sym_digits = sym（'[1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z）]'）

sym_digits =

[1 2 3] [a b c] [sin（x）cos（y）tan（z）]

2．用命令syms定义矩阵

先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。 例1-4

>> syms a b c ； >> M1 = sym（'Classical'）； >> M2 = sym（' Jazz'）； >> M3 = sym（'Blues'）

>> syms_matrix = [a b c； M1， M2， M3；int2str（[2 3 5]）]

syms_matrix =

[ a b c] [Classical Jazz Blues] [ 2 3 5]

把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。

数值型和符号型在MATLAB中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MATLAB提供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。

2 第1章 矩阵及其基本运算

例1-5

>> Digit_Matrix = [1/3 sqrt（2） 3.4234；exp（0.23） log（29） 23^（-11.23）] >> Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）

结果是：

Digit_Matrix =

0.3333 1.4142 3.4234 1.2586 3.3673 0.0000

Syms_Matrix =

[ 1/3， sqrt（2）， 17117/5000] [5668230535726899*2^（-52），7582476122586655*2^（-51），5174709270083729*2^（-103）]

注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。

1.1.3 大矩阵的生成

对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改： 例1-6 用M文件创建大矩阵，文件名为example.m

exm=[ 456 468 873 2 579 55

21 687 54 488 8 13 65 4567 88 98 21 5 456 68 4589 654 5 987 5488 10 9 6 33 77]

在MATLAB窗口输入：

>>example;

>>size(exm) %显示exm的大小 ans=

5 6 %表示exm有5行6列。

1.1.4 多维数组的创建

函数 cat

格式 A=cat(n,A1,A2,?,Am)

说明 n=1和n=2时分别构造[A1；A2]和[A1，A2]，都是二维数组，而n=3时可以构造出三维数组。

例1-7

>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2; >> A4=cat(3,A1,A2,A3) A4(:,:,1) =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A4(:,:,2) =

1 4 7 2 5 8 3 6 9 A4(:,:,3) =

0 -2 -4 2 0 -2 4 2 0

3 MATLAB6.0数学手册 或用另一种原始方式可以定义： 例1-8

>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2; >> A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3 A5(:,:,1) =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A5(:,:,2) =

1 4 7 2 5 8 3 6 9 A5(:,:,3) =

0 -2 -4 2 0 -2 4 2 0

1.1.5 特殊矩阵的生成

命令 全零阵

函数 zeros

格式 B = zeros(n) %生成n×n全零阵

B = zeros(m,n) %生成m×n全零阵

B = zeros([m n]) %生成m×n全零阵 B = zeros(d1,d2,d3?) %生成d1×d2×d3×?全零阵或数组 B = zeros([d1 d2 d3?]) %生成d1×d2×d3×?全零阵或数组 B = zeros(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全零阵

命令 单位阵

函数 eye

格式 Y = eye(n) %生成n×n单位阵

Y = eye(m,n) %生成m×n单位阵

Y = eye(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的单位阵

命令 全1阵

函数 ones

格式 Y = ones(n) %生成n×n全1阵

Y = ones(m,n) %生成m×n全1阵

Y = ones([m n]) %生成m×n全1阵

Y = ones(d1,d2,d3?) %生成d1×d2×d3×?全1阵或数组 Y = ones([d1 d2 d3?]) %生成d1×d2×d3×?全1阵或数组 Y = ones(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全1阵

命令 均匀分布随机矩阵

函数 rand

格式 Y = rand(n) %生成n×n随机矩阵，其元素在（0，1）内

Y = rand(m,n) %生成m×n随机矩阵

4 第1章 矩阵及其基本运算

Y = rand([m n]) %生成m×n随机矩阵 Y = rand(m,n,p,?) %生成m×n×p×?随机矩阵或数组 Y = rand([m n p?]) %生成m×n×p×?随机矩阵或数组

Y = rand(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵 rand %无变量输入时只产生一个随机数

s = rand('state') %产生包括均匀发生器当前状态的35个元素的向量 rand('state', s) %使状态重置为s rand('state', 0) %重置发生器到初始状态

rand('state', j) %对整数j重置发生器到第j个状态

rand('state', sum (100*clock)) %每次重置到不同状态

例1-9 产生一个334随机矩阵

>> R=rand(3,4) R =

0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919

例1-10 产生一个在区间[10, 20]内均匀分布的4阶随机矩阵

>> a=10;b=20;

>> x=a+(b-a)*rand(4) x =

19.2181 19.3547 10.5789 11.3889 17.3821 19.1690 13.5287 12.0277 11.7627 14.1027 18.1317 11.9872 14.0571 18.9365 10.0986 16.0379

命令 正态分布随机矩阵

函数 randn

格式 Y = randn(n) %生成n×n正态分布随机矩阵

Y = randn(m,n) %生成m×n正态分布随机矩阵

Y = randn([m n]) %生成m×n正态分布随机矩阵 Y = randn(m,n,p,?) %生成m×n×p×?正态分布随机矩阵或数组 Y = randn([m n p?])

%生成m×n×p×?正态分布随机矩阵或数组

Y = randn(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵 randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数 s = randn('state') %产生包括正态发生器当前状态的2个元素的向量 s = randn('state', s) %重置状态为s

s = randn('state', 0) %重置发生器为初始状态

s = randn('state', j) %对于整数j重置状态到第j状态 s = randn('state', sum(100*clock)) %每次重置到不同状态

例1-11 产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵

>> mu=0.6; sigma=0.1;

>> x=mu+sqrt(sigma)*randn(4) x =

0.8311 0.7799 0.1335 1.0565 0.7827 0.5192 0.5260 0.4890

5

MATLAB6.0数学手册 0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.5064 0.6996 0.8527

命令 产生随机排列

函数 randperm

格式 p = randperm(n) %产生1～n之间整数的随机排列 例1-12

>> randperm(6) ans =

3 2 1 5 4 6

命令 产生线性等分向量

函数 linspace

格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点

y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n个线性等分点 命令 产生对数等分向量

函数 logspace

格式 y = logspace(a,b) %在（ a b）之间产生50个对数等分向量 10, 10y = logspace(a,b,n)

y = logspace(a,pi)

命令 计算矩阵中元素个数

n = numel(a) %返回矩阵A的元素的个数

命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵

函数 blkdiag

格式 out = blkdiag(a,b,c,d,?) %产生以a,b,c,d,…为对角线元素的矩阵 例1-13

>> out = blkdiag(1,2,3,4) out =

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

命令 友矩阵

函数 compan

格式 A = compan(u) %u为多项式系统向量，A为友矩阵，A的第1行元素为

-u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)为u的第2到第n个元素，A为特征值就是多项式的特征根。

