高一必修2多媒体教案4.2.2_圆与圆的位置关系 (1)

4.2.2

圆与圆的位置关系

(1).掌握圆和圆的五种位置关系； (2).掌握圆和圆的位置关系中圆心距与半径之间的数 量关系； (3).会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程。

圆与圆的位置关系 :圆和圆外离 圆和圆外切

设两圆圆心距离为d,半 径分别为r1,r2 交点个数

C1

C2

d r1 r2

C1

C2

d r1 r2| r1 r2 | d r1 r2

圆和圆相交 圆和圆内切

C1

C2

C1

C2

d | r1 r2 |d< | r1 r2 |

圆和圆内含

C1 C2

二. 两圆位置关系的判断2 2 2 2 与圆 已知圆 C1 : ( x a)2 ( y b)2 r C : ( x c ) ( y d ) r 2 2 1

(1)平面几何法判断圆与圆的位置关系公式：

它们的位置关系有两种判断方法：第一步：计算两圆的半径r1,r2; 第二步：计算两圆的圆心距d; 第三步：根据d与r1,r2之间的关系，判断两圆的位置 关系 两圆外离：r1+r2<d; 两圆内切：|r1-r2|=d; 两圆外切：r1+r2=d; 两圆内含：|r1-r2|>d.

两圆相交：|r1-r2|<d<r1+r2;

(2)利用代数方法判断

( x a)2 ( y b) 2 r12 将两个圆方程联立,得 2 2 2 ( x c ) ( y d ) r 2消去其中的一个未知数y或x,得关于x或y的一元二次方程. (1)当Δ =0时，有一个交点，两圆内切或外切 (2)当Δ <0时，没有交点，两圆内含或相离 (3)当Δ >0时，有两个交点，两圆相交 思考：两种方法的优缺点 几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ =0,Δ <0 时，不能判断圆的

确切的位置关系。

探究： 如图所示，

y A

圆

C1 : x2 y2 2x 3 y 1 0

与圆 C2 : x2 y 2 4x 3 y 2 0 相交于A,B两点， 如何求公共弦的方程？

c2O B

x

c1

方法一： 将两圆方程联立，求出两个交点的坐标，利用两 点间的距离公式求得弦长。 方法二： 先来探究一般情形.2 2

已知圆 C1 : x y D1x E1 y F 1 0与圆 C2 : x2 y 2 D2 x E2 y F2 0 相交于A,B两点， 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 那么

x12 y12 D1 x1 E1 y1 F1 0, 2 2 x y 1 1 D2 x1 E2 y1 F2 0.

(1) (2)

(1) (2),得( D1 D2 ) x1 ( E1 E2 ) y1 F1 F2 0 (3) (4)

同理可得 (D1 D2 ) x2 (E1 E2 ) y2 F1 F2 0

由(3)(4)可知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 一定在直线

l : ( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0上.显然通过两点的直线只有一条 即直线方程唯一 故公共弦的方程为( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0.

所以前面探究问题可通过 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 得出,

即公共弦的方程为：2x+1=0

导学稿

例2.已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C

2:x2+y2+6x+2y -40=0相交于A、B 两点，求公共弦AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到 一个二元一次方程，此方程 4x+3y=10. 即为公共弦AB 所在的直线方程， 4 x 3 y 10 由 2 2 x y 10 x 10 y 0

x 2 解得 y 6

x 4 或 y 2

所以两点的坐标是A(-2,6)、B(4,-2)故|AB|=

6 8 102 2

解法二：先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10.过C1作C1D⊥AB于D. 圆C1的圆心C1(5,5 ),半径r1= 5 2 ,

| 20 15 10 | 5 则|C1D|= 5所以AB=2|AD|= 2 C1 A2 C1 D 2 10

练习：求过两圆x2+y2+6x–4=0和x2+y2+6y–28=0 的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

解：已知两圆的圆心分别为(-3,0)和(0,-3). 则连心线的方程是x+y+3=0.1 x , x y 3 0, 解得 2 由 x y 4 0 x 7 21 7 ( 所以所求圆的圆心坐标是 , ) 2 2

设所求圆的方程是 x2 y 2 x 7 y m 0 由三个圆有同一条公共弦得m =-32.故所求方程是x2 + y2–x + 7y –32 = 0.

1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是(

C )

(A)相离(C)相交

(B)外切(D)内切

2.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2外切，则r是( B ) (A) 10 (C) 5 (B) 10 2 (D)5

3.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y-3)2=1内切，

则此圆的方程是( D )(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x±4)2+(y-6)2=6 (C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x±4)2+(y-6)2=36

4.圆x2+y2=1和圆(x-1)2+(y-1)2=1的公共弦长 为

2

.

5.若圆：x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by +b2=1外离， a2+b2>3+2 2 则a、b满足的条件是__________________.

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