高考数学文科试题汇编平面向量

数 学

F单元 平面向量

F1 平面向量的概念及其线性运算

10．F1[2014·福建卷] 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，→＋OB→＋OC→＋OD→O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA等于( )

→ B．2OM→ A.OM

→ D．4OM→ C．3OM

10．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线→＝－MC→，MB→＝－MD→. 的交点，所以M是AC与BD的中点，即MA

→＋OC→＝(OM→＋MA→)＋(OM→＋MC→)＝2OM→. 在△OAC中，OA

→＋OD→＝(OM→＋MB→)＋(OM→＋MD→)＝2OM→， 在△OBD中，OB

→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→，故选D. 所以OA

12．F1[2014·江西卷] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α1

＝3.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．

12．3 [解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－

1

12×1×1×3＋4×1＝9，所以|a|＝3.

5．F1、A2[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )

A．p∨q B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)

5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q

为真命题．

6．F1[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D，E，F分别为△ABC的三边→＋FC→＝( ) BC，CA，AB的中点，则EB

1→→A.AD B.2AD 1→→ C.2BC D.BC

116．A [解析] EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝2AC＋2AB＝AD. 14．F1、F2[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．

a·cb·c

14．2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，|a|·|c||b|·|c|

（1，2）·（m＋4，2m＋2）（4，2）·（m＋4，2m＋2）即＝，即5m22221＋24＋2

8m＋20

＋8＝2，解得m＝2.

F2 平面向量基本定理及向量坐标运算

3．F2[2014·北京卷] 已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )

A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9)

3．A [解析] 2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．

3．F2[2014·广东卷] 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )

A．(－2，1) B．(2，－1)

C．(2，0) D．(4，3)

3．B [解析] b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)． →＝(1，－3)， 12．F2、F3[2014·湖北卷] 若向量OA

→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________． |OA

→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所12．25 [解析] 由题意知，OB以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝2 5.

12．F2、F3[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值中，已知AB＝8，AD＝5，CP是________．

图1-3

12．22 [解析] 因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP13

＝AD＋4AB，BP＝BC＋CP＝AD－4AB，所以AP·BP＝3??→1??1322

?AD＋AB?·?AD－AB?＝AD－AD·AB－AB＝2.又因为AB＝8，

4??4?216?

31

AD＝5，所以2＝25－16×64－2AB·AD，故AB·AD＝22 .

7．F2，F3[2014·山东卷] 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若π

向量a，b的夹角为6，则实数m＝( )

A．23 B.3 C．0 D．－3

π3＋3ma·b3

7．B [解析] 由题意得cos 6＝＝，即2＝|a||b|29＋m23＋3m

2，解得m＝3. 29＋m

π13．F2[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜2，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(1，－cos θ)，若a·b＝0，则tan θ＝______.

π1213.2 [解析] 由a·b＝0，得sin 2 θ＝cosθ.又0<θ<2，∴cos 1θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝2. 18．F2[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)上，→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)． 且OP

2→|； (1)若m＝n＝3，求|OP

(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 2→→＝(2，1)， 18．解： (1)∵m＝n＝3，AB＝(1，2)，AC→＝2(1，2)＋2(2，1)＝(2，2)， ∴OP33→|＝22＋22＝22. ∴|OP

→＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， (2)∵OP

??x＝m＋2n，∴? ??y＝2m＋n，

两式相减，得m－n＝y－x.

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.

14．F1、F2[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．

a·cb·c

14．2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，|a|·|c||b|·|c|

（1，2）·（m＋4，2m＋2）（4，2）·（m＋4，2m＋2）即＝，即5m22221＋24＋2

8m＋20

＋8＝2，解得m＝2.

F3 平面向量的数量积及应用

→＝(1，－3)， 12．F2、F3[2014·湖北卷] 若向量OA

→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________． |OA

→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所12．25 [解析] 由题意知，OB以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝2 5.

12．F2、F3[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值中，已知AB＝8，AD＝5，CP是________．

图1-3

12．22 [解析] 因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP13

＝AD＋4AB，BP＝BC＋CP＝AD－4AB，所以AP·BP＝3??→1??13

?AD＋AB?·?AD－AB?＝AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AB＝8，

4??4?216?

31

AD＝5，所以2＝25－16×64－2AB·AD，故AB·AD＝22 .

6．F3[2014·全国卷] 已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

6．B [解析] 因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.

4．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )

A．1 B．2 C．3 D．5

4．A [解析] 由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b＝1.

12．F3[2014·重庆卷] 已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．

12．10 [解析] ∵|a|＝（－2）2＋（－6）2＝210，

1

∴a·b＝|a||b|cos 60°＝210×10×2＝10.

7．F2，F3[2014·山东卷] 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若π

向量a，b的夹角为6，则实数m＝( )

A．23 B.3 C．0 D．－3

π3＋3ma·b3

7．B [解析] 由题意得cos 6＝＝，即2＝|a||b|29＋m23＋3m

2，解得m＝3. 29＋m

13．F3[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝

→·→120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AEAF＝1，则λ的值为________．

13．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，

→＝3BE→，得(1，3)C(1，0)，D(0，3)．设E(x，y)，F(x，y)，由BC

1

1

2

2

?123?→＝λDF→，?；＝3(x1，y1＋3)，可得E?，－由DC得(1，－3)＝λ(x2，

33??