37 x ?例1-14 求多项式 ( x ? 1 )( x ? 2 )( x ? 3 ) ? x ? 6 的友矩阵和根

>> u=[1 0 -7 6];

>> A=compan(u) %求多项式的友矩阵

A =

0 7 -6 1 0 0 0 1 0

>> eig(A) %A的特征值就是多项式的根

ans =

6 第1章 矩阵及其基本运算

-3.0000 2.0000 1.0000

命令 hadamard矩阵

函数 hadamard

格式 H = hadamard(n) %返回n阶hadamard矩阵 例1-15

>> h=hadamard(4)

h =

1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1

命令 Hankel方阵

函数 hankel

格式 H = hankel(c) %第1列元素为c，反三角以下元素为0。

H = hankel(c,r) %第1列元素为c，最后一行元素为r，如果c的最后一个元素

与r的第一个元素不同，交叉位置元素取为c的最后一个元素。

例1-16

>> c=1:3,r=7:10

c =

1 2 3 r =

7 8 9 10 >> h=hankel(c,r)

h =

1 2 3 8 2 3 8 9 3 8 9 10

命令 Hilbert矩阵

函数 hilb

格式 H = hilb(n) %返回n阶Hilbert矩阵，其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。 例1-17 产生一个3阶Hilbert矩阵

>> format rat %以有理形式输出 >> H=hilb(3)

H =

1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5

命令 逆Hilbert矩阵

函数 invhilb

格式 H = invhilb(n) %产生n阶逆Hilbert矩阵 命令 Magic(魔方)矩阵

函数 magic

格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵 例1-18

7 MATLAB6.0数学手册 >> M=magic(3)

M =

8 1 6 3 5 7 4 9 2

命令 Pascal矩阵

函数 pascal

格式 A = pascal(n) %产生n阶Pascal矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由

Pascal三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。

A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky系数组成的Pascal矩阵 A = pascal(n,2) %返回Pascal(n,1)的转置和交换的形式

例1-19

>> A=pascal(4)

A =

1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 >> A=pascal(3,1)

A =

1 0 0 1 -1 0 1 -2 1 >> A=pascal(3,2)

A =

1 1 1 -2 -1 0 1 0 0

命令 托普利兹矩阵

函数 toeplitz

格式 T = toeplitz(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将c作为第1列，将r作

为第1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。 T = toeplitz(r) %用向量r生成一个对称的托普利兹矩阵

例1-20

>> c=[1 2 3 4 5];

>> r=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5]; >> T=toeplitz(c,r)

T =

1 5/2 7/2 9/2 11/2 2 1 5/2 7/2 9/2 3 2 1 5/2 7/2 4 3 2 1 5/2 5 4 3 2 1

命令 Wilkinson特征值测试阵

函数 wilkinson

格式 W = wilkinson(n) %返回n阶Wilkinson特征值测试阵 例1-21

>> W=wilkinson(4)

8 第1章 矩阵及其基本运算

W =

3/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 3/2 >> W=wilkinson(7)

W =

3 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3

1.2 矩阵运算

1.2.1 加、减运算

运算符：“＋”和“－”分别为加、减运算符。

运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。 例1-22

>>A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6]

>>B=[8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2] >>A＋B=A+B >>A-Ｂ=A-B

结果显示：A+B=

9 2 7 4 7 10 5 12 8

A－B=

-7 0 -5 -2 -3 -4 -3 -6 4

1.2.2 乘法

运算符：*

运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。

1．两个矩阵相乘 例1-23

>>X= [2 3 4 5; 1 2 2 1]； >>Y=[0 1 1; 1 1 0; 0 0 1; 1 0 0]； Z=X*Y

9 MATLAB6.0数学手册 结果显示为： Z=

8 5 6 3 3 3

2．矩阵的数乘：数乘矩阵

上例中：a=2*X 则显示：a =

4 6 8 10 2 4 4 2

向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。 数组乘法：

A.*B表示A与B对应元素相乘。 3．向量点积

函数 dot

格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度

相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。

C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积 例 >>X=[-1 0 2]；

>>Y=[-2 -1 1]; >>Z=dot(X, Y) 则显示：Z =

4

还可用另一种算法：

sum(X.*Y) ans= 4

4．向量叉乘

在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab中，用函数cross实现。

函数 cross

格式 C = cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=A3B，A、B

必须是3个元素的向量；若A、B为矩阵，则返回一个33n矩阵，其中的列是A与B对应列的叉积，A、B都是33n矩阵。

C = cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积。A和B必须具有

相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。

例1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。

>>a=[1 2 3]; >>b=[4 5 6]; >>c=cross(a,b) 结果显示： c=

-3 6 -3

可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3) 5．混合积

10

第1章 矩阵及其基本运算

混合积由以上两函数实现：

例1-25 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积a?(b?c) 解：

>>a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3]; >>x=dot(a, cross(b, c)) 结果显示：x = 54

注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。 6．矩阵的卷积和多项式乘法

函数 conv

格式 w = conv(u,v) %u、v为向量，其长度可不相同。

说明 长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积(Convolution)定义为：

kw(k)??u(j)v(kj?1?1?j)式中：w向量序列的长度为(m+n-1)，当m=n时，

w(1) = u(1)*v(1)

w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)

w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1) ?

w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ ? +u(n)*v(1) ?

w(2*n-1) = u(n)*v(n)

例1-26 展开多项式(s2?2s?2)(s?4)(s?1) 解：>> w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))

w =

1 7 16 18 8

>> P=poly2str(w,'s') %将w表示成多项式

P =

s^4 + 7 s^3 + 16 s^2 + 18 s + 8

7．反褶积（解卷）和多项式除法运算

函数 deconv

格式 [q,r] = deconv(v,u) %多项式v除以多项式u，返回商多项式q和余多项式r。 注意：v、u、q、r都是按降幂排列的多项式系数向量。

3 x ?? 20)，则其卷积为 例1-27 ( x ? 2 x ? 4 )( 10 x x ? 30

>>u = [1 2 3 4]

>>v = [10 20 30] >>c = conv(u,v)

c =

10 40 100 160 170 120 则反褶积为

>>[q,r] = deconv(c,u)

q =

10 20 30 r =

0 0 0 0 0 0

3228．张量积

11 MATLAB6.0数学手册 函数 kron

格式 C=kron (A,B) %A为m×n矩阵，B为p×q矩阵，则C为mp×nq矩阵。

?a11B?a21B说明 A与B的张量积定义为：C?A?B??????am1Ba12Ba22B?am2B????a1nB??a2nB?A?B与B?A???amnB?均为mp×nq矩阵，但一般地A?B?B?A。

