吴伟 数形结合在解题中的应用

毕 业 论 文

数形结合在解题中的应用

系 别 数 学 系 专 业 数学教育 班 级 11级数学教育（4）班 学 号 110202198 姓 名 吴 伟 指导教师 张 娟

2014年 5月12日

目 录

摘要 ..................................................... 1 一、 绪 论 ............................................. 2 1.1 本文研究的目的及意义 ............................ 2 1.2 方程问题 ........................................ 3 二、数形结合思想方法概述 ................................. 3 2.1 数形结合的思想方法 .............................. 3 2.2 数形结合思想的价值 .............................. 5 三、数形结合思想在中学数学中的应用 ....................... 6 3.1数形结合思想在集合中的应用 ....................... 6 3.1.1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 ......... 6 3.1.2.利用数轴解决集合的有关运算 ................. 6 3.2利用数形结合解决方程问题 ......................... 8 3.2.1.数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用 ... 8 3.2.2. 数形结合在求不等式问题中的应用 ........... 10 3.3数形结合在解决三角函数问题中的应用 .............. 12 3.4在解决最值、值域问题上的应用 .................... 12 3.5数学结合在解决线性规划问题中的应用 .............. 14 四、培养学生数形结合思想的一些教学措施 .................. 15

五、参考文献 ............................................ 18

数形结合在解题中的应用

摘要：数形结合是一种重要的数学思想方法, 贯穿于数学的各个分

支. 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思 在解题中借数形结合，以形表达数量关系. 使问题化繁为简,从而达到简洁、明了的解题效果.提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养, 有利于解题能力的提高. 数形结合在中学数学中有广泛的应用,我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在中学数学中的应用（1）在集合中的应用；（2）在解方程中的应用；（3）在解不等式中的应用；在三角函数上的应用；（4）在解决最值、值域问题上的应用；（5）数学结合在解决线性规划问题中的应用.

关键词： 数形结合 数学思想 集合问题 方程不等式问题 最值问题 线性规划问题

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一、 绪 论

1.1 本文研究的目的及意义

我们学习数学，不单纯是数的计算与形的研究，还贯穿有数学思想与数学方法.华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质. 注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.

恰当的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题.在中学数学研究中，数形结合思想不仅是数学课本要求掌握的思想之一，也是历年不同类型考试的重点和难点.因为数形结合思想是数学解题中常用的一种思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.数形结合思想是求解数学问题的一种常用思想，它不仅对于沟通代数、几何与三角的内在联系具有指导意义，并把数式的准确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，而且更重要的是对发展学生的创造性思维，完善学生的思维品质有着特殊的重要作用.在数学问题中若能“以数示形，以形思数，数形渗透”，则能加强知识的横纵联系.数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现.数形结合的思想就是

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充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合是中学数学新课程所渗透的重要思想方法之一，相关教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想.教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己.

1.2 方程问题

方程是中学数学常见的学习、研究对象，尤其是二次方程，是学习的重点和难点.而方程、不等式、函数又有密切联系 ，是知识的融汇点，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体.

二、数形结合思想方法概述

本章将主要阐述数形结合的思想方法，并在此基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.

2.1 数形结合的思想方法

中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式

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（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述.数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通.我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求.“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔.华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微.”因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化成数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.

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2.2 数形结合思想的价值

通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入了，研究的对象也更宽泛，方法更一般化了.其次是为代数课题提供了几何直观.由于代数借用了几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力.如线性代数正是借用几何学中的空间、线性等概念与类比的方法把自己充实起来而迅速发展的.代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合、互相促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识.正如拉格朗日所说：“只要代数同几何分道扬镰，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善.”而且数形结合从方法论角度能给人们以重要的启示.在平面上把点与数对、曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发数学家们把一个个函数视为点，而把某类函数的全体视作“空间”，由此形成分析类数学中泛函分析为一活跃的分支.数形结合也是数学学科分支建立的内驱力.可以说，从认识论和方法论的角度看，数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性.同时数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质.

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三、数形结合思想在中学数学中的应用

3.1数形结合思想在集合中的应用

3.1.1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素.利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题.

例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数.（选自《王后雄高考标准诠释》） 解：我们用圆A、B、C分别

表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的 公共部分正好表示同时参加数理化小组的人 数.用n表示集合的元素，则有：

B(理) C(化) C 数 ) A( 图1 n(A)?n(B)?n(C)?n(A?B)?n(A?C)?n(B?C)?n(A?B?C)?