?13?

y2－3)，可得F?，3－λ?.

?λ??43?10223??1

?·?＋1，3－?＝∵AE·AF＝?，－λ?3λ－3＝1，∴λ＝3??λ?3

2.

F4 单元综合

9．F4[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1( )

A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定

9．B [解析] |b＋ta|≥1，则a2t2＋2|a||b|tcos θ＋b2的最小值为1，

4a2b2－4（|a||b|cos θ）2

这是关于t的二次函数，故最小值为＝1，得

4a2到4a2b2sin2θ＝4a2，故|b|sin θ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B.

10．F4[2014·安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( )

2πππ

A.3 B.3 C.6 D．0

10．B [解析] 令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2a2＋2b2，S2＝a2＋b2＋2a·b，S3＝4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a＋2b－4a·b＝2(a－b)>0，S1－S2＝a2

2

2

2

＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3

以cos θ＝2.又θ∈[0，π]，所以θ＝3.

10．F4[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，

→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的取0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD

值范围是( )

A．[4，6] B．[19－1，19＋1] C．[23，27] D．[7－1，7＋1]

→|＝1，得动点D在以点C为圆心，半径为10．D [解析] 由|CD1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，

→＋OB→＋OD→＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA→＋OB→＋所以OA

→|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋OD

27sin(α＋φ)，

→＋OB→＋OD→|2∈[8－27，8＋27]，即|OA→＋OB→＋OD→|∈所以|OA

[7－1，7＋1]．

1．[2014·山西大同一中四诊] 如图X19-1所示，正六边形→＋CD→＋EF→＝( ) ABCDEF中，BA

→ A．0 B.BE→ D.CF→ C.AD

图X19-1

→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CF→. 1．D [解析] 由图知BA

13．[2014·长沙一中月考] 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，若a＝mb＋nc，则n－m＝____________． 1

13.3 [解析] ∵a＝mb＋nc?(3，2)＝(－m，2m)＋(4n，n)＝(－m

5?m＝，??92m＋n＝2，?

＋4n，2m＋n)，∴?∴?

8??－m＋4n＝3，??n＝9，

1

∴n－m＝3.

14．[2014·湖南师大附中月考] 如图X19-2所示，在等腰直角三→＝4AC→，则OC→·(OB→－OA→)＝角形AOB中，OA＝OB＝1，AB____________．

图X19-2

12→→→·→－OA→)14．－2 [解析] 由已知得|AB|＝2，|AC|＝4，则OC(OB

3π21→→→→→→→＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝2cos4＋4×2＝－2.

15．[2014·温州十校联合体期末] 在△ABC中，∠ACB为钝角，→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|CA→－mCB→|AC＝BC＝1，CO

3→|的最小值为____________． 的最小值为2，则|CO

1→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1，可知A，O，B三15.2 [解析] 由CO

→|的最小值为AB边上的高．又AC＝BC＝1，即O为点共线，所以|CO

→－mCB→|的最小值为3，即点A到BCAB的中点，且函数f(m)＝|CA23→|的最小值为错误!. 边的距离为2，所以∠ACB＝120°，从而可得|CO

6．[2014·漳州五校期末] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|等于( )

A．1 B.3 C.5 D．3

6．C [解析] 由已知得|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉．又|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.

??π?π?

1．[2014·常德期末] 已知向量a＝cos?2x－?，cos?＋x?，b＝1，

3???4??π?

－2sin?＋x?，f(x)＝a·b.

4??

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若A为等腰三角形ABC的一个底角，求f(A)的取值范围．

πππ1．解：(1)∵f(x)＝a·b＝cos2x－3－2sin4＋xcos4＋x＝cos2x－πππππ

cos 3＋sin 2x·sin 3－3－sin2＋2x＝cos2x－3－cos 2x＝cos 2x·π31

cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝sin2x－6，

2π

∴f(x)的最小正周期T＝2＝π. (2)∵A为等腰三角形ABC的一个底角， π

∴0

ππ5π

∴0<2A<π，∴－6<2A－6<6， π11

∴－2

??π?π?

1．[2014·常德期末] 已知向量a＝cos?2x－?，cos?＋x?，b＝1，

3???4??π?

－2sin?＋x?，f(x)＝a·b.

4??

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若A为等腰三角形ABC的一个底角，求f(A)的取值范围．

πππ1．解：(1)∵f(x)＝a·b＝cos2x－3－2sin4＋xcos4＋x＝cos2x－πππππ

cos 3＋sin 2x·sin 3－3－sin2＋2x＝cos2x－3－cos 2x＝cos 2x·π31

cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝sin2x－6，

2π

∴f(x)的最小正周期T＝2＝π. (2)∵A为等腰三角形ABC的一个底角， π

∴0

ππ5π

∴0<2A<π，∴－6<2A－6<6， π11

∴－2

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