?1例1-28 A???3?12??B?4 ??4???72583??6 求A?B。 ?9??>> A=[1 2;3 4];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

>> C=kron(A,B)

C =

1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 36

1.2.3 集合运算

1．两个集合的交集

函数 intersect

格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b的公共部分，即c= a∩b。

c = intersect(A,B,'rows') %A、B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。

[c,ia,ib] = intersect(a,b) %c为a、b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，

ib表示公共元素在b中位置。

例1-29

>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]

A =

1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 >> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]

B =

1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 >> C=intersect(A,B,'rows')

C =

6 7 1 4

例1-30

>> A = [1 9 6 20]; B = [1 2 3 4 6 10 20]; >> [c,ia,ib] = intersect(A,B)

12 第1章 矩阵及其基本运算

c =

1 6 20 ia =

1 3 4 ib =

1 5 7

2．检测集合中的元素

函数 ismember

格式 k = ismember(a,S) %当a中元素属于S时，k取1，否则，k取0。

k = ismember(A,S,'rows') %A、S有相同的列，返回行相同k取1，不相同取0

的列向量。

例1-31

>> S=[0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20]; >> a=[1 2 3 4 5 6]; >> k=ismember(a,S)

k =

0 1 0 1 0 1 %1表示相同元素的位置

例1-32

>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4] >> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4] >> k=ismember(A,B,'rows')

k = 0 0

1 %1表示元素相同的行

3．两集合的差

函数 setdiff

格式 c = setdiff(a,b) %返回属于a但不属于b的不同元素的集合，C = a-b。

c = setdiff(A,B,'rows') %返回属于A但不属于B的不同行

[c,i] = setdiff(?) %c与前面一致，i表示c中元素在A中的位置。 例1-33

>> A = [1 7 9 6 20]; B = [1 2 3 4 6 10 20]; >> c=setdiff(A,B)

c =

7 9

例1-34

>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4] >> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4] >> c=setdiff(A,B,'rows')

c =

1 2 3 4 1 2 4 6

4．两个集合交集的非（异或）

函数 setxor

格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非

c = setxor(A,B,'rows') %返回矩阵A、B交集的非，A、B有相同列数。

[c,ia,ib] = setxor(?) %ia、ib表示c中元素分别在a (或A)、b(或B)中位置

13 MATLAB6.0数学手册 例1-35

>> A=[1 2 3 4]; >> B=[2 4 5 8]; >> C=setxor(A,B)

C =

1 3 5 8

例1-36

>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]

A =

1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 >> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]

B =

1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 >> [C,ia,ib]=setxor(A,B,'rows')

C =

1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6 ia = 1 2 ib = 2 1

5．两集合的并集

函数 union

格式 c = union(a,b) %返回a、b的并集，即c = a∪b。

c = union(A,B,'rows') %返回矩阵A、B不同行向量构成的大矩阵，其中相同行

向量只取其一。

[c,ia,ib] = union(?) %ia、ib分别表示c中行向量在原矩阵(向量)中的位置

例1-37

>> A=[1 2 3 4]； >> B=[2 4 5 8]； >> c=union(A,B) 则结果为

c =

1 2 3 4 5 8

例1-38

>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6]

A =

1 2 3 4 1 2 4 6 >> B=[1 2 3 8;1 1 4 6]

B =

1 2 3 8 1 1 4 6

14 第1章 矩阵及其基本运算

>> [c,ia,ib]=union(A,B,'rows')

c =

1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6 ia = 1 2 ib = 2 1

6．取集合的单值元素

函数

格式 b = unique (a) %取集合a的不重复元素构成的向量

b = unique (A,'rows') %返回A、B不同行元素组成的矩阵

[b,i,j] = unique (?) %i、j体现b中元素在原向量（矩阵）中的位置

例1-39

>> A=[1 1 2 2 4 4 6 4 6]

A =

1 1 2 2 4 4 6 4 6 >> [c,i,j]=unique(A)

c =

1 2 4 6 i =

2 4 8 9 j =

1 1 2 2 3 3 4 3 4

例1-40

>> A=[1 2 2 4;1 1 4 6;1 1 4 6]

A =

1 2 2 4 1 1 4 6 1 1 4 6 >> [c,i,j]=unique(A,'rows')

c =

1 1 4 6 1 2 2 4 i = 3 1 j = 2 1 1

1.2.4 除法运算

Matlab提供了两种除法运算：左除（\\）和右除（/）。一般情况下，x=a\\b是方程a*x =b的解，而x=b/a是方程x*a=b的解。

例：a=[1 2 3; 4 2 6; 7 4 9]

15

MATLAB6.0数学手册 b=[4; 1; 2]; x=a\\b 则显示：x=

-1.5000

2.0000

0.5000

如果a为非奇异矩阵，则a\\b和b/a可通过a的逆矩阵与b阵得到：

a\\b = inv(a)*b b/a = b*inv(a)

数组除法：

A./B表示A中元素与B中元素对应相除。

1.2.5 矩阵乘方

运算符：^

运算规则：

（1）当A为方阵，P为大于0的整数时，A^P表示A的P次方，即A自乘P次；P为小于0的整数时，A^P表示A-1的P次方。

p?d11（2）当A为方阵，p为非整数时，则A^P?V???????V?1其中V为A的特征向?dpnn???d11量，??????为特征值对角矩阵。如果有重根，以上指令不成立。 ?dnn??pd11??V???????1?V式中???（3）标量的矩阵乘方PA，标量的矩阵乘方定义为PA?pdnnV，D取

自特征值分解AV=AD。

?pa11?P.^A????am1p???pa1n（4）标量的数组乘方P.^A，标量的数组乘方定义为

??pamn??????数组乘方：

A.^P：表示A的每个元素的P次乘方。

1.2.6 矩阵函数

命令 方阵指数

函数 expm

格式 Y = expm(A) %使用Pade近似算法计算eA，这是一个内部函数，A为方阵。 Y=expm1(A) %使用一个M文件和内部函数相同的算法计算eA Y=expm2(A) %使用泰勒级数计算eA

Y=expm3(A) %使用特征值和特征向量计算eA

16 第1章 矩阵及其基本运算

命令 矩阵的对数

函数 logm

格式 Y = logm(X) %计算矩阵X的对数，它是expm(X)的反函数。 [Y,esterr] = logm(X) %esterr为相对残差的估计值：norm(expm(Y)-X)/norm(X)

例1-41

>> A=[1 1 0;0 0 2;0 0 -1]; >> Y=expm(A)

Y =

2.7183 1.7183 1.0862 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679 >> A=logm(Y)

