椭圆典型题型归纳总结

椭圆典型题型归纳

题型一. 定义及其应用

例1：已知一个动圆与圆C:(x?4)2?y2?100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心M的轨迹方程；

练习：

22221.方程(x?3)?y?(x?3)?y?6对应的图形是（ ）

A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆

22222.方程(x?3)?y?(x?3)?y?10对应的图形是（ ）

A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆

22223.方程x?(y?3)?x?(y?3)?10成立的充要条件是（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B.??1 C. ??1 D. ??1 A.

25162591625925224.如果方程x?(y?m)?x2?(y?m)2?m?1表示椭圆，则m的取值范围是 5.过椭圆9x2?4y2?1的一个焦点F则A,B两点与椭圆的另一个焦点F21的直线与椭圆相交于A,B两点，构成的?ABF2的周长等于 ；

6.设圆(x?1)2?y2?25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为 ；

题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线

x2y2??1的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 例1.方程

1625（二）分情况求椭圆的方程

例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；

（三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P求椭圆的方程； 1(6,1)、P2(?3,?2)，

例4.求经过点(2,?3)且与椭圆9x2?4y2?36有共同焦点的椭圆方程；

（四）定义法求轨迹方程；

,0),(C1,0)，求满足b?a?c且b,a,c成等例5.在?ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B(?1差数列时顶点A的轨迹；

练习：

1、动圆P与圆C1:(x?4)?y?81内切与圆C2:(x?4)?y?1外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。 2、已知动圆C过点A(?2,0)，且与圆C2:(x?2)2?y2?64相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；

（五）相关点法求轨迹方程；

2222x2?y2?1上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程； 例6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆4

第1页

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2?2y2?4交于A,B两点，点P是直线l上满足PA?PB?1的点，求点P的轨迹方程；

（七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线y?3x?2截得的弦的中点的横坐标为的方程；

1，求此椭圆2题型三.焦点三角形问题

椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；

22椭圆x?y?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)和焦点F1(?c,0)，F2(c,0)为顶点的?PFF中，?FPF，则12??1222ab当P为短轴端点时?最大，且 ①PF1?PF2?2a； ②4c2?PF12?PF22?2PF1PF2cos?；

2③S?PFF?1PF1PF2sin?=b2?tan?。（b短轴长）

122225xy例：知椭圆??1上一点P的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F1，求

31625PF1、PF2及

cos?F1PF2；

练习：

x2y21、椭圆??1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1?4，则PF2? ；

92?F1PF2的大小为 ；

x2y2??1上的一点，F1和F2为左右焦点，若?F1PF2?60。 2、P是椭圆

259（1）求?F（2）求点P的坐标。 1PF2的面积；

题型四.椭圆的几何性质

5x2y2例1.已知P是椭圆2?2?1上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距

3ab为c，则PF1?PF2的最大值与最小值之差为

x2y2例2.椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭

ab圆的离心率为 ；

1x2y2??1的离心率为，则k? ； 例3.若椭圆

2k?14 第2页

x2y20例4.若P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，且?PFF1、F2为其两个焦点，?PF2F1?750，1F2?15，

ab则椭圆的离心率为

题型五.求范围

x2y2例1.方程2??1焦点在x轴的椭圆，求实数m的取值范围； 2m(m?1)

题型六.求离心率

x2y2例1. 椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?c,0)，A(?a,0)，B(0,b)是两个顶点，如果F1到直

abb线AB的距离为，则椭圆的离心率e?

7x2y2例2.若P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且?PF1F2??，?PF2F1?2?，

ab则椭圆的离心率为

例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1?PQ，且PF1?PQ，则椭圆的离心率为 ；

练习

x2y21、（2010南京二模）以椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准

ab线交于A、B两点，已知?OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；

x2y202、已知A B C分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点、上顶点、和左焦点，若?ABC?90，则

ab该椭圆的离心率为 ；

x2y23a3、（2012年新课标）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,P为直线x?上一

2abE的离心率为 （ ） 点,?F2PF1是底角为30的等腰三角形,则

12??A． B． C． D．

23??

