六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案

第14讲计数综合三

内容概述

建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．

典型问题

兴趣篇

1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？

3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？

4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？

5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？

6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？

7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？

8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？

9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？

10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？

拓展篇

1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？

2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？

3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？

4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？

5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？

6．如图14-1所示，一个圆环被分成8部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜 色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？

7．圆周上有10个点A1，A2，…，A10以这些点为端点连结5条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式?

8．在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如1370、36712等．请问：在1至10000中有多少个这样的多位数?

9．有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5，例如1975、75675等，但432579。不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个?

10．用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么

大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个?

11．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个l，这样的七位数一共有多少个?

12．满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如1346、2579是好数，但1567就不是好数．请问：一共有多少个好数? 超越篇

1．一个九位数，它只由数字l、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个?如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个?

2．(1)如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成多少个部分?(2)如果在一个平面上画出3个四边形、2个圆、l条直线，最多可以把平面分成多少个部分?

3．如图14—2所示，阴影部分是一个圆环，4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分?

4．用15个l×2的小纸片覆盖图14—3，共有多少种不同的覆盖方法?

5．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l，如此进行下去直到得数为1操作停止．问：经过9次操作变为1的数有多少个?

6．用4种不同的颜色将图14—4中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法?(不允许旋转、翻转图14—4)

7．圆周上有15个点A1，A2，…，A15，以这些点为顶点连出5个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连结方式？

8．有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果．如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”（一个人可以有多次“怨言”）．在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”．例如：六位同学按下面的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是4．请问：有多少种“怨言数”为7的排列顺序？

第 14 讲 计数综合三

兴趣篇

1. 一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。走完这 10 级台阶，一 共可以有多少种不同的走法？ 【分析】例如登上一级台阶有 1 种走法，登上第二级台阶有 2 种走法(一步走两级或者走两 步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为1 ? 2 ? 3 ．又知道走上第四级 台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上 第四级台阶共有 2 ? 3 ? 5 种方法，依此类推： 1 级 1 2 级 3 级 4 级 5 级 6 级 2 3 5 8 13 所以，登上第 10 级台阶的走法数为 89． 7 级 21 8 级 34 9 级 55 10 级 89

2. 小悦买了 10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 3 块，直到吃完，共有多少种吃法？ 【分析】递推法。吃1 块只有 1 种吃法，吃 2 块有 1 ? 1和 2 两种吃法，吃 3 块有 1+1+1,1+2，

2+1,3 共 4 种吃法，吃 4 块有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1 共 7 种；吃 5 块有 2+4+7=13 种吃法，吃 6 块有 4+7+13=24 种吃法…… 事实上，吃 n 块巧克力，吃最后一块前，吃掉的块数是在第 n ?1 块或 n ? 2 块或 n- 3 块上，所以吃 n 块巧克力的吃法数相当于吃第 n ? 1 块和第n ? 2 块以及第 n-3 块的 总和。依照这一规律，列表写出吃 1 到 10 块各块的吃法数。最后递推得到吃第 10 块巧克力有 274 种吃法。

1 1 2 2 3 4 4 7 5 13 6 24 7 44 8 81 9 149 10 274

3. 用 1? 2 的小方格覆盖2 ? 7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？ 【分析】递推法．若用1 ? 2 的小长方形去覆盖 2 ? n 的方格网，设方法数为 An ，那么 A1 ? 1 ，

A2 ? 2 ． 当 n ? 3 时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用 1 个1 ? 2 的小长方形竖着 覆盖，那么剩下的 2 ? ?n ?1? 的方格网有 An ?1 种方法；⑵用 2 个1? 2 的小长方形横 着覆盖， 那么剩下的 2 ? ?n ? 2? 的方格网有 An? 2 种方法，根据加法原理，可得 An ? An ?1 ? An? 2 ．

递 推 可 得 到 A3 ? 1 ? 2 ? 3 ， A4 ? 2 ? 3 ? 5 ， A5 ? 3 ? 5 ? 8 ， A6 ? 5 ? 8 ? 13 ， A7 ? 8 ? 13 ? 21 ，

所以覆盖2 ? 7 的方格网共有 21 种不同方法．

4. 如果在一个平面上画出 4 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 20 条直线，最

多可以分成几个部分？

【分析】一条直线时，分平面内为 2 个部分；

增加一条直线，即 2 条时，显然它应该与原来那条直线相交才能把平面分的多，这

是增加了 2 部分，总数 2+2 ；

再增加 1 条时，同理应该与前两条都相交，这时增加了 3 部分，总数 2+2+3； 增加到 4 条时，分平面增加 4 部分，总数 2+2+3+4； 由此我们发现，每增加一条直线，多分平面部分逐个递增，即 n 条直线最多分平面

n(n ? 1) 2 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? 1 ??。这就得到了直线分平面的公式。

2 所以画出 4 条直线，最多可以把平面分成1 ? 20 ? 21 最多可以分成1 ? ? 211 个部分

2

5. 甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个。先由甲 发球，经过 6 次传球后球仍然回到了甲的手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的 可能？

【分析】设第 n 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有 an 种．可以想象前 n ?1 次传球，

如果每一次传球都任选其他二人中的一人进行传球，即每次传球都有 2 种可能，由

n?1

乘法原理，共有 2??2 2????? 2?2 ??????(种)传球方法．这些传球方法并不是都符合

(n ?1)个2

4 ? 5

?11 个部分，如果画 20 条直线， 2

要求的，它们可以分为两类，一类是第n ? 1 次恰好传到甲手中，这有 an ?1 种传法， 它们不符合要求，因为这样第 n 次无法再把球传给甲；另一类是第 n ? 1 次传球，球 不在甲手中，第 n 次持球人再将球传给甲， 有 an 种传法．根据加法原理，有 a ? 2 ??? 2 ? 2 ． n ?1 ? a n ? 2 ????????????