A =

1.0000 1.0000 0.0000 0 0 2.0000 0 0 -1.0000

命令 方阵的函数

函数 funm

格式 F = funm(A,fun) %A为方阵，计算由fun指定的A的矩阵函数，fun可以

是任意基本函数，如sin、cos等等，例如：funm(A, ’exp’)=expm(A)。

[F,esterr] = funm(A,fun) %esterr为结果所产生的相对误差的估计值。 命令 矩阵的方根

函数 sqrtm

格式 X = sqrtm(A) %矩阵A的平方根A1/2，相当于X*X=A，求X。若A的特征值

有非负实部，则X是唯一的；若A的特征值有负的实部，则X

为复矩阵；若A为奇异矩阵，则X不存在。

[X,resnorm] = sqrtm(A) % resnorm为结果产生的相对误差 [X,alpha,condest] = sqrtm(A) % alpha为稳定因子，condest为结果的条件数的估

计值。

命令 矩阵A的多项式

函数 polyvalm

格式 polyvalm(P, A) %P为多项式系数向量，方阵A为多项式变量，返回多项式值。

1.2.7 矩阵转置

运算符：′

运算规则：若矩阵A的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同。

若A为复数矩阵，则A转置后的元素由A对应元素的共轭复数构成。

若仅希望转置，则用如下命令：A.′。

1.2.8 方阵的行列式

函数 det

17 MATLAB6.0数学手册 格式 d = det(X) %返回方阵X的多项式的值 例1-42

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> D=det(A)

D = 0

1.2.9 逆与伪逆

命令 逆

函数 inv

格式 Y=inv(X) %求方阵X的逆矩阵。若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。

?1?例1-43 求A??2?3?2243??1?的逆矩阵 3??方法一

>>A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3];

>>Y=inv(A)或Y=A^(-1) 则结果显示为 Y =

1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000

?123100???方法二：由增广矩阵B??221010?进行初等行变换

?343001???>>B=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 2, 2, 1, 0, 1, 0; 3, 4, 3, 0, 0, 1]； >>C=rref(B) %化行最简形

>>X=C(:, 4:6) %取矩阵C中的A^(-1)部分 显示结果如下： C =

1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000 0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 X =

1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000

例1-44

>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]；

>> format rat %用有理格式输出 >> D=inv(A)

D =

1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1/3 0

18 第1章 矩阵及其基本运算

命令 伪逆

函数 pinv

格式 B = pinv(A) %求矩阵A的伪逆

B = pinv(A, tol) %tol为误差：max(size(A))*norm(A)*eps

说明 当矩阵为长方阵时，方程AX=I和XA=I至少有一个无解，这时A的伪逆能在某种程度上代表矩阵的逆，若A为非奇异矩阵，则pinv(A) = inv(A)。

例1-45

>> A=magic(5); %产生5阶魔方阵。

>> A=A(:,1:4) %取5阶魔方阵的前4列元素构成矩阵A。

A =

17 24 1 8 23 5 7 14 4 6 13 20 10 12 19 21 11 18 25 2 >> X=pinv(A) %计算A的伪逆

X =

-0.0041 0.0527 -0.0222 -0.0132 0.0069 0.0437 -0.0363 0.0040 0.0033 0.0038 -0.0305 0.0027 -0.0004 0.0068 0.0355 0.0060 -0.0041 0.0314 0.0211 -0.0315

1.2.10 矩阵的迹

函数 trace

格式 b=trace (A) %返回矩阵A的迹，即A的对角线元素之和。

1.2.11 矩阵和向量的范数

命令 向量的范数 函数 norm

格式 n = norm(X) %X为向量，求欧几里德范数，即||X||2??|xk|2。

n = norm(X,inf) %求?-范数，即||X||?max(abs(X))。 n = norm(X,1) %求1-范数，即||X||1??|xk|。

kn = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即||X||?min(abs(X))。 n = norm(X, p) %求p-范数，即||X||p?命令 矩阵的范数

函数 norm

格式 n = norm(A) %A为矩阵，求欧几里德范数||A||2，等于A的最大奇异值。

n = norm(A,1) %求A的列范数||A||1，等于A的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数||A||2，和norm(A)相同。

n = norm(A,inf) %求行范数||A||?，等于A的行向量的1-范数的最大值

pp ?|xk|，所以norm(X,2) = norm(X)。k

19 MATLAB6.0数学手册 即：max(sum(abs(A')))。

n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数||A||F???|aij|2，

ij即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。

命令 范数的估计值

函数 normest

格式 nrm = normest(A) %矩阵A的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误

差小于106。

nrm = normest(A,tol) %tol为指定相对误差

[nrm,count] = normest(?) %count给出计算估计值的迭代次数

1.2.12 条件数

命令 矩阵的条件数

函数 cond

格式 c = cond(X) %求X的2-范数的条件数，即X的最大奇异值和最小奇异值的商。

c = cond(X,p) %求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、inf或者’fro’。

说明 线性方程组AX=b的条件数是一个大于或者等于1的实数，用来衡量关于数据中的扰动，也就是A/或b对解X的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定义为：cond(A)|A||||A?1||

命令 1-范数的条件数估计

函数 condest

格式 c = condest (A) %方阵A的1-范数的条件数的下界估值。

[c,v] = condest (A) %v为向量，满足||Av||?=norm(A,1)*norm(v,1)/c。

[c,v] = condest (A,t) %求上面的c和v，同时显示出关于计算的步骤信息。如果

t=1，则计算的每步都显示出来；如果t=-1，则给出商

c/rcond(A)。

命令 矩阵可逆的条件数估值 函数 rcond

格式 c = rcond(A) %对于差条件矩阵A来说，给出一个接近于0的数；对于好条件

矩阵A，则给出一个接近于1的数。

命令 特征值的条件数 函数 condeig

格式 c = condeig(A) %返回矩阵A的特征值的条件数

[V,D,c] = condeig(A) %D为A的特征值对角阵，V为A的特征向量。

||A||?||v||，即norm(A*v,1) c1.2.13 矩阵的秩

函数 rank

格式 k = rank (A) %求矩阵A的秩

20

第1章 矩阵及其基本运算

k = rank (A,tol) %tol为给定误差

1.2.14 特殊运算

1．矩阵对角线元素的抽取

函数 diag

格式 X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，

v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。

X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。

v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。

v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。

例1-46

>> v=[1 2 3]; >> x=diag(v,-1)

x =

0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> v=diag(A,1)

v = 2 6

2．上三角阵和下三角阵的抽取

函数 tril %取下三角部分

格式 L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L

L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0

为主对角线以上；k<0为主对角线以下。

函数 triu %取上三角部分

格式 U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U

U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0

为主对角线以上；k<0为主对角线以下。

例1-47

>> A=ones(4) %产生4阶全1阵

A =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

21 MATLAB6.0数学手册 1 1 1 1 >> L=tril(A,1) %取下三角部分

L =

1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

>> U=triu(A,-1) %取上三角部分

U =

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1

3．矩阵的变维

矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维

例1-48

> A=[1 2 3 4 5 6;6 7 8 9 0 1]