x2y24、椭圆2?2?1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等

ab比数列,则此椭圆的离心率为______

题型七.直线与椭圆的关系

（1）直线与椭圆的位置关系

例1. 当m为何值时，直线l:y?x?m与椭圆9x?16y?144相切、相交、相离？

222例2.曲线2x?y?2a（a?0）与连结A(?1,1)，B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。

22 第3页

例3.过点P(?3, 0)作直线l与椭圆3x2?4y2?12相交于A,B两点，O为坐标原点，求?OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

yAPBOx?例4.求直线xcos??ysin??2(0????)和椭圆x2?3y2?6有公共点时，的取值范围

（二）弦长问题

例1.已知椭圆x2?2y2?12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为

413，求点A的坐标。 3

例2.椭圆ax2?by2?1与直线x?y?1相交于A,B两点，C是AB的中点， 若|AB|?22，O为坐标原点，OC的斜率为

2，求a,b的值。 2x2y2??1的焦点分别是F1和F2，例3.椭圆过中心O作直线与椭圆交于A,B两点，若?ABF2的面积是452020，求直线方程。

（三）弦所在直线方程

x2y2??1，过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P； 例1.已知椭圆

164

例2.已知一直线与椭圆4x2?9y2?36相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程；

例3. 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e?2,过点C(?1,0)的直线l与椭圆E相交于A,B3两点，且C分有向线段AB的比为

（1）用直线l的斜率k(k?0)表示?OAB的面积； （2）当?OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

第4页

（四）关于直线对称问题

x2y2??1，例1.已知椭圆试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y?4x?m对称； 43

例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率e?圆交于不同两点A,B，且线段AB恰被直线x??存在，请说明理由。

题型八.最值问题

22，试问是否存在直线l，使l与椭31平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不2x2y2??1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP?MF2的最大值和例1．若P(?2,3)，F2为椭圆

2516最小值。

M1 F1 F2 M2 x2y2结论1：设椭圆2?2?1的左右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一

ab点，则MP?MF2的最大值为2a?PF1,最小值为2a?PF1； x2y2??1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP?MF2的最大值和最小例2．P(?2,6),F2为椭圆

2516值。

x2y2结论2设椭圆2?2?1的左右焦点分别为F1,F2，P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一

ab点，则MP?MF2的最大值为2a?PF1，最小值为PF2;

2.二次函数法

第5页

x2y2例3．求定点A(a,0)到椭圆2?2?1上的点之间的最短距离。

ab

x2y2结论3：椭圆2?2?1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公

ab式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范

围。

3.三角函数法

x22例4．求椭圆2?y?1上的点M(x,y)到直线l:x?2y?4的距离的最值；

4

4.判别式法

例4的解决还可以用判别式法

结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

题型九.轨迹问题

例1．到两定点(2,1)，(?2,?2)的距离之和为定值5的点的轨迹是

例2．已知点A(3,0)，点P在圆x2?y2?1的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程。

22例3.已知圆C:(x?3)?y?100及点A(?3,0)，P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。

第6页

椭圆典型题型归纳

题型一. 定义及其应用

2a（ 大于F1F2=2c ）点的集合叫椭圆；椭圆定义：平面内一动点到两定点F1，F2的距离和等于常数

即

P?{M|MF1?MF2注：当时轨迹为椭圆；当时轨迹为线段F1F2；当时无轨迹。

例1：已知一个动圆与圆C:(x?4)2?y2?100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心M的轨迹方程；

练习：

22221.方程(x?3)?y?(x?3)?y?6对应的图形是（ ）

a?c?2a}

a?ca?cA.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆

22222.方程(x?3)?y?(x?3)?y?10对应的图形是（ ）

A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆

22223.方程x?(y?3)?x?(y?3)?10成立的充要条件是（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B.??1 C. ??1 D. ??1 A.