807?739?437?593?371?267?213?965

即：参加竞赛总人数为965人. 3.1.2.利用数轴解决集合的有关运算

例2．已知集合A??x?1?x?3?,B??xa?x?3a? ⑴若A?B，求a的范围. ⑵若B?A，求a的范围.

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a -图2

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3a

分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使A?B，由包含于

?a??1的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有： ?，这时a的值不

?3a?3可能存在．要使B?A，

?a??1?当a?0时集合A应该覆盖集合B，应有?3a?3成立，即0?a?1.

?a?0?

-

a

图3

3a 3

当a?0时，B??，显然B?A成立.故B?A时的取值范围为：a?1 在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系 ，从上面两个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.

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3.2利用数形结合解决方程问题

3.2.1.数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用

下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.

例3 当0?k?1时，关于x的方程|1?x2|?kx?k的解的个数是多少？

yy?kx?ky?|1?x2|-101x

图4函数图像

分析 这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.

2解 由于|1?x|?kx?k

则令y?|1?x2|和y?kx?k

2如图4示我们把函数y?|1?x|和y?kx?k的图像画出来其交

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点个数就是我们方程所以求得的解的个数

即 原方程解的个数是三个

例4 当m取何值时，方程sin2x?sinx?m?0(??2?x??2)有唯一解？有两解？无解？

分析 用换元法，令t?sinx，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.

y1 14?2?112O ?1t y?moy??t?t 2?2

图5

解 原方程即?sin2x?sinx?m(??2?x??2) 令t?sinx.

2则有?t?t?m(?1?t?1),再令y??t2?t(?1?t?1)及y?m.

2则方程解的个数等于直线y?m与抛物线y??t?t(?1?t?1)的交

点的个数由图5可知

当m?14或?2?m?0时，原方程有唯一解； 当0?m?14时，原方程有两个不同的实数解；

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当m?14或m??2时，原方程无解. 3.2.2. 数形结合在求不等式问题中的应用

不等式是中学数学的重要内容，它几乎涉及整个中学数学的各个部分.因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来.而不等式的证明是中学数学的一个难点，其题型广泛、方法灵活、涉及面广，是各类型考试的重点考察内容.

本节将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.

（1）构造适当的平面图形，利用勾股定理及三角形三边的关系来证明不等式

我们将举例说明两个考试中经常出现的证明题，然后详细演示如何利用数形结合的思想巧妙地对其进行证明，具体案例如例5和6所示.

例5 已知实数a?0,b?0，请证明如下不等式成立

a2?b2?a?b???? 22??2证明：如图6所示，作以a, b为上、下底，a+b为高的直角梯形BCDE，在图中有BC=AD=a，CA=DE=b.

dBabCAccaDbE

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图6直角梯形BCDE

则根据勾股定理有：AB?AE?c?a2?b2BE?2c?2?a2?b2

，

又因为BE?CD，则有如下不等式的成立

2?a2?b2?a?b

对上述不等式的两边平方可得到

2(a2?b2)?(a?b)2

即原不等式成立得到证明.

例6 已知a,b,m 都是正数，且a?b，求证：?aba?m. b?maa?m分析 要从不等式?的结构上观察，可以联想到三角形bb?m相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明A. 证明 如图7所示，构造一个直角三角形 ABC，在边AC上取一点D，并且使得CD?b， FD过点D作DE?BC，垂足为E 令CE?a BE?m.由于 CEBCCEBCBC???? CDACCDCD?ADCD?DFBE图7 C 即 aa?ma?m??bb?ADb?m

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3.3数形结合在解决三角函数问题中的应用

例7 求函数y?sinx?2的值域.

cosx?2分析 我们可以原函数看成是直线斜率，再化简，求答案.

sinx?2 可以看成两点P0?2,?2?，

cosx?2解 如图8所示 y?P?cosx,sinx?所在直线的斜率，而P在单位圆上运动.如图9所示，可

得：kP0OA?y?kP0OB

设过P0的圆的切线方程为y?2?k(x?2)，则有，2k?2k?12?1

解得 k??4?7?4?7?4?7?y?，即:

333??4?7?4?7?,? 3??3所以, 函数的值域为:?3.4在解决最值、值域问题上的应用

图8

例 8 求函数y=|x+3|-|x+1|的值域.

解 就x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出 分段函数的图象，即可得y的范围.

x??1?2?f(x)??2x?4 ?3?x??1

??2x??3?

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图9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mlw5.html