A =

1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 0 1 >> B=ones(3,4)

B =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> B(:)=A(:)

B =

1 7 4 0 6 3 9 6 2 8 5 1

（2）Reshape函数变维

格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B

B = reshape(A,m,n,p,?) %将矩阵A变维为m×n×p×…

B = reshape(A,[m n p?]) %同上

B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数

相同。

例1-49 矩阵变维

>> a=[1:12];

>> b=reshape(a,2,6)

b =

1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12

4．矩阵的变向 （1）矩阵旋转 函数

格式 B = rot90 (A) %将矩阵A逆时针方向旋转90°

22 第1章 矩阵及其基本运算

B = rot90 (A,k) %将矩阵A逆时针方向旋转(k×90°)，k可取正负整数。

例1-50

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> Y1=rot90(A),Y2=rot90(A,-1)

Y1 = %逆时针方向旋转 3 6 9 2 5 8 1 4 7

Y2 = %顺时针方向旋转 7 4 1 8 5 2 9 6 3

（2）矩阵的左右翻转

函数 fliplr

格式 B = fliplr(A) %将矩阵A左右翻转 （3）矩阵的上下翻转

函数 flipud

格式 B = flipud(A) %将矩阵A上下翻转 例1-51

>> A=[1 2 3;4 5 6]

A =

1 2 3 4 5 6

>> B1=fliplr(A),B2=flipud(A)

B1 =

3 2 1 6 5 4 B2 =

4 5 6 1 2 3

（4）按指定维数翻转矩阵

函数 flipdim

格式 B = flipdim(A,dim) % flipdim(A,1) = flipud(A)，并且flipdim(A,2)=fliplr(A)。 例1-52

>> A=[1 2 3;4 5 6]

A =

1 2 3 4 5 6

>> B1=flipdim(A,1),B2=flipdim(A,2)

B1 =

4 5 6 1 2 3 B2 =

3 2 1 6 5 4

23 MATLAB6.0数学手册 （5）复制和平铺矩阵

函数 repmat

格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。

B = repmat(A,[m n]) %与上面一致

B = repmat(A,[m n p?]) %B由m×n×p×?个A块平铺而成

repmat(A,m,n) %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的

m×n矩阵。

例1-53

>> A=[1 2;5 6]

A =

1 2 5 6 >> B=repmat(A,3,4)

B =

1 2 1 2 1 2 1 2 5 6 5 6 5 6 5 6 1 2 1 2 1 2 1 2 5 6 5 6 5 6 5 6 1 2 1 2 1 2 1 2 5 6 5 6 5 6 5 6

5．矩阵的比较关系

矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较，若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置为1，否则置0。

MATLAB的各种比较关系运算有见表1-1。

表1-1

运算符 > = = <= 含义 大于关系 等于关系 小于或等于关系 运算符 < >= ~ = 含义 大于关系 大于或等于关系 不等于关系 例1-54

>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8];B=[0 2 1 4;0 7 7 2]; >> C1=A==B, C2=A>=B, C3=A~=B

C1 =

0 1 0 1 0 0 1 0 C2 =

1 1 1 1 1 0 1 1 C3 =

1 0 1 0 1 1 0 1

6．矩阵元素的数据变换

对于小数构成的矩阵A来说，如果我们想对它取整数，有以下几种方法： （1）按-∞方向取整

函数 floor

格式 floor(A) %将A中元素按-∞方向取整，即取不足整数。

24 第1章 矩阵及其基本运算

（2）按+∞方向取整

函数 ceil

格式 ceil(A) %将A中元素按+∞方向取整，即取过剩整数。 （3）四舍五入取整

函数 round

格式 round (A) %将A中元素按最近的整数取整，即四舍五入取整。 （4）按离0近的方向取整

函数 fix

格式 fix (A) %将A中元素按离0近的方向取整 例1-55

>> A=-1.5+4*rand(3)

A =

2.3005 0.4439 0.3259 -0.5754 2.0652 -1.4260 0.9274 1.5484 1.7856

>> B1=floor(A),B2=ceil(A),B3=round(A),B4=fix(A)

B1 =

2 0 0 -1 2 -2 0 1 1 B2 =

3 1 1 0 3 -1 1 2 2 B3 =

2 0 0 -1 2 -1 1 2 2 B4 =

2 0 0 0 2 -1 0 1 1

（5）矩阵的有理数形式

函数 rat

格式 [n,d]=rat (A) %将A表示为两个整数矩阵相除，即A=n./d。 例1-56 对于上例中的A

>> [n,d]=rat(A)

n =

444 95 131 -225 2059 -472 166 48 1491

d =

193 214 402 391 997 331 179 31 835

（6）矩阵元素的余数

函数 rem

格式 C = rem (A, x) %表示A矩阵除以模数x后的余数。若x=0，则定义rem(A,

25

MATLAB6.0数学手册 0)=NaN，若x≠0，则整数部分由fix(A./x)表示，余数C=A-x.*fix (A./x)。允许模x为小数。

7．矩阵逻辑运算

设矩阵A和B都是m×n矩阵或其中之一为标量，在MATLAB中定义了如下的逻辑运算：

（1）矩阵的与运算

格式 A&B或and(A, B)

说明 A与B对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。 （2）或运算

格式 A|B或or(A, B)

说明 A与B对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。 （3）非运算

格式 ~A或not (A)

说明 若A的元素为0，则结果元素为1，否则为0。 （4）异或运算 格式 xor (A,B)

说明 A与B对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果为0，否则为1。

例1-57

>> A=[0 2 3 4;1 3 5 0],B=[1 0 5 3;1 5 0 5]

A =

0 2 3 4 1 3 5 0 B =

1 0 5 3 1 5 0 5

>> C1=A&B,C2=A|B,C3=~A,C4=xor(A,B)

C1 =

0 0 1 1 1 1 0 0 C2 =

1 1 1 1 1 1 1 1 C3 =

1 0 0 0 0 0 0 1 C4 =

1 1 0 0 0 0 1 1

1.2.15 符号矩阵运算

1．符号矩阵的四则运算

Matlab 6.x 抛弃了在4.2版中为符号矩阵设计的复杂函数形式，把符号矩阵的四则运算简化为与数值矩阵完全相同的运算方式，其运算符为：加（＋）、减（－）、乘（3）、除（/、\\）等或：符号矩阵的和（symadd）、差（symsub）、乘 (symmul)。