25162591625925

224.如果方程x?(y?m)?x2?(y?m)2?m?1表示椭圆，则m的取值范围是

5.过椭圆9x?4y?1的一个焦点F则A,B两点与椭圆的另一个焦点F21的直线与椭圆相交于A,B两点，构成的?ABF2的周长等于 ；

6.设圆(x?1)?y?25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为 ；

2222题型二. 椭圆的方程

（一）由方程研究曲线

x2y2??1的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；例1.方程（二）1625分情况求椭圆的方程

例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；

（三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P求椭圆的方程； 1(6,1)、P2(?3,?2)，

22例4.求经过点(2,?3)且与椭圆9x?4y?36有共同焦点的椭圆方程；

第7页

x2y2x2y2?2?1(k??b2)； 注：一般地，与椭圆2?2?1共焦点的椭圆可设其方程为2a?kb?kab（四）定义法求轨迹方程； 例5.在?ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B(?1,0),(C1,0)差数列时顶点A的轨迹；

练习1、动圆P与圆C1:(x?4)2?y2?81内切与圆C2:(x?4)2?y2?1外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。

练习2、已知动圆C过点A(?2,0)，且与圆C2:(x?2)2?y2?64相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；

（五）相关点法求轨迹方程；

，求满足b?a?c且b,a,c成等

x2?y2?1上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程； 例6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆4

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2?2y2?4交于A,B两点，点P是直线l上满足PA?PB?1的点，求点P的轨迹方程；

（七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线y?3x?2截得的弦的中点的横坐标为的方程；

1，求此椭圆2题型三.焦点三角形问题

椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；

x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)和焦点F1(?c,0)，F2(c,0)为顶点的?PFF12中，

abP为短轴端点时?最大，且 ?FPF12??，则当

①

PF1?PF2?2a；

②4c2?③S?PFFPF1?2?PF22?2PF1PF2cos?；

12?1PF1PF2sin?=b2?tan。（b短轴长）

225x2y2??1上一点P的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F1，求PF1、PF2及例：知椭圆

31625cos?F1PF2；

练习：

x2y2??1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1?4，则PF2? ；1、（2009北京）椭圆

92?F1PF2的大小为 ；

x2y2??1上的一点，F1和F2是焦点，若?F1PF2?30，则?F1PF2的面积等于 2、P是椭圆

2516

第8页

（ ）

163 (B)4(2?3) (C)16(2?3) (D)16(2-3) 3x2y2??1上的一点，F1和F2为左右焦点，若?F1PF2?60。 3、P是椭圆

259（1）求?F（2）求点P的坐标。 1PF2的面积；

(A)

题型四.椭圆的几何性质

5x2y2例1.已知P是椭圆2?2?1上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距

3ab为c，则PF1PF2的最大值与最小值之差为

x2y2例2.椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭

ab圆的离心率为 ；

1x2y2??1的离心率为，则k? ； 例3.若椭圆

2k?14x2y200例4.若P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，且?PF，，F1、F2为其两个焦点，F?15?PFF?751221ab则椭圆的离心率为

题型五.求范围

x2y2例1.方程2??1焦点在x轴的椭圆，求实数m的取值范围； 2m(m?1)

题型六.求离心率

x2y2例1. 椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?c,0)，A(?a,0)，B(0,b)是两个顶点，如果F1到直

abb线AB的距离为，则椭圆的离心率e?

7x2y2例2.若P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且?PF1F2??，?PF2F1?2?，

ab则椭圆的离心率为

例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1?PQ，且PF1?PQ，则椭圆的离心率为 ；

第9页

练习

x2y21、（2010南京二模）以椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准

ab线交于A、B两点，已知?OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；

x2y202、已知A B C分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点、上顶点、和左焦点，若?ABC?90，则

ab该椭圆的离心率为 ；

x2y23a3、（2012年新课标）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,P为直线x?上一

2abE的离心率为 （ ） 点,?F2PF1是底角为30的等腰三角形,则

12??A． B． C． D．

23??x2y24、椭圆2?2?1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等

ab比数列,则此椭圆的离心率为______

题型七.直线与椭圆的关系

（1）直线与椭圆的位置关系

例1. 当m为何值时，直线l:y?x?m与椭圆9x2?16y2?144相切、相交、相离？

例2.曲线2x2?y2?2a2（a?0）与连结A(?1,1)，B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。