(n ?1)个2

n? 1

由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以a1 ? 0 ． 利用递推关系可以得到： a2 ? 2 ? 0 ? 2 ， a3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ， a4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 ， a5 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 ? 10 ． a6 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 10 ? 22 这说明经过 6 次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有 22 种．

6. 一个三位数，有相邻两个数字的和为 16，那么这样的三位数共有多少个？

【分析】两个数字的和为 16 只有 8 ? 8, 9 ? 7 两种，相邻两个数字有百位和十位相邻，十位和 个

位相邻两种 (1) 当相邻两个数字为百位和十位相邻有 3 ? 10 ? 30 种； (2) 当十位数 字和个位数字相邻时有 3 ? 9 ? 27 ，但是 888 ， 979 ， 797 被算了两次，所以共有 30 ? 27 ? 3 ? 54 种

7. 由 1、3、4 组成的各位数字之和为 9 的多位数共有多少个？ 【分析】（1）由 9 个1 组成的多位数有 1 个

（2）由 6 个 1 、1 个 3 组成的多位数有 7 个 （3）由 5 个 1 、1 个 4 组成的多位数有 6 个

5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 （4）由 3 个 1 、 2 个 3 组成的多位数有 ? 10 个

2 ? 1? 3 ? 2 ? 1

超越篇

1. 一个九位数，它只由数字 1、2 和 3 组成，而且它的任意连续两位数都不等于 12、21、 22 或 31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字 1、2 和 3 每个数字都至少出现一次， 则这样的九位数有多少个？

1 3 ??2

3 3 ?

F (3) ? 2 , 通 过 归 纳 有 F (1) ? F (1) ? F (3) ， 所 以 F (1) ? 2 , F (2) ?

1 2 ,2 2 n n ?1 n ?1

??

Fn (2) ? Fn ?1 (3) ， Fn (3) ? Fn?1 (2) ? Fn?1 (3) m 3 4 5 6 7 8 9 Fn (1) 4 7 12 20 33 55 89 F(2) 2 3 5 8 13 21 34 n Fn (3) 3 5 8 13 21 34 55 因此符合条件的九位数有89 ? 34 ? 55 ? 177 个 要求数字 1、2 和 3 每个数字都至少出现一次，只要将不含1, 2, 3 排除 不含1 的，即全是 3（不可能全是 2 ） 或全由 2, 3 组成的数，共有34 ? 55 ? 89 个 不含2 的，即全由1 或由1, 3 （全是3 的已计算）组成的数，共有9 个 不含3 的，只能是全由1 （已计算） 所以共有177 ? 89 ? 9 ? 79 个

2. （1）如果在一个平面上画出 8 个三角形，最多可以把平面分成多少个部分？ （2）如果在一个平面上画出 3 个四边形、2 个圆、1 条直线，最多可以把平面分成多少 个

部分？ 【分析】（1）设 n 个三角形最多将平面分成 an 个部分．

n ? 1 时， a1 ? 2 ；

n ? 2 时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有 2 个交点，三条边与第 一个三角形最多有2 ? 3 ? 6 (个)交点．这 6 个交点将第二个三角形的周边分成了6 段，这 6 段中的每一段都将原来的每一个部分分成 2 个部分，从而平面也增加了 6 个部分，即 a2 ? 2 ? 2 ? 3 ．

n ? 3 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有 4 ? 3 ? 12 (个)交点，从而平面也 增加了12 个部分，即： a3 ? 2 ? 2? 3 ? 4 ? 3 ．…… 一般地，第 n 个三角形与前面? n ? 1? 个三角形最多有 2 ?n ? 1? ? 3 个交点，从而平面 也增加 2 ?n ? 1? ? 3 个部分，故

2 a n ? 2 ? 2? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 2?n ? 1?? 3 ? 2 ? ??2 ? 4 ? ? ? 2 ?n ? 1??? ? 3 ? 3n ?3n ? 2 ，

特别地，当 n ? 8 时，a 5 ? 3 ? 82 ? 3? 8 ? 2 ? 170 ，即 8 个三角形最多把平面分成170 个 部分．

（2）三个四边形共分出 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 26 部分，再画一个圆与 26 部分，（除内外两 部分），产生24 个交点，再画一个圆产生 24 ? 2 个交点，再画直线产生3 ? 2 ? 2 ? 2 ?10 个交点。所以共有 26 ? 24 ? 26 ? 10 ? 86 部分

3.

如图所示，阴影部分是一个圆环，4 条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？

【分析】4 条直线最多把一个圆分成1 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 11 部分， 其中最内部是一个由四条直线 围

成的四边形，可以做一个圆与这个四边形相交，最多产生 8 个交点，这样圆环分 成的部分增加了 4 个，少了一个四边形，所以有11 ? 4 ? 1 ? 14 个部分

4. 用 15 个1? 2 的小纸片覆盖图，共有多少种不同的覆盖方法？

【分析】设用1 ? 2 的小纸片覆盖含有 n 个“ ”的图形覆盖方法有 fn 种方法

显然 f1 ? 3

对于如下图形有 f 2

所以 f2 ? f1 ? f1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 所以 f ? f ? f3 2

? f ? 5 ? 5 ? 3 ? 7

2

1

f 4 ? f 3 ? f 3 ? f 2 ? 9

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