26 第1章 矩阵及其基本运算

例1-58 >>A?sym(?[1/x,1/(x?1);1/(x?2),1/(x?3)]?);

>>B?sym(?[x,1;x?2,0]?)； >>C=B-A >>D=a\\b

则显示：

C=

x-1/x 1-1/(x+1)

x+2-1/(x+2) -1/(x+3) D=

-6*x-2*x^3-7*x^2 1/2*x^3+x+3/2*x^2

6+2*x^3+10*x^2+14*x -2*x^2-3/2*x-1/2*x^3

2．其他基本运算

符号矩阵的其他一些基本运算包括转置（'）、行列式（det）、逆（inv）、秩（rank）、幂（^）和指数（exp和expm）等都与数值矩阵相同

3．将数值矩阵转化为符号矩阵

函数 sym

格式 B=sym(A) %将A转化为符号矩阵B 例1-59

>> A=[2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3)]

A =

0.6667 1.4142 0.2220 1.4000 4.3478 1.0986 >> B=sym(A)

B =

[ 2/3, sqrt(2), 111/500] [ 7/5, 100/23, 4947709893870346*2^(-52)]

4．符号矩阵的索引与修改

符号矩阵的索引与修改同数值矩阵的索引与修改完全相同，即用矩阵的坐标括号表达式实现。

例1-60 对上例中的矩阵B

>> B(2,3) %矩阵的索引

ans =

4947709893870346*2^(-52)

>> B(2,3)='log(7)' %矩阵的修改

B =

[ 2/3, sqrt(2), 111/500] [ 7/5, 100/23, log(7)]

5．符号矩阵的简化

符号工具箱中提供了符号矩阵因式分解、展开、合并、简化及通分等符号操作函数。 （1）因式分解

函数 factor

格式 factor(s) %符号表达式s的因式分解函数

说明 S为符号矩阵或符号表达式，常用于多项式的因式分解。

9

例1-61 将x -1分解因式 在Matlab命令窗口键入：

syms x

factor(x^9-1)

27 MATLAB6.0数学手册 则显示：ans =

(x-1)*(x^2+x+1)*(x6+x^3+1)

?(1??)x1?2x2?4x3?0?例1-62 问“入”取何值时，齐次方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非0解？

??x1?x2?(1??)x3?0解：在Matlab编辑器中建立M文件：

syms k

A=[1-k -2 4;2 3-k 1;1 1 1-k]; D=det(A)

factor(D)

其结果显示如下：

D =

-6*k+5*k^2-k^3 ans =

-k*(k-2)*(-3+k)

从而得到：当k=0、k=2或k=3时，原方程组有非0解。 （2）符号矩阵的展开

函数 expand

格式：expand(s) %符号表达式s的展开函数

说明：s为符号矩阵或表达式。常用在多项式的因式分解中，也常用于三角函数，指数函数和对数函数的展开中。

例1-63 将(x+1)3、sin(x+y)展开 在Matlab编辑器中建立M文件：

syms x y

p=expand((x+1)^3) q=expand(sin(x+y))

则结果显示为

p =

x^3+3*x^2+3*x+1 q =

sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)

（3）同类式合并

函数 Collect

格式 Collect(s,v) %将s中的变量v的同幂项系数合并

Collect(s) % s是矩阵或表达式，此命令对由命令findsym函数返回的默认变

量进行同类项合并。 （4）符号简化

函数 simple或simplify %寻找符号矩阵或符号表达式的最简型 格式 simple (s) % s是矩阵或表达式

[R,how]=simple (s) %R为返回的最简形，how为简化过程中使用的主要方法。 说明 Simple(s)将表达式s的长度化到最短。若还想让表达式更加精美，可使用函数Pretty。

格式 Pretty(s) %使表达式s更加精美

28 第1章 矩阵及其基本运算

11bb2b41cc2c41dd2d4例1-64 计算行列式

aa2a4的值。

在Matlab编辑器中建立M文件：

syms a b c d

A=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4]; d1=det(A)

d2=simple(d1) %化简表达式d1

pretty(d2) %让表达式d2符合人们的书写习惯 则显示结果如下： d1 =

b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+a^4*b^2*c d2 =

(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b) (-d+c)(b-d)(b-c)(-d+a)(a-c)(a-b)(a+c+d+b)

1.2.16 矩阵元素个数的确定

函数 numel

格式 n = numel(a) %计算矩阵A中元素的个数 例1-65

>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8]; >> n=numel(A)

n = 8

1.3 矩阵分解

1.3.1 Cholesky分解

函数 chol

格式 R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角

阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。

[R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；

若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。

例1-66

>> X=pascal(4) %产生4阶pascal矩阵

X =

1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 >> [R,p]=chol(X)

R =

29 MATLAB6.0数学手册 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1 p = 0

1.3.2 LU分解

矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

函数 lu

格式 [L,U] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。

[L,U,P] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，

满足LU=PX。

例1-67

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> [L,U]=lu(A)

L =

0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U =

7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000 >> [L,U,P]=lu(A)

L =

1.0000 0 0 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 U =

7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000 P =

0 0 1 1 0 0 0 1 0

1.3.3 QR分解

将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。

函数 qr

格式 [Q,R] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。

[Q,R,E] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，

R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。 [Q,R] = qr(A,0) %产生矩阵A的“经济大小”分解

[Q,R,E] = qr(A,0) %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。 R = qr(A) %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R =

30

第1章 矩阵及其基本运算

A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。

[C,R] = qr(A,b) %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] =

qr(A,b)，x = R\\c。

R = qr(A,0) %针对稀疏矩阵A的经济型分解

[C,R] = qr(A,b,0) %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解

例1-68

>>A =[ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; >>[Q,R] = qr(A)

Q =

-0.0776 -0.8331 0.5444 0.0605 -0.3105 -0.4512 -0.7709 0.3251 -0.5433 -0.0694 -0.0913 -0.8317 -0.7762 0.3124 0.3178 0.4461 R =

-12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 0.0000 0 0 0

函数 qrdelete

格式 [Q,R] = qrdelete(Q,R,j) %返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解 例1-69

>> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25]; >> [Q,R]=qr(A)

Q =

-0.2671 -0.7088 0.6529 0.9625 -0.1621 0.2176 -0.0484 0.6865 0.7255 R =

557.9418 187.0321 567.8424 0 0.0741 3.4577 0 0 0.1451

>> [Q,R]=qrdelete(Q,R,3) %将A的第3列去掉后进行qr分解。

Q =

-0.2671 -0.7088 0.6529 0.9625 -0.1621 0.2176 -0.0484 0.6865 0.7255 R =

557.9418 187.0321 0 0.0741 0 0

函数 qrinsert

格式 [Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x) %在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分