例3.过点P(?3, 0)作直线l与椭圆3x?4y?12相交于A,B两点，O为坐标原点，求?OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 y分析：若直接用点斜式设l的方程为y?0?k(x?3)，则要求lA的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因此要讨论P斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为Oxx?my?3，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化B了运算。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，l：x?my?3 2211|OP|?|y1|?|OP|?|y2|?3(|y1|?|y2|)?3(y1?y2) 22把x?my?3代入椭圆方程得：3(m2y2?23my?3)?4y2?12?0，即 S?AOB?(3m2?4)y2?63my?3?0，y1?y2?363myy??， 123m2?43m2?4108m21212|y1?y2|???144x?48 2222(3m?4)3m?43m?443m4349m2?343?3m2?143?3m2?1???2 ???22233m?43m?4(3m?1)?3233m2?1?3m2?1

第10页

336 m?? ?2?3，此时3m2?1?2233m?136令直线的倾角为?，则tan??? ??26∴S?6。 2例4.求直线xcos??ysin??2和椭圆x2?3y2?6有公共点时，?的取值范围(0????)。

即?OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为?

（二）弦长问题

例1.已知椭圆x2?2y2?12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦

413，求点A的坐标。 3 分析：若直线y?kx?b与圆锥曲线f(x,y)?0相交于两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，

长为

则弦PQ的长度的计算公式为|PQ|?1?k|x1?x2|?1?而|x1?x2|?21|y1?y2|， 2k(x1?x2)2?4x1x2，因此只要把直线y?kx?b的方程代入圆锥曲线f(x,y)?0方程，消

去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。

解：设A(x0,0)（x0?0），则直线l的方程为y?x?x0，设直线l与椭圆相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)，

?y?x?x0由?2，可得3x2?4x0x?2x02?12?0， 2?x?2y?1224x02x0?12x1?x2?，x1?x2?，则

3316x08x?4822|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2??0?36?2x0

93341441422?2??36?2x0 ∴?1?x2?|x1?x2|，即333∴x02?4，又x0?0，∴x0?2，∴A(2,0)；

222例2.椭圆ax?by?1与直线x?y?1相交于A,B两点，C是AB的中点，

22若|AB|?22，O为坐标原点，OC的斜率为

2，求a,b的值。 2x2y2??1的焦点分别是F1和F2，例3.椭圆过中心O作直线与椭圆交于A,B两点，若?ABF2的面积是452020，求直线方程。

第11页

（三）弦所在直线方程

x2y2??1，过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P； 例1.已知椭圆

164

例2.已知一直线与椭圆4x2?9y2?36相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程；

例3. 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e?2,过点C(?1,0)的直线l与椭圆E相交于A,B3两点，且C分有向线段AB的比为

（1）用直线l的斜率k(k?0)表示?OAB的面积； （2）当?OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

解：（1）设椭圆E的方程为x2y2c2a2?b2?1，由e?a?3，∴a2=3b2

故椭圆方程x2?3y2?3b2；

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由于点C(?1,0)分有向线段AB的比为2．

?∴?x1?2x2???1?3，即?x1?1??2?y?(x2?1)?1?2y2?3?0?y1??2y

2??x2?3y2?3b2由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0 ?y?k(x?1)由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点

??Δ?36k4?4(3k2?1)(3k2?2b2?)?0??x6k2③

?1?x2??3k2?1 ??3k2?3b2④

?x1x2?3k2?1 ⑤ 而S?12|y?1333?OAB1?y2|2|?2y2?y2|?2|y2|?2|k(x2?1)|?2|k||x2?1|由①④得:x23|k|2?1??3k2?1，代入⑥得：S?OAB?3k2?1(k?0). （2）因S?3|k|333?OAB3k2?1?3|k|?1?23?2, |k|当且仅当k??33,S?OAB取得最大值． 此时xx?2x21?x2??1，又∵13??1，∴x1??1,x2??2； 将x,x212212及k?3代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程x?3y?5．