解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x。

例1-70

>> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25];

>> x=[35 10 7]';

>> [Q,R]=qrinsert(Q,R,4,x)

Q =

-0.2671 -0.7088 0.6529

31 MATLAB6.0数学手册 0.9625 -0.1621 0.2176 -0.0484 0.6865 0.7255 R =

557.9418 187.0321 567.8424 -0.0609 0 0.0741 3.4577 -21.6229 0 0 0.1451 30.1073

1.3.4 Schur分解

函数 schur

格式 T = schur(A) %产生schur矩阵T，即T的主对角线元素为特征值的三角阵。

T = schur(A,flag) %若A有复特征根，则flag='complex'，否则flag='real'。

[U,T] = schur(A,?) %返回正交矩阵U和schur矩阵T，满足A = U*T*U'。

例1-71

>> H = [ -149 -50 -154; 537 180 546; -27 -9 -25 ]; >> [U,T]=schur(H)

U =

0.3162 -0.6529 0.6882 -0.9487 -0.2176 0.2294 0.0000 0.7255 0.6882 T =

1.0000 -7.1119 -815.8706 0 2.0000 -55.0236 0 0 3.0000

1.3.5 实Schur分解转化成复Schur分解

函数 rsf2csf

格式 [U,T] = rsf2csf (U,T) %将实舒尔形式转化成复舒尔形式 例1-72

>> A=[1 1 1 3;1 2 1 1;1 1 3 1;-2 1 1 4]; >> [u,t]=schur (A)

u =

-0.4916 -0.4900 -0.6331 -0.3428 -0.4980 0.2403 -0.2325 0.8001 -0.6751 0.4288 0.4230 -0.4260 -0.2337 -0.7200 0.6052 0.2466 t =

4.8121 1.1972 -2.2273 -1.0067 0 1.9202 -3.0485 -1.8381 0 0.7129 1.9202 0.2566 0 0 0 1.3474 >> [U,T]=rsf2csf (u,t)

U =

-0.4916 -0.2756 - 0.4411i 0.2133 + 0.5699i -0.3428 -0.4980 -0.1012 + 0.2163i -0.1046 + 0.2093i 0.8001 -0.6751 0.1842 + 0.3860i -0.1867 - 0.3808i -0.4260 -0.2337 0.2635 - 0.6481i 0.3134 - 0.5448i 0.2466 T =

4.8121 -0.9697 + 1.0778i -0.5212 + 2.0051i -1.0067 0 1.9202 + 1.4742i 2.3355 0.1117 + 1.6547i 0 0 1.9202 - 1.4742i 0.8002 + 0.2310i

0 0 0 1.3474

32 第1章 矩阵及其基本运算

1.3.6 特征值分解

函数 eig

格式 d = eig(A) %求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。

d = eig(A,B) %A、B为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。 [V,D] = eig(A) %计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立。 [V,D] = eig(A,'nobalance') %当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，

该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。 [V,D] = eig(A,B) %计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足

AV=BVD。

[V,D] = eig(A,B,flag) % 由flag指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的

可能值为：'chol' 表示对B使用Cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。'qz' 表示使用QZ

算法，这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。

说明 一般特征值问题是求解方程：Ax??x解的问题。广义特征值问题是求方程：

Ax??Bx解的问题。

1.3.7 奇异值分解

函数 svd

格式 s = svd (X) %返回矩阵X的奇异值向量

[U,S,V] = svd (X) %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，

且满足= U*S*V'。若A为m3n阵，则U为m3m阵，V

为n3n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

[U,S,V] = svd (X,0) %得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n3n。

例1-73

>> A=[1 2;3 4;5 6;7 8]; >> [U,S,V]=svd(A)

U =

-0.1525 -0.8226 -0.3945 -0.3800 -0.3499 -0.4214 0.2428 0.8007 -0.5474 -0.0201 0.6979 -0.4614 -0.7448 0.3812 -0.5462 0.0407 S =

14.2691 0 0 0.6268 0 0 0 0 V =

-0.6414 0.7672 -0.7672 -0.6414 >> [U,S,V]=svd(A,0)

U =

-0.1525 -0.8226 -0.3499 -0.4214

33 MATLAB6.0数学手册 -0.5474 -0.0201 -0.7448 0.3812 S =

14.2691 0 0 0.6268 V =

-0.6414 0.7672 -0.7672 -0.6414

1.3.8 广义奇异值分解

函数 gsvd 格式 [U,V,X,C,S] = gsvd(A,B) %返回酉矩阵U和V、一个普通方阵X、非负对角矩

阵C和S，满足A = U*C*X'，B = V*S*X'，C'*C + S'*S

= I (I为单位矩阵)；A和B的列数必须相同，行数可

以不同。

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0) %含义与前面相似

sigma = gsvd (A,B) %返回广义奇异值sigma

例1-74

>> A=reshape(1:12,3,4) %产生3行4列矩阵，元素由1，2，?，12构成。

A =

1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12

>> B=magic(4) %产生4阶魔方阵

B =

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 >> [U,V,X,C,S]=gsvd(A,B)

U =

0.4082 0.7071 0.5774 -0.8165 0.0000 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 V =

0.2607 -0.7950 -0.5000 0.2236 -0.4029 0.3710 -0.5000 0.6708 -0.5452 -0.0530 -0.5000 -0.6708 0.6874 0.4770 -0.5000 -0.2236 X =

0 -9.4340 -17.0587 3.4641 1.8962 8.7980 -17.0587 8.6603 3.7924 8.1620 -17.0587 13.8564 -5.6885 -7.5260 -17.0587 19.0526 C =

0 0.0000 0 0 0 0 0.0829 0 0 0 0 1.0000 S =

1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0

34 第1章 矩阵及其基本运算

0 0 0.9966 0 0 0 0 0.0000

1.3.9 特征值问题的QZ分解

函数 qz

格式 [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B) %A、B为方阵，产生上三角阵AA和BB，正

交矩阵Q、Z或其列变换形式，V为特征向量

阵。且满足：Q*A*Z= AA 和Q*B*Z = BB。

[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B,flag) %产生由flag决定的分解结果，flag取值为：

'complex'：表示复数分解（默认），取值为'real'：表示实数分解。

1.3.10 海森伯格形式的分解

如果矩阵H的第一子对角线下元素都是0，则H为海森伯格(Hessenberg)矩阵。如果矩阵是对称矩阵，则它的海森伯格形式是对角三角阵。MATLAB可以通过相似变换将矩阵变换成这种形式。

函数 hess

格式 H = hess(A) %返回矩阵A的海森伯格形式

[P,H] = hess(A) %P为酉矩阵，满足：A = PHP' 且P'P = eye(size(A))。

例1-75

>> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25]; >> [P,H]=hess(A)