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⑥

x2y2例4.已知A(x是??1上的三点，F为椭圆的左焦点，且y)C,2x(2y,椭)圆1,y1),B(1,043AF,BF,CF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题

x2y2例1.已知椭圆试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y?4x?m对称； ??1，

43

例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率e?圆交于不同两点A,B，且线段AB恰被直线x??存在，请说明理由。

题型八.最值问题

22，试问是否存在直线l，使l与椭31平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不2x2y2??1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP?MF2的最大值和例1．若P(?2,3)，F2为椭圆

2516最小值。

分析：欲求MP?MF2的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

M1 F1 o F2 解：MP?MF2?MP?2a?MF1，延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三1，连接PFM2 角形三边关系知?PF1?MP?MF1?PF1 当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。 因为2a?10,PF1?2，所以(MP?MF2)max?12, (MP?MF2)min?8；

MF2?2a?MF1, F1为椭圆的左焦点。

x2y2结论1：设椭圆2?2?1的左右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一

ab点，则MP?MF2的最大值为2a?PF1,最小值为2a?PF1； x2y2??1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP?MF2的最大值和最小例2．P(?2,6),F2为椭圆

2516值。

分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使MP?MF2值最小，求最大值方法同例1。 解：MP?MF2?MP?2a?MF1并延长交椭圆于点M1， 1，连接PF则M在M1处时MP?MF1取最大值PF1；

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∴MP?MF2最大值是10+37，最小值是41。

x2y2结论2设椭圆2?2?1的左右焦点分别为F1,F2，P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一

ab点，则MP?MF2的最大值为2a?PF1，最小值为PF2;

2.二次函数法

x2y2例3．求定点A(a,0)到椭圆2?2?1上的点之间的最短距离。

ab分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为x,y的函数求最小值。

解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，

121x?(x?2a)2?1?a2 22由椭圆方程知x的取值范围是[?2,2] PA?(x?a)2?y2?(x?a)2?1?222，则x?2a时，PAmin?1?a 22（2）若a?,则x?2时PAmin?a?2

22（3）若a??,则PAmin?a?2

2x2y2结论3：椭圆2?2?1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公

ab（1）若a?式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范

围。

3.三角函数法

x22例4．求椭圆2?y?1上的点M(x,y)到直线l:x?2y?4的距离的最值；

4x?2y?4?x?2cos?x22解：三角换元d? ∵2?y?1 ∴令????R?

45?y?sin?2cos??2sin??42?则d??2sin(??)?2

455当sin(???4)?1时dmin??45?21045?210；当sin(??)??1时,dmax?结论4：若椭圆

455x2y2??1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函a2b2数求最值。 4.判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线m:x?2y?c?0将x??2y?c代入椭圆方程整理得8y?4cy?c?4?0，由△=0解得

22c??22, c??22 时直线m:x?2y?22?0与椭圆切于点P， 则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，

45?210所以dmin?；

5c?22时直线m:x?2y?22?0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两

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平行直线m与l的距离，所以dmax?45?210。

5结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

x2y2??1的右焦点，例5.已知定点A(?2,3)，点F为椭圆点M在该椭圆上移动时，求AM?2MF1612的最小值，并求此时点M的坐标；（第二定义的应用）

x2y2??1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2,?6)，P为椭圆上例3．已知F1、F2分别为椭圆

10064的一个动点，试分别求：

（1）PM?解：（1）

5PF2的最小值； （2）PM?PF2的取值范围． 344，此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点； 3（2）由椭圆的定义知PF1?PF2?20，故PM?PF2?PM?20?PF1，

①PM?PF1?MF1?10，故PM?PF2?30

（当且仅当P为有向线段MF1的延长线与椭圆的交点时取“=”）； ②PF1?PM?MF1?10，故PM?PF2?20?(PF1?PM)?10; （当且仅当P为有向线段MF1的反向延长线与椭圆的交点时取“=”） 综上可知，PM?PF2的取值范围为[10,30];

题型九.轨迹问题

例1．到两定点(2,1)，(?2,?2)的距离之和为定值5的点的轨迹是

例2．已知点A(3,0)，点P在圆x2?y2?1的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程。

22例3.已知圆C:(x?3)?y?100及点A(?3,0)，P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。

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