P =

1.0000 0 0 0 -0.9987 0.0502 0 0.0502 0.9987 H =

-149.0000 42.2037 -156.3165 -537.6783 152.5511 -554.9272 0 0.0728 2.4489

H的第一子对角元素是H(3,1)=0。

1.4 线性方程的组的求解

我们将线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解，另一类是方程组求无穷解即通解。可以通过系数矩阵的秩来判断：

若系数矩阵的秩r=n（n为方程组中未知变量的个数），则有唯一解；

若系数矩阵的秩r

线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。

1.4.1 求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）

这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；另一类是解大

35

MATLAB6.0数学手册 型稀疏矩阵 —— 迭代法。

1．利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）

方程：AX=b 解法：X=A\\b

?5x1?6x2?x1?5x2?6x3?例1-76 求方程组?x2?5x3?6x4?1?0?0的解。 ??x3?5x4?6x5?0?x4?5x5?1解：

>>A=[5 6 0 0 0

1 5 6 0 0

0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5];

B=[1 0 0 0 1]';

R_A=rank(A) %求秩 X=A\\B %求解

运行后结果如下

R_A = 5 X =

2.2662 -1.7218 1.0571 -0.5940 0.3188

这就是方程组的解。 或用函数rref求解：

>> C=[A,B] %由系数矩阵和常数列构成增广矩阵C >> R=rref(C) %将C化成行最简行

R =

1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 则R的最后一列元素就是所求之解。

?x1?x2?3x3?x4例1-77 求方程组??1?3x1?x2?3x3?4x4?4的一个特解。??x1?5x2?9x3?8x4?0解：

>>A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];

>>B=[1 4 0]';

>>X=A\\B %由于系数矩阵不满秩，该解法可能存在误差。

X =[ 0 0 -0.5333 0.6000]’（一个特解近似值）。

若用rref求解，则比较精确：

36 2.2662 -1.7218 1.0571 -0.5940 0.3188

第1章 矩阵及其基本运算

>> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];

B=[1 4 0]';

>> C=[A,B]; %构成增广矩阵 >> R=rref(C)

R =

1.0000 0 -1.5000 0.7500 1.2500 0 1.0000 -1.5000 -1.7500 -0.2500 0 0 0 0 0

由此得解向量X=[1.2500 – 0.2500 0 0]’（一个特解）。 2．利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 （1）LU分解：

LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。

则：A*X=b 变成L*U*X=b

所以X=U\\(L\\b) 这样可以大大提高运算速度。 命令 [L，U]=lu (A) 例1-78 解：

2?1??4??A??3?12?b?[2,10,8]?

?1130???>>A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; >>B=[2 10 8]'; >>D=det(A) >>[L,U]=lu(A) >>X=U\\(L\\B)

?4x1?2x2?x3?2求方程组??3x1?x2?2x3?10?11x?3x?812?的一个特解。

显示结果如下：

D =

0 L =

0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0 U =

11.0000 3.0000 0 0 -1.8182 2.0000 0 0 0.0000

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e-017. > In D:\\Matlab\\pujun\\lx0720.m at line 4 X =

1.0e+016 * -0.4053 1.4862 1.3511

说明 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。可以通过A*X验证其正确性。

37 MATLAB6.0数学手册 （2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：A?R??R 其中R为上三角阵。

方程 A*X=b 变成 R??R*X?b 所以 X?R\\(R?\\b) （3）QR分解

对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR

方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\\(Q\\b) 上例中 [Q, R]=qr(A)

X=R\\(Q\\B)

说明 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。

1.4.2 求线性齐次方程组的通解

在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A2X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。

格式 z = null % z的列向量为方程组的正交规范基，满足Z??Z?I。

z?null(A,?r?) % z的列向量是方程AX=0的有理基

?x1?2x2?2x3?x4?0?例1-79 求解方程组的通解：?2x1?x2?2x3?2x4?0

??x1?x2?4x3?3x4?0解：

>>A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];

>>format rat %指定有理式格式输出 >>B=null(A,'r') %求解空间的有理基

运行后显示结果如下：

B =

2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1

或通过行最简行得到基：

>> B=rref(A)

B =

1.0000 0 -2.0000 -1.6667 0 1.0000 2.0000 1.3333 0 0 0 0

即可写出其基础解系（与上面结果一致）。 写出通解：

syms k1 k2

38 第1章 矩阵及其基本运算

X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解 pretty(X) %让通解表达式更加精美

运行后结果如下：

X =

[ 2*k1+5/3*k2] [ -2*k1-4/3*k2] [ k1] [ % k2]

下面是其简化形式 [2k1 + 5/3k2 ] [ ] [-2k1 - 4/3k2]

[ ] [ k1 ] [ ] [ k2 ]

1.4.3 求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。因此，步骤为：

第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步 第二步：求AX=b的一个特解 第三步：求AX=0的通解

第四步：AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个特解。

?x1?2x2?3x3?x4?1例1-80 求解方程组??3x1?x2?5x3?3x4?2

??2x1?x2?2x3?2x4?3解：在Matlab中建立M文件如下：

A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];

b=[1 2 3]'; B=[A b]; n=4;

R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat

if R_A==R_B&R_A==n %判断有唯一解 X=A\\b

elseif R_A==R_B&R_A

C=null(A,'r') %求AX=0的基础解系 else X='equition no solve' %判断无解 end

运行后结果显示：

R_A =

2 R_B =

3 X =

equition no solve

39 MATLAB6.0数学手册 说明 该方程组无解

?x1?x2?3x3?x4?1?例1-81 求解方程组的通解：?3x1?x2?3x3?4x4?4

??x1?5x2?9x3?8x4?0解法一：在Matlab编辑器中建立M文件如下：

A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];

b=[1 4 0]'; B=[A b]; n=4;

R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat

if R_A==R_B&R_A==n X=A\\b

elseif R_A==R_B&R_A

C=null(A,'r')

else X='Equation has no solves' end

运行后结果显示为：

R_A = 2 R_B = 2

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 8.8373e-015. > In D:\\Matlab\\pujun\\lx0723.m at line 11 X =

0 0 -8/15 3/5 C =

3/2 -3/4 3/2 7/4 1 0 0 1

?3/2???3/4??0???????3/27/40?+k2??+?? 所以原方程组的通解为X=k1??1??0???8/15????????0??1??3/5?解法二：用rref求解

A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];

b=[1 4 0]'; B=[A b];

C=rref(B) %求增广矩阵的行最简形，可得最简同解方程组。

运行后结果显示为：

C =

1 0 -3/2 3/4 5/4 0 1 -3/2 -7/4 -1/4

0 0 0 0